Kondenseringspunkt

Kondensationspunkten är en förstärkt version av gränspunkten och en speciell version av ackumuleringspunkten i den allmänna topologin : för en given mängd i ett topologiskt utrymme kallas en punkt en kondensationspunkt om något område innehåller en oräknelig uppsättning punkter av uppsättningen . $A$ $X$ $x\i X$ $x$ $A$

Uppsättningen av kondensationspunkter för uppsättningen - - är stängd , dessutom, om den inte är tom, är den en perfekt uppsättning och har kontinuumets kardinalitet . Uppsättningen av kondensationspunkter för stängningen av uppsättningen sammanfaller med uppsättningen av kondensationspunkter för själva apparaten: . Föreningen av uppsättningarna av kondensationspunkter för två uppsättningar sammanfaller med uppsättningen av kondensationspunkter för sammansättningen av de ursprungliga uppsättningarna: . För en uppsättning i ett utrymme med det andra räknebarhetsaxiomet och är räknebara . De två sista egenskaperna antyder direkt Cantor-Bendixon-satsen i den allmänna topologiska versionen (ursprungligen bevisad för delmängder av den reella linjen). $A$ ${\displaystyle A^{\circ ))$ ${\bar {A}}^{\circ }=A^{\circ }$ $(A\cup B)^{\circ }=A^{\circ }\cup B^{\circ }$ $A$ $X$ $A\setminus A^{\circ }$ $(A^{\circ })^{\circ }=A$

För den numeriska delmängden är alla gränspunkter kondensationspunkter; varje punkt i Cantors diskontinuum är dess kondensationspunkt. En räknebar uppsättning kondensationspunkter kan inte ha (samtidigt kan gränspunkter existera, till exempel är alla punkter på den reella linjen gränspunkter för en räknebar uppsättning rationella tal). $\mathbb {Q}$

För delrum av euklidiska utrymmen definierades och studerades kondensationspunkter 1903 av Ernst Lindelöf , 1914 utvidgade Felix Hausdorff konceptet till allmänna topologiska utrymmen.

Litteratur

Aleksandrov PS Introduktion till mängdlära och allmän topologi. - M .: Science , 1977. - S. 104, 143, 159-160. — 368 sid.
Engelking R. Allmän topologi . - M .: Mir , 1986. - S. 102 . — 752 sid.
Kondensationspunkt - artikel från Encyclopedia of Mathematics . B.A. Efimov