Hilberts tredje problem

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 4 november 2021; kontroller kräver 2 redigeringar .

Hilberts tredje problem är det tredje av problemen som David Hilbert ställde upp i sitt berömda föredrag vid II International Congress of Mathematicians i Paris 1900. Detta problem ägnas åt frågorna om lika sammansättning av polyedrar : möjligheten att skära två polyedrar med samma volym till ett ändligt antal lika delar-polyedrar.

Att ställa en sådan fråga berodde på det faktum att å ena sidan, på ett plan, är två polygoner med lika stor yta lika sammansatta - som Bolyai-Gervins sats säger . Å andra sidan var de befintliga metoderna för att bevisa formeln för volymen av en tetraeder (1/3 av produkten av höjden och arean av basen) på något sätt kopplade till gränsövergångar, och därmed med axiomet för Arkimedes [1] . Även om det bokstavligen i den formulering som Hilbert föreslagit handlade om den lika sammansättningen av tetraedrar (eller, mer exakt, om beviset för omöjligheten av en sådan uppdelning i det allmänna fallet), expanderar den omedelbart och naturligt till frågan om den lika sammansättningen av godtyckliga polyedrar av en given volym (eller, mer exakt, ungefär det nödvändiga och tillräckliga för dessa förhållanden).

Det tredje problemet visade sig vara det enklaste av Hilberts problem: ett exempel på ojämna tetraedrar med lika volym presenterades ett år senare, 1901, i arbetet [2] av Hilberts elev M. V. Dehn . Han konstruerade nämligen (med värden i någon abstrakt grupp ) en kvantitet - Dehn-invarianten - vars värden på lika sammansatta polyedrar är lika, och presenterade ett exempel på tetraedrar med samma volym, för vilka värdena för Dehn invariant är olika.

Senare, Seidleri sitt arbete [3] 1965 visade han att sammanträffandet av volymen och Dehn-invarianten inte bara är nödvändiga, utan också tillräckliga villkor för jämviktssammansättningen av polyedrar.

Förklaring av problemet

Hilberts tredje problem formuleras så här:

Gauss uttrycker i sina två brev till Gerling sin beklagande över att vissa välkända stereometripositioner beror på utmattningsmetoden, det vill säga i moderna termer på kontinuitetsaxiomet (eller på Arkimedes axiom).

Gauss noterar specifikt Euklids teorem, enligt vilken volymerna av triangulära pyramider med samma höjd är relaterade till arean av deras baser. Ett liknande problem med planimetri har nu lösts helt. Gerling lyckades också bevisa likheten mellan volymerna av symmetriska polyedrar genom att bryta upp dem i kongruenta delar.

Icke desto mindre förefaller det mig som i det allmänna fallet att beviset för den nämnda Euklides sats på detta sätt är omöjligt, och detta kan tydligen bekräftas av ett rigoröst bevis på omöjligheten.

Ett sådant bevis skulle kunna erhållas om det var möjligt att ange två tetraedrar med lika baser och lika höjder som inte på något sätt kan brytas ned till kongruenta tetraedrar och som inte heller kan kompletteras med kongruenta tetraedrar till sådana polyedrar för vilka sönderdelningen till kongruenta tetraedrar Kanske .

David Hilbert (citerad från boken av V. G. Boltyansky [4] )

Dehns invariant

Invarianten konstruerad av Dehn tar värden i en abstrakt grupp (och dessutom ett vektorrum över ) $\mathbb {Q}$

V=\mathbb{R} \otimes _{{\mathbb{Q} }}\mathbb{R} /\langle \{l\otimes \pi \mid l\in \mathbb{R} \}\rangle .

För en polytop P med kantlängder och motsvarande dihedriska vinklar sätts Dehn-invarianten D(P) lika med $l_{1},\dots ,l_{n}$ $\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}$

D(P):=\summa _{i}l_{i}\otimes \alpha _{i}\i V

När man skär en polyeder i delar kan värdet på summan "längd på kant inklusive vinkel" ändras endast när nya kanter dyker upp/försvinner, dyker upp innanför eller på gränsen. Men för sådana kanter är summan av de dihedriska vinklarna intill dem lika med eller respektive, därför ändras inte Dehn-invarianten som ett element i faktorn V . $\ ibland$ $2\pi$ $\pi$

Exempel

Ett exempel på tillämpningen av Dehn-invarianten är den ojämna sammansättningen av en kub och en vanlig tetraeder med lika volym: för en kub med en kant l är Dehn-invarianten , och för en vanlig tetraeder med en kant a - $12l\otimes {\frac {\pi }{2))=6l\otimes \pi =0$

6a\otimes 2\arctan {\frac {1}{{\sqrt {2))))\neq 0,

eftersom det $\arctan {\frac {1}{{\sqrt {2))))\notin \mathbb{Q} \pi .$

Anteckningar

↑ Arkiverad kopia (länk ej tillgänglig) . Hämtad 25 mars 2010. Arkiverad från originalet 17 oktober 2011. (obestämd) Arkiverad kopia (inte tillgänglig länk) . Hämtad 25 mars 2010. Arkiverad från originalet 17 oktober 2011. (obestämd)
↑ Max Dehn: "Über den Rauminhalt", Mathematische Annalen 55 (1901), nr. 3, sid. 465-478.
↑ Sydler, J.-P. "Cditions nécessaires et suffisantes pour l'équivalence des polyèdres de l'espace euclidean à trois dimensions." kommentar. Matematik. Helv. 40, 43-80, 1965.
↑ Boltjanskij V. G. Hilberts tredje problem . - M. : Nauka, 1977. - S. 46. - 208 sid. Arkiverad 21 april 2017 på Wayback Machine

Länkar

Weisstein, Eric W. Dehn Invariant (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .

Litteratur

Hilberts problem / red. P.S. Alexandrova . — M .: Nauka, 1969. — 240 sid. — 10 700 exemplar. Arkiverad 17 oktober 2011 på Wayback Machine
Boltjansky V. G. Hilberts tredje problem
Dehn, M. "Über raumgleiche Polyeder." Nachr. Konigl. Ges. der Wiss. zu Göttingen fd Jahr 1900, 345-354, 1900.
Dehn, M. "Über den Rauminhalt." Matematik. Ann. 55, 465-478, 1902.
Sydler, J.-P. "Cditions nécessaires et suffisantes pour l'équivalence des polyèdres de l'espace euclidean à trois dimensions." kommentar. Matematik. Helv. 40, 43-80, 1965.
P. Cartier, Décomposition des polyèdres: le point sur le troisième problème de Hilbert , Séminaire Bourbaki, 1984-85, nr 646, sid. 261-288.

Hilbert problem
ett 2 3 fyra 5 6 7 åtta 9 tio elva 12 13 fjorton femton 16 17 arton 19 tjugo 21 22 23 ( 24 )