Trivial topologi
Den triviala topologin i den allmänna topologin är topologin som endast består av hela rymden och den tomma mängden . Det är dock mer logiskt att kalla denna topologi antidiskret, eftersom både diskreta och antidiskreta topologier båda är ganska triviala i ordets allmänna språkbemärkelse.
Definition
Låt vara en godtycklig uppsättning . Familjen av delmängder där anger den tomma mängden är topologin . Denna topologi kallas trivial, antidiskret eller sticky points topologi . Paret kallas ett trivialt (annars: antidiskret) topologiskt utrymme .
Notera
Om uppsättningen innehåller mer än en punkt är alla topologiskt omöjliga att särskilja, eftersom de finns i ett enda område .
Egenskaper
- De enda slutna uppsättningarna i ett antidiskret topologiskt utrymme är och
- Den antidiskreta topologin har en unik bas :
- Ett antidiskret topologiskt utrymme uppfyller inte de flesta separationsaxiom . I synnerhet är det inte Hausdorff och därför inte mätbart . Det antidiskreta topologiska utrymmet uppfyller emellertid axiomen T 3 , T 31 , T 4 på grund av frånvaron i det av de objekt för vilka det är nödvändigt att kontrollera villkoren för axiomen. Det är därför som definitionerna av regelbundna, helt regelbundna och normala topologiska rum är föremål för kravet att uppfylla ytterligare ett axiom för separerbarhet: axiomet T 1 .
- Ett antidiskret topologiskt utrymme är kompakt och parakompakt .
- Varje sekvens av punkter från konvergerar till vilken punkt som helst från samma utrymme. I synnerhet är ett antidiskret topologiskt utrymme sekventiellt kompakt .
- Det inre av en godtycklig korrekt delmängd är tom.
- Stängningen av en godtycklig icke-tom delmängd sammanfaller med . I synnerhet är varje delmängd av ett antidiskret topologiskt utrymme överallt tätt in
- Två antidiskreta topologiska utrymmen är homeomorfa om och endast om de har samma kardinalitet .
