Beräkningsvätskedynamik

Computational fluid dynamics (även CFD från engelska computational fluid dynamics ) är en underavdelning av kontinuummekanik , inklusive en uppsättning fysiska, matematiska och numeriska metoder utformade för att beräkna egenskaperna hos flödesprocesser. Denna disciplin är nära besläktad med vätskedynamik .

Grundläggande principer

Grunden för all forskning inom området beräkningsvätskedynamik är formuleringen av de grundläggande ekvationerna för hydro- eller gasdynamik för flöden, nämligen:

kontinuitetsekvationer ;
momentumkonserveringsekvationer ; _
energihushållningsekvation ; _
tillståndsekvation (för gaser).

Momentumkonserveringsekvationen kan ta en annan form beroende på närvaron eller frånvaron av friktion. Navier-Stokes ekvation gäller för flöden med friktion, medan Euler -ekvationen gäller för flöden utan friktion. Beroende på förhållandena för problemet kan mediet betraktas som komprimerbart eller inkompressibelt. I det senare fallet är ekvationerna mycket förenklade.

Ovanstående ekvationer beskriver mediumflödesmodellen. Beroende på egenskaperna hos problemet som löses kan modellen kompletteras med ekvationer för att ta hänsyn till turbulens , med hänsyn till överföring av ämnen, med hänsyn till kemiska reaktioner, med hänsyn till flerfasighet, med hänsyn till elektromagnetiska interaktioner, etc.

Från ovanstående ekvationer kompileras ett system av icke-linjära differentialekvationer av andra ordningen. Systemet har en analytisk lösning endast i mycket enkla fall, när Reynolds-talet för problemet är litet och geometrin är enkel (till exempel Poiseuille-flödet ). För ett brett spektrum av naturliga och teknologiska processer kan problemet lösas numeriskt om derivatorna i ekvationerna ersätts av finita skillnader skapade med små rumsliga och tidsmässiga intervall. Vid modellering av en verklig process utförs den så kallade diskretiseringen av rum och tid på så sätt att processgeometrin delas in i beräknade celler, valda på ett speciellt sätt, och processtiden delas upp i beräknade tidsintervall. . Det finns olika metoder för att lösa ett ekvationssystem, till exempel:

ändlig skillnad metod ;
ändlig volym metod ;
finita elementmetod ;
utjämnade partikelmetod ;
metod som använder sannolikhetsfördelningsfunktionen.

Beslutsprocess

För att lösa problemen med beräkningsvätskedynamik utför speciell programvara sekventiellt åtgärder uppdelade i följande steg:

förberedande skede. I detta skede bildas modellens geometri, de nödvändiga fysiska förhållandena formuleras, geometrin diskretiseras, de initiala och randvillkoren för differentialekvationer är inställda;
beräkning. I detta skede löser maskinen, i enlighet med den givna algoritmen, numeriskt de grundläggande ekvationerna i termer av grundläggande fysiska parametrar (hastighet, tryck, densitet, temperatur, entalpi, etc.), och skriver även lösningsresultaten till minnet;
analys. Resultaten av lösningen visas i form av grafer, tabeller och kontur- och/eller vektordiagram kopplade till den ursprungliga geometrin.

Metod

Alla dessa tillvägagångssätt använder samma grundläggande metodik.

Förbearbetning (förbearbetning);
- Geometrin och fysiska gränser för ett objekt bestäms med hjälp av datorstödd design (CAD, eng. CAD). Som ett resultat kan uppgifterna bearbetas på ett sådant sätt att det blir tekniskt möjligt att isolera och extrahera volymen vätska;
- Volymen som upptas av vätskan är uppdelad i separata celler (rutnät, engelska mesh ). Gallret kan vara homogent eller inhomogent, strukturerat eller ostrukturerat, bestående av en kombination av hexaedriska, tetraedriska, prismatiska, pyramidformade eller polyedriska element;
- Bestämning av modelleringskriterier - till exempel, såsom: ekvation av vätskerörelse + entalpi + strålning + artbevarande;
- Bestämning av gränsvillkoren för vätskans beteende och egenskaper vid vätskedomänens alla gränsytor. För dynamiska problem bestäms dessutom initialförhållandena;
Köra en simulering , under vilken ekvationerna löses iterativt som stationära eller transienta;
Efterbearbetning krävs för analys och visualisering av den resulterande lösningen.

