Trigammafunktion

Trigammafunktionen i matematik är den andra av polygammafunktionerna . Det betecknas och definieras som $\psi_{{1}}(z)$

\psi _{1}(z)={\frac {{{\rm {d}}}^{2}}{{{\rm {d}}}z^{2}}}\ln \Gamma ( z)\;,

var är gammafunktionen [1] . Av denna definition följer det $\Gamma(z)$

\psi _{1}(z)={\frac {({\rm {d}}}}{({\rm {d}}}z}}\psi (z)\;,

var är digammafunktionen (den första av polygammafunktionerna ) [2] . $\psi (z)$

Trigammafunktionen kan också definieras i termer av summan av följande serier:

\psi _{1}(z)=\summa _{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {1}{(z+n)^{2}}},

varifrån det kan ses att det är ett specialfall av Hurwitz zeta-funktionen [2 ] ,

\psi _{1}(z)=\zeta (2,z)\;.

Dessa formler är sanna när (vid de angivna punkterna har funktionen kvadratiska singulariteter , se funktionsdiagram). $z\neq 0,\;-1,\;-2,\;-3,\ldots$ $\psi_{{1}}(z)$

Det finns också andra notationer för användning i litteraturen: $\psi_{{1}}(z)$

\psi '(z),\;\;\;\psi ^{{(1)}}(z)\;.

Ibland används termen "trigammafunktion" för funktionen [1] . $F'(z)=\psi _{{1}}(z+1)$

Integral representationer

Med hjälp av serierepresentationen, såväl som formeln för summan av termerna för en geometrisk progression , kan man få följande dubbla integralerpresentation:

\psi _{1}(z)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{y}{\frac {x^{z-1}y}{1-x }}\,{\rm {d}}x\,{\rm {d}}y\;.

Integrering av delar ger följande engångsrepresentation:

\psi _{1}(z)=-\int _{0}^{1}{\frac {x^{z-1}\ln {x}}{1-x}}\,{ \rm {d}}x\;.

En annan representation används också, som kan erhållas från den föregående genom att ersätta x = e -t :

\psi _{1}(z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-zt)){1-e^{-t))}\,{\ rm {d}}t\;.

Andra formler

Trigammafunktionen uppfyller den rekursiva relationen [2]

\psi _{1}(z+1)=\psi _{1}(z)-{\frac {1}{z^{2}}}\;,

samt komplementformeln [2]

\psi _{1}(1-z)+\psi _{1}(z)={\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}(\pi z))))\;.

Trigammafunktionen för ett multipelargument har följande egenskap [2] :

\psi _{1}(kz)={\frac {1}{k^{2}}}\sum _{{n=0}}^{{k-1}}\psi _{1}\left (z+{\frac {n}{k}}\höger)\;.

Vi ger också en asymptotisk expansion med Bernoulli-tal :

\psi _{1}(z+1)={\frac {1}{z}}-{\frac {1}{2z^{2}}}+\summa _{k=1}^ {\infty }{\frac {B_{2k}}{z^{2k+1}}}\;.

Privata värden

Nedan är de särskilda värdena för trigammafunktionen [1] :

\psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G\;,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{3}}\right)={\tfrac {2}{3}}\pi ^{2}+3{\sqrt { 3}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {2}{3}}\pi \right)\;,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{2}}\right)={\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}\;,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {2}{3}}\right)={\tfrac {2}{3}}\pi ^{2}-3{\sqrt { 3}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {2}{3}}\pi \right)\;,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {3}{4}}\right)=\pi ^{2}-8G\;,

\psi _{1}(1)\;={\tfrac {1}{6}}\pi ^{2}\;,

där G är Catalana-konstanten och är Clausen-funktionen relaterad till den imaginära delen av dilogaritmen via ${\mathrm {Cl}}_{2}(\theta )$

{\mathrm {Cl}}_{2}(\theta )={\mathrm {Im}}\left[{\mathrm {Li}}_{2}\!\left(e^{{{\mathrm { i}}\theta }}\right)\right]\;.

Med hjälp av multipelargumentformeln och komplementformeln, samt kopplingen till Clausen-funktionen [3] [4] , får vi: $\psi_{{1}}\!\left({\tfrac 18}\right)$

\psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{6}}\right)=2\pi ^{2}+15{\sqrt {3}}\;\mathrm {Cl } _{2}\!\left({\tfrac {2}{3}}\pi \right)\;,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {5}{6}}\right)=2\pi ^{2}-15{\sqrt {3}}\;\mathrm {Cl } _{2}\!\left({\tfrac {2}{3}}\pi \right)\;,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{8}}\right)=(2+{\sqrt {2}})\pi ^{2}+4(4- {\sqrt {2}})G+16{\sqrt {2}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {\pi }{4}}\right)\; ,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {3}{8}}\right)=(2-{\sqrt {2}})\pi ^{2}-4(4+ {\sqrt {2}})G+16{\sqrt {2}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {\pi }{4}}\right)\; ,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {5}{8}}\right)=(2-{\sqrt {2}})\pi ^{2}+4(4+ {\sqrt {2}})G-16{\sqrt {2}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {\pi }{4}}\right)\; ,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {7}{8}}\right)=(2+{\sqrt {2}})\pi ^{2}-4(4- {\sqrt {2}})G-16{\sqrt {2}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {\pi }{4}}\right)\; .

För värden utanför intervallet kan upprepningen ovan användas. Till exempel [1] , $0<z\leq 1$

\psi _{1}\!\left({\tfrac {5}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G-16\;,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {3}{2}}\right)={\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}-4\;,

\psi _{1}(2)\;={\tfrac {1}{6}}\pi ^{2}-1\;.

Se även

Anteckningar

↑ 1 2 3 4 Eric W. Weisstein. Trigamma Function (engelska) på Wolfram MathWorlds webbplats .
↑ 1 2 3 4 5 Eric W. Weisstein. Polygamma Function (engelska) på Wolfram MathWorlds webbplats .
↑ C.C. Grosjean, Formler angående beräkningen av Clausen-integralen ${\mathrm {Cl}}_{2}(\theta )$ , J. Comp. Appl. Matematik. 11 (1984) 331-342
↑ PJ de Doelder, Om Clausen-integralen och en relaterad integral ${\mathrm {Cl}}_{2}(\theta )$ , J. Comp. Appl. Matematik. 11 (1984) 325-330

Länkar

Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions , (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4 . Se avsnitt §6.4
Eric W. Weisstein, Trigamma Function , MathWorld - mathworld.wolfram.com
Eric W. Weisstein, Polygamma Function , MathWorld - mathworld.wolfram.com