Gränspunkt

En gränspunkt för en mängd i allmän topologi är en punkt vars varje punkterad grannskap skär denna mängd.

Definition och typer av gränspunkter

En punkt kallas en gränspunkt för en delmängd i ett topologiskt utrymme om varje punkterad grannskap av punkten har en icke- tom skärningspunkt med . $x$ $A$ $X$ $x$ $A$

En punkt kallas en delmängds ackumuleringspunkt om varje område av punkten har ett oändligt antal punkter gemensamma. För T 1 -rum (det vill säga utrymmen där alla punkter (enpunktsmängder) är slutna) är begreppen en gränspunkt och en ackumuleringspunkt ekvivalenta. $x$ $A$ $x$ $A$

En punkt kallas en delmängdskondensationspunkt om varje område av punkten innehåller en oräknelig uppsättning punkter . $x$ $A$ $x$ $A$

En punkt kallas en punkt för fullständig ackumulering av en delmängd om för något område av punkten skärningskraften är lika med styrkan av mängden . $x$ $A$ $U$ $x$ $U\cap A$ $A$

Relaterade begrepp och egenskaper

En punkt kallas en tangenspunkt för en delmängd i ett topologiskt utrymme om varje område av punkten har en icke- tom skärningspunkt med . Uppsättningen av alla beröringspunkter i en uppsättning utgör dess stängning . $x$ $A$ $X$ $x$ $A$ $A$ $\bar A$

En punkt sägs vara isolerad om den har en stadsdel som inte har några andra gemensamma punkter än . En delmängd i , som består av denna ena punkt, är öppen i (i den inducerade topologin ). $x\i A$ $A$ $x$ $A$ $A$

Således är alla beröringspunkter i någon uppsättning (det vill säga stängningspunkter ) uppdelade i två typer: gränspunkter och isolerade punkter . Den senare utgör en delmängd , medan den förra kanske tillhör den eller inte. $A\delmängd X$ $\bar A$ $A$ $A$

Mängden av alla gränspunkter i en mängd kallas dess derivatuppsättning och betecknas . Alla gränspunkter i setet ingår i dess förslutning . Dessutom är följande likhet sann: , från vilket följande kriterium för undermängds slutenhet lätt kan erhållas : Mängden A är sluten om och endast om den innehåller alla dess gränspunkter. $A$ $A'$ $\bar A$ ${\bar A}=A\cup A'$

Om är en gränspunkt för mängden , så finns det en riktning för punkter från , som konvergerar till . $x$ $A$ $A$ $x$

I metriska utrymmen , om är en gränspunkt för mängden , så finns det en sekvens av punkter från konvergerande till . Topologiska utrymmen som den här egenskapen omfattar kallas Fréchet-Urysohn-utrymmen . $x$ $A$ $A$ $x$
Ett topologiskt utrymme är kompakt om och endast om varje oändlig delmängd i det har minst en punkt för fullständig ackumulering i . $X$ $X$

Ett topologiskt utrymme är countably kompakt om och bara om varje oändlig delmängd i det har minst en strikt gränspunkt i . Varje kompakt är uträkneligt kompakt. För metriska utrymmen är det omvända också sant (kriterium för kompaktheten hos ett metriskt utrymme): ett metriskt utrymme är kompakt om och bara om det är räknat kompakt. $X$ $X$

(Särskilt, eftersom ett linjesegment är kompakt, är det uträkneligt kompakt. Därför har varje oändligt avgränsad delmängd av en linje minst en gränspunkt.)

En sluten mängd i ett Hausdorff-utrymme kallas perfekt om var och en av dess punkter är limit (det vill säga om mängden inte innehåller isolerade punkter). Exempel på perfekta uppsättningar är ett linjesegment, Cantor-uppsättningen .

Exempel

Betrakta uppsättningen av reella tal med standardtopologin genererad av öppna intervall. Sedan, med avseende på denna topologi, har vi: $\mathbb {R}$
- $(a,b)'=[a,b];$
- ${\mathbb {Q}}'={\mathbb {R}},$ där är mängden
rationella tal ; $\mathbb {Q}$
${\mathbb {Z}}'=\varnothing ,$ där är mängden heltal ; $\mathbb {Z}$

Låt bli den första oräkneliga ordinalen . Betrakta -ordinal med ordningstopologi . Punkten är gränspunkten för mängden , men det finns ingen sekvens av element i denna mängd som konvergerar till .

\omega_{1}

[0,\omega _{1}]

\omega _{1}+1

\omega_{1}

[0,\omega _{1})

\omega_{1}

Gränspunkt för en nummeruppsättning

Speciellt är gränspunkten för en numerisk mängd som har ett oändligt antal element en punkt på tallinjen , i vilket område som helst där det finns oändligt många element i denna mängd. Du kan också överväga gränspunkten för en sådan uppsättning om det från några av dess element är möjligt att komponera en oändligt stor sekvens med parvis olika negativa element. Om det är möjligt att komponera en oändligt stor sekvens med parvis olika positiva element, så kan det betraktas som en gränspunkt [1] . $-\infty$ $+\infty$

Den övre gränspunkten för en nummeruppsättning är den största av dess gränspunkter.

Den nedre gränspunkten för en nummeruppsättning är den minsta av dess gränspunkter.

