Kantormängden ( Cantor discontinuum , Cantor dust ) är en av de enklaste fraktalerna , en delmängd av enhetssegmentet för den reella linjen , vilket är ett klassiskt exempel på ett diskontinuum i matematisk analys .
Beskrevs 1883 av Georg Cantor . Med detta besvarade han följande fråga från Magnus Mittag-Leffler i ett brev daterat den 21 juni 1882: [1]
Låt beteckna uppsättningen av gränspunkter för uppsättningen . Finns det en ingenstans tät uppsättning så att korsningen inte tom?Från ett enda segment tar vi bort den mellersta tredjedelen, det vill säga intervallet . Den återstående punktuppsättningen kommer att betecknas med . Setet består av två segment; Låt oss nu ta bort dess mellersta tredjedel från varje segment och beteckna den återstående uppsättningen med . Om vi upprepar denna procedur igen och tar bort de mellersta tredjedelarna av alla fyra segmenten får vi . Vidare får vi på samma sätt en sekvens av slutna uppsättningar . genomskärning
kallas Cantor set .
|
Uppsättningar |
Cantor-mängden kan också definieras som en uppsättning tal från noll till ett som kan representeras i ternär notation med endast nollor och tvåor (tal med en enhet i den n:e siffran klipps ut i det n:e steget av konstruktionen). Ett nummer hör till Cantor-mängden om det har minst en sådan representation, till exempel sedan .
I en sådan notation är det lätt att se kontinuiteten i Cantor-uppsättningen.
Cantor-setet kan definieras som en attraktion . Betrakta alla sekvenser av punkter så att för någon
eller .Då är uppsättningen av gränser för alla sådana sekvenser en Cantor-uppsättning.
I litteraturen om allmän topologi definieras en Cantor-mängd som en räknebar makt av ett tvåpunkts diskret utrymme - [2] ; ett sådant utrymme är homeomorft till en klassiskt konstruerad Cantor-uppsättning (med den vanliga euklidiska topologin) [3] [4] .
Cantor-kuben ( generaliserat Cantor-diskontinuum ) av vikt ärden e potensen av ett tvåpunkts diskret utrymme. Cantor-kuben är universell för högstalla nolldimensionella viktutrymmen . Varje Hausdorff- kompakt med vikt som mestär en kontinuerlig bild av ett underrum till Cantor-kuben.
En dyadisk kompakt uppsättning är en kompakt uppsättning som kan representeras som en kontinuerlig bild av en Cantor-kub. Ett dyadisk utrymme [5] är ett topologiskt utrymme för vilket det finns en komprimering som är en dyadisk kompakt uppsättning.
fraktaler | ||
---|---|---|
Egenskaper | ||
De enklaste fraktalerna | ||
konstig attraktion | Multifraktal | |
L-system | Utrymmesfyllande kurva | |
Bifurkationsfraktaler | ||
Slumpmässiga fraktaler | ||
människor | ||
Relaterade ämnen |