Diskretiseringsmetoder

Stabiliteten för den valda diskretiseringsmetoden fastställs vanligtvis numeriskt och inte analytiskt, som med enkla linjära problem. Särskild försiktighet måste också iakttas för att säkerställa att de olika lösningarna hanteras graciöst för en given provtagningsmetod. Till exempel tar Euler-ekvationerna och Navier-Stokes-ekvationerna hänsyn till stötar och kontaktytor.

Några av de diskretiseringsmetoder som används är:

Metod med ändlig volym

Finite Volume Method (FVM) är ett vanligt tillvägagångssätt som används inom Computational Fluid Dynamics eftersom det har fördelen att använda datorminne och lösningshastighet, särskilt för stora problem med höga Reynolds-tal, turbulenta flöden och källor med dominant flöde (till exempel, förbränning) [1] .

I den finita volymmetoden rekonstrueras partiella differentialkontrollekvationer (vanligtvis Navier-Stokes ekvationer, mass- och energikonserveringsekvationer och turbulensekvationer) i en konservativ form och löses sedan över diskreta kontrollvolymer. Denna diskretisering garanterar att flödena hålls genom en viss kontrollvolym.

Den slutliga volymekvationen är:

{\partial \over \partial t}\iiint QdV+\iint FdA=0

där Q är vektorn för bevarade variabler, F är flödesvektorn (se Euler-ekvationerna eller Navier-Stokes-ekvationerna ), V är volymen av kontrollvolymelementet, A är ytarean av kontrollvolymelementet.

Finita element-metod

Finita elementmetoden används vid strukturanalys av fasta ämnen, men är även tillämpbar på vätskor. Metodformulering kräver dock särskild omsorg för att säkerställa en konservativ lösning. Denna formel har anpassats för användning inom hydrodynamik genom partiella differentialekvationer. Även om metoden måste vara noggrant formulerad för att hålla lösningen konservativ, slutar den med att vara mycket mer stabil än den finita volymmetoden [2] . Den här metoden kan dock kräva mer minne och har en längre lösningstid än den finita volymmetoden [3] .

R_{i}=\iiint W_{i}Q\,dV^{e}

där är resten av ekvationen i det översta elementet , är bevarandeekvationen uttryckt i termer av elementet, är viktningsfaktorn och är elementets volym. $R_i$ $i$ $F$ $W_i$ $V^{e}$

Finita skillnadsmetod

Den finita skillnadsmetoden har historiskt erkännande och utmärker sig för sin enkla programmering. För närvarande används metoden endast i ett fåtal specialiserade koder som hanterar komplex geometri med hög precision genom att använda inbäddade gränser eller överlappande maskor (med lösningsinterpolation över varje maska).

{\frac {\partial Q}{\partial t))+{\frac {\partial F}{\partial x))+{\frac {\partial G}{\partial y))+{\ frac {\partial H}{\partial z}}=0

där är vektorn av bevarade variabler, och , och är flöden i , och riktningar, respektive. $F$ $F$ $G$ $H$ $x$ $y$ $z$

Spektralelementmetod

Metoden för spektrala element är metoden för gruppen av ändliga element. Metoden kräver att det matematiska problemet (partiell differentialekvation) presenteras i en svag formulering. Detta görs vanligtvis genom att multiplicera differentialekvationen med en godtycklig testfunktion och integrera över hela domänen. Rent matematiskt är testfunktioner helt godtyckliga – de tillhör ett oändligt dimensionellt funktionsrum. Det är tydligt att ett oändligt dimensionellt funktionsrum inte kan representeras på ett diskret rutnät av spektrala element; här börjar diskretiseringen av spektrala element. Det viktigaste är valet av interpolations- och testfunktioner. I standardmetoden för 2D finita element för fyrsidiga element är det mest typiska valet ett bilinjärt test eller interpolationsfunktion av formen:

v(x,y)=ax+by+cxy+d

I spektralelementmetoden väljs emellertid interpolations- och testfunktionerna som polynom av mycket hög ordning (vanligtvis till exempel 10:e ordningen i CFD-tillämpningar). Detta garanterar snabb konvergens av metoden. Dessutom måste mycket effektiva integrationsprocedurer användas eftersom antalet integrationer som ska utföras i numeriska koder är stort.