Egenskaper

Varje uppsättning av begränsat antal som har ett oändligt antal element har både övre och nedre gränspunkter (i uppsättningen av reella tal ). Om vi lägger till mängden reella tal och , då i den resulterande mängden, har alla numeriska mängder med ett oändligt antal element gränspunkter. $-\infty$ $+\infty$

Från elementen i varje begränsad numerisk uppsättning som har ett oändligt antal element, kan man peka ut en konvergent sekvens vars element är parvis distinkta.

Gränspunkt för en nummersekvens

Gränspunkten för en sekvens är en punkt i vilket område som helst där det finns oändligt många element i denna sekvens [1] .

x

är gränspunkten för sekvensen

\left\{x_{n}\right\}_{{n=1}}^{{\infty }}\Leftrightarrow

\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0~\exists X\subseteq \mathbb{N} \colon \left|X\right|=\aleph _{0}\land \forall i\in X\colon \left|x_{ i}-x\right|<\varepsilon

Den största gränspunkten i en sekvens kallas dess övre gräns , och den minsta gränspunkten kallas dess nedre gräns .

Ibland ingår " " och " " i uppsättningen av möjliga gränspunkter. Så om en oändligt stor delsekvens kan väljas från en sekvens, vars alla element är negativa, så säger de att " " är gränspunkten för denna sekvens. Om det är möjligt att välja en oändligt stor delsekvens med uteslutande positiva element från sekvensen, så säger de att " " är dess gränspunkt [1] . I detta fall kan naturligtvis sekvensen även ha andra gränspunkter. $-\infty$ $+\infty$ $-\infty$ $+\infty$

Egenskaper

En punkt är en gränspunkt för en sekvens om och endast om det är möjligt att välja en delsekvens från denna sekvens som konvergerar till denna punkt (det vill säga punkten är en partiell gräns för sekvensen ). $x$ är gränspunkten för sekvensen $\left\{x_{n}\right\}_{{n=1}}^{{\infty }}\Leftrightarrow \exists \left\{k_{n}\right\}_{{n=1} }^{{\infty }}\forall i\in \mathbb{N} \colon k_{{i}}<k_{{i+1}}\land \lim _{{n\to \infty }}x_ {{k_{n}}}=x$ Ibland tas denna egenskap som en definition, och ovanstående definition är en egenskap.
Varje konvergent nummersekvens har bara en gränspunkt. $x,x'$ är gränspunkterna för sekvensen $\left\{x_{n}\right\}_{{n=1}}^{{\infty }}\land \exists \lim _{{n\to \infty }}x_{n}\Högerpil x =x'$
Gränspunkten för en konvergent numerisk sekvens sammanfaller med dess gräns . $x$ är gränspunkten för sekvensen $\left\{x_{n}\right\}_{{n=1}}^{{\infty }}\land \exists \lim _{{n\to \infty }}x_{n}\Rightarrow \ lim _{{n\to \infty }}x_{n}=x$
För vilken ändlig uppsättning punkter som helst kan man konstruera en sekvens för vilken dessa punkter kommer att vara gränspunkter och inga andra än dem.
En godtycklig nummersekvens har minst en gränspunkt (antingen reell eller oändlig ).

Exempel

Sekvensen av ettor har en unik gränspunkt 1 (även om det inte är gränspunkten för uppsättningen värden för elementen i sekvensen, som består av ett element). $\left\{1\right\}_{{n=1}}^{{\infty }}$
Sekvensen har en enda gränspunkt 0. $\left\{1/n\right\}_{{n=1}}^{{\infty }}$
Sekvensen av naturliga tal har inga gränspunkter (eller, med andra ord, har en gränspunkt ). $\left\{n\right\}_{{n=1}}^{{\infty }}$ $+\infty$
Sekvensen har två gränspunkter: −1 och +1. $\left\{\left(-1\right)^{n}\right\}_{{n=1}}^{{\infty }}$
En sekvens av alla rationella tal , numrerade godtyckligt, har oändligt många gränspunkter. $\left\{q_{n}\right\}_{{n=1}}^{{\infty }}$

Riktningsgränspunkt

Låt vara riktningen för elementen i det topologiska rummet . Då kallas det en riktningsgränspunkt om det för någon grannskap av punkten och för någon finns ett index så att och ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\}_{\alpha \in \mathrm {A} ))$ $X$ $x$ $U$ $x$ $\alpha \in \mathrm {A}$ $\beta \in \mathrm {A}$ $\beta \geqslant \alpha$ $x_{\beta }\in U$

Egenskaper

En punkt är en riktningsgränspunkt om och endast om det finns en underriktning som konvergerar till den punkten.
- I synnerhet är en punkt en gränspunkt för en sekvens om och endast om det finns en underriktning som konvergerar till den punkten.
- Om varje punkt i ett topologiskt utrymme har en räknebar bas, kan vi i föregående stycke tala om undersekvenser.

Exempel

Låt - riktas i stigande ordning. Riktningen har en enda gränspunkt i det topologiska rummet . $A=[0,1)$ ${\displaystyle \left\{\alpha \right\}_{\alpha \i A))$ ${ett}$ $[0, 1]$

Se även

isolerad prick

Anteckningar

↑ 1 2 3 V. A. Ilyin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sendov . Kapitel 3. Theory of Limits // Matematisk analys / Ed. A.N. Tikhonova . - 3:e uppl. , reviderad och ytterligare - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 92-105. — 672 sid. — ISBN 5-482-00445-7 .

Litteratur

Engelking, R. Allmän topologi. — M .: Mir , 1986. — 752 sid.
L.V. Kantorovich , G.P. Akilov . Funktionsanalys. — M .: Nauka, 1984. — 752 sid.