Orr-Sommerfeld ekvation

Orr-Sommerfeld- ekvationen är en ekvation av ett hydrodynamiskt egenvärdeproblem som beskriver stabiliteten hos ett planparallellt flöde av en viskös inkompressibel vätska med godtyckliga randvillkor och en hastighetsprofil. Det är en av de grundläggande ekvationerna i teorin om hydrodynamisk stabilitet .

Ekvationen publicerades först i verk av William McFadden Orr och Arnold Sommerfeld 1907-1908.

Problemformulering

Orr-Sommerfeld-ekvationen erhålls från Navier-Stokes-ekvationerna för små störningar av ett stationärt flöde. Om man antar att flödeshastigheten kan representeras som

{\vec {v}}=U(z){\vec {e}}_{x}+{\vec {v}}'(x,z),

var är den stationära flödesprofilen, kan man övergå till de linjäriserade Navier-Stokes ekvationer för störningar, som tillåter lösningar i form av resande vågor , där är vågantalet störningar längs axeln , och är hastigheten för deras utbredning. $U(z)$ ${\vec {v))'\sim \exp(ik(x-ct))$ $k$ $x$ $c$

Successivt exkludera trycket och den horisontella komponenten av störningshastigheten från ekvationerna direkt eller genom att passera till strömfunktionen , kan vi föra systemet till en ekvation för den vertikala komponenten, hastighetspotentialen eller strömningsfunktionen, oavsett vald transformationer:

(Uc)\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2))}-k^{2}\varphi \right)-{\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}\varphi ={\frac {1}{ik\mathrm {Re} }}\left({\frac {\partial ^{4}\varphi } {\partial z^{4))}-2k^{2}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2))}+k^{4}\varphi \right) ,

var är det dimensionslösa Reynolds-talet . $\mathrm{Re}$

När man skriver störningar i formen , var är ökningen (tillväxthastigheten) av störningar, kan man få en något annorlunda form av ekvationen: ${\vec {v))'\sim \exp(ikx+\lambda t)$ $\lambda$

(\lambda +ikU)\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2))}-k^{2}\varphi \right)-ik{\ frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2))}\varphi ={\frac {1}{\mathrm {Re} }}\left({\frac {\partial ^{4} \varphi }{\partial z^{4))}-2k^{2}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2))}+k^{4}\varphi \höger).

Ekvationen kompletteras med randvillkor för störningar motsvarande problemet. Till exempel, för ett flöde i en kanal med två solida väggar, kommer följande att utföras på dem:

\varphi =0,{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}=0,

om vi menar den vertikala komponenten av störningshastigheten eller potentialen för hastighetsfältet, eller $\varphi$

\varphi =0,{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}=0,

om är en funktion av strömmen. $\varphi$

Egenvärdet för det resulterande gränsvärdesproblemet är störningsutbredningshastigheten , som beror på vågtalet och Reynoldstalet. I det allmänna fallet är det ett komplext tal , och om den imaginära delen av hastigheten visar sig vara positiv, leder detta till en exponentiell tillväxt av störningar i tiden och följaktligen förlusten av stabiliteten hos det stationära flödet och övergången från laminärt till turbulent flöde . $c$

Lösningar till ekvationen

I allmänhet, även för de enklaste hastighetsprofilerna, såsom Poiseuille-flödet , kan denna ekvation inte lösas analytiskt. En exakt lösning kan endast erhållas för Couette-flödet (se nedan). För godtyckliga flöden, asymptotiska metoder, spektrala metoder ( samlokaliseringsmetod , Galerkin-metoden, etc.), specialiserade algoritmer för numerisk lösning av gränsvärdesproblem, såsom skjutmetoden eller differentialsvepmetoden , eller direkt numerisk simulering av utvecklingen av flödesinstabilitet används.

Analys av stabiliteten hos Couette-flödet

Se även

Litteratur

Orr, W. M'F. (1907). "Stabiliteten eller instabiliteten hos en vätskas stadiga rörelser. Del I". Proceedings of the Royal Irish Academy. A27:9-68
Orr, W. M'F. (1907). "Stabiliteten eller instabiliteten hos en vätskas stadiga rörelser. Del II". Proceedings of the Royal Irish Academy. A27:69-138
Sommerfeld, A. (1908). "Ein Beitrag zur hydrodynamische Erklärung der turbulenten Flüssigkeitsbewegungen". Proceedings of the 4th International Congress of Mathematicians III. Rom. pp. 116-124
Lin Chia Chiao . Teori om hydrodynamisk stabilitet. Moskva: Utländsk litteratur, 1958.

Ordböcker och uppslagsverk	stor kines