Kantor set

Kantormängden ( Cantor discontinuum , Cantor dust ) är en av de enklaste fraktalerna , en delmängd av enhetssegmentet för den reella linjen , vilket är ett klassiskt exempel på ett diskontinuum i matematisk analys .

Beskrevs 1883 av Georg Cantor . Med detta besvarade han följande fråga från Magnus Mittag-Leffler i ett brev daterat den 21 juni 1882: [1]

Låt beteckna uppsättningen av gränspunkter för uppsättningen . Finns det en ingenstans tät uppsättning så att korsningen

P'

P

P

P\cap P'\cap P''\cap \dots

inte tom?

Definitioner

Klassisk konstruktion

Från ett enda segment tar vi bort den mellersta tredjedelen, det vill säga intervallet . Den återstående punktuppsättningen kommer att betecknas med . Setet består av två segment; Låt oss nu ta bort dess mellersta tredjedel från varje segment och beteckna den återstående uppsättningen med . Om vi upprepar denna procedur igen och tar bort de mellersta tredjedelarna av alla fyra segmenten får vi . Vidare får vi på samma sätt en sekvens av slutna uppsättningar . genomskärning $C_0=[0,1]$ $(1/3,2/3)$ $C_{1}$ $C_1=[0,1/3]\kopp[2/3,1]$ $C_{2}$ $C_{3}$ $C_0\supset C_1\supset C_2\supset\prickar$

C=\bigcap_{i=0}^\infty C_i

kallas Cantor set .

Uppsättningar

C_0,\ C_1,\ C_2,\ C_3,\ C_4,\ C_5,\ C_6

Med ternär notation

Cantor-mängden kan också definieras som en uppsättning tal från noll till ett som kan representeras i ternär notation med endast nollor och tvåor (tal med en enhet i den n:e siffran klipps ut i det n:e steget av konstruktionen). Ett nummer hör till Cantor-mängden om det har minst en sådan representation, till exempel sedan . $0{,}1_{3}\in C$ ${\displaystyle 0{,}1_{3}=0{,}0(2)_{3))$

I en sådan notation är det lätt att se kontinuiteten i Cantor-uppsättningen.

Som en attraktion

Cantor-setet kan definieras som en attraktion . Betrakta alla sekvenser av punkter så att för någon $\{x_n\}$ $n$

x_{n+1}=x_n/3

eller .

x_{n+1}-1=(x_n-1)/3

Då är uppsättningen av gränser för alla sådana sekvenser en Cantor-uppsättning.

Som en räknebar kraft av ett enkelt kolon

I litteraturen om allmän topologi definieras en Cantor-mängd som en räknebar makt av ett tvåpunkts diskret utrymme - [2] ; ett sådant utrymme är homeomorft till en klassiskt konstruerad Cantor-uppsättning (med den vanliga euklidiska topologin) [3] [4] . $\{0;1\}^{\aleph_0}$

Egenskaper

Cantor-setet är en ingenstans tät perfekt uppsättning .
Cantor-setet är kontinuerligt .
Cantor-uppsättningen har topologisk dimension 0.
Cantor-uppsättningen har en mellanliggande (det vill säga inte heltal ) Hausdorff-dimension lika med . I synnerhet har den noll Lebesgue-mått . $\ln 2/\ln 3\approx 0{,}63$
Varje nolldimensionell metriserbar kompakt utan isolerade punkter är homeomorf till en Cantor-uppsättning.
Varje mätbar kompakt är bilden av en Cantor-uppsättning under någon kontinuerlig kartläggning .
Cantor-setet är universellt för alla nolldimensionella utrymmen med en räknebar bas .

Variationer och generaliseringar

Cantor-kuben ( generaliserat Cantor-diskontinuum ) av vikt ärden e potensen av ett tvåpunkts diskret utrymme. Cantor-kuben är universell för högstalla nolldimensionella viktutrymmen . Varje Hausdorff- kompakt med vikt som mestär en kontinuerlig bild av ett underrum till Cantor-kuben. $\mathfrak{m}\geqslant \aleph_0$ $\mathfrak{m}$ $\{0;1\}^{\mathfrak{m}}$ $\mathfrak{m}$ $\mathfrak{m}$ $\{0;1\}^{\mathfrak{m}}$

En dyadisk kompakt uppsättning är en kompakt uppsättning som kan representeras som en kontinuerlig bild av en Cantor-kub. Ett dyadisk utrymme [5] är ett topologiskt utrymme för vilket det finns en komprimering som är en dyadisk kompakt uppsättning.

Se även

Anteckningar

↑ Moore, Gregory H. Uppkomsten av öppna uppsättningar, slutna uppsättningar och gränspunkter i analys och topologi // Historia Math. - 2008. - Vol. 35 , nr. 3 . — S. 220–241 .
↑ Engelking, 1986 , sid. 136.
↑ Engelking, 1986 , sid. 207-208.
↑ Cantor set - Encyclopedia of Mathematics artikel . V. V. Fedorchuk
↑ Dyadisk rymdartikel från Encyclopedia of Mathematics . V.A. Efimov

Litteratur

Engelking R. . Allmän topologi. — M .: Mir , 1986. — 752 sid.

fraktaler
Egenskaper	fraktal dimension Hausdorff dimension Lebesgue dimension rekursion självlikhet
De enklaste fraktalerna	Fern Barnsley Kantor set drakekurva Koch kurva Svamp Menger Sierpinski matta Sierpinski triangel Utrymmesfyllande kurva
konstig attraktion	Multifraktal
L-system	Utrymmesfyllande kurva
Bifurkationsfraktaler	Julia set Lyapunov fraktal Mandelbrot set Newtons pooler
Slumpmässiga fraktaler	Brownsk rörelse brunt träd fraktal yta Perkolationsteori
människor	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Alexander Lyapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Vaclav Sierpinski
Relaterade ämnen	Hur lång är Storbritanniens kust? » Kustlinjeparadox