Sålunda används kvadraturkvadrater av hög ordning eftersom de uppnår den högsta noggrannheten med minsta möjliga beräkning som ska utföras.

Det finns för närvarande några akademiska versioner av CFD-koder baserade på spektralelementmetoden, och flera fler utvecklas i takt med att nya tidsstegsscheman utvecklas i akademin.

Gränselementmetod

I gränselementmetoden delas gränsen som upptas av vätskan av ett ytnät.

Högupplösta samplingsscheman

Högupplösta kretsar används där stötar eller avbrott finns. Att fånga plötsliga förändringar i en lösning kräver användning av andra eller högre ordningens numeriska scheman som inte introducerar falska fluktuationer. Detta kräver vanligtvis användning av flödesbegränsare för att minska den totala lösningsavvikelsen.

Turbulensmodeller

Vid beräkningsmodellering av turbulenta flöden är ett vanligt mål att få fram en modell som kan förutsäga en mängd av intresse för forskaren, såsom vätskehastighet, i syfte att modellera tekniska strukturer. För turbulenta flöden gör omfånget av längdskalor och komplexiteten hos de fenomen som är förknippade med turbulens de flesta modelleringsmetoder oöverkomligt dyra; upplösningen som krävs för att lösa alla skalor associerade med turbulens är bortom vad som kan beräknas. Det primära tillvägagångssättet i sådana fall är att skapa numeriska modeller för att approximera fenomen som inte kan lösas med hög noggrannhet. Det här avsnittet listar några vanliga beräkningsmodeller för turbulenta flöden.

Turbulensmodeller kan klassificeras efter deras beräkningskostnad, vilket motsvarar intervallet av skalor som är modellerade jämfört med de tillåtna (ju större turbulensskalor som är tillåtna, desto mer exakt är upplösningen av simuleringen, och därmed desto högre beräkningsresurskostnad ). Om de flesta eller alla turbulensskalorna inte är modellerade är beräkningskostnaden liten, men avvägningen sker då på bekostnad av minskad noggrannhet.

Förutom det breda intervallet av längder och tidsskalor och tillhörande beräkningskostnad innehåller de styrande ekvationerna för vätskedynamikmodellen en icke-linjär konvektiv term och en icke-linjär och icke-lokal tryckgradient. Dessa olinjära ekvationer måste lösas numeriskt med lämpliga gräns- och initialvillkor.

Reynolds ekvationer, Navier-Stokes ekvationer

Reynolds Navier-Stokes ( RANS ) ekvationer är den äldsta metoden för turbulensmodellering. De styrande ekvationerna för modellerna löses, där nya skenbara spänningar, kända som Reynolds spänningar, introduceras. En vanlig missuppfattning är att RANS-ekvationerna inte gäller för tidsvarierande medelflöden eftersom dessa ekvationer är "genomsnittliga över tid". Faktum är att statistiskt icke-stationära (eller bara icke-stationära) strömmar kan behandlas på samma sätt. Detta kallas ibland URANS. Det finns inget i Reynolds-ekvationerna som komplicerar turbulensmodellerna, men de är bara giltiga så länge som tiden under vilken dessa förändringar inträffar i genomsnitt är lång jämfört med tidsskalorna för turbulenta rörelser, där det mesta av energin är koncentrerad.

RANS-modeller kan delas in i två tillvägagångssätt:

Boussinesq-approximationen

Denna metod innebär att man använder en algebraisk Reynolds spänningsekvation som definierar turbulent viskositet beroende på nivån på modellens komplexitet, löser transportekvationer för att bestämma turbulent kinetisk energi och förlust. Modeller inkluderar k-ε-modellen [4] , blandningslängdmodellen [5] och nollekvationsmodellen [5] . De tillgängliga modellerna i detta tillvägagångssätt är ofta associerade med antalet överföringsekvationer som är associerade med denna metod. Till exempel kallas Blend Length-modellen ofta som "nollekvationen" eftersom den inte tillämpar eller löser transportekvationer; modellen kallas en "tvånivåekvation" eftersom modellen löser två transportekvationer för resp . $k-\epsilon$ $k$ $\epsilon$

Reynolds lastmodell

Detta tillvägagångssätt löser faktiskt transportekvationerna för Reynolds spänningar. Detta innebär att införa flera överföringsekvationer för alla Reynolds-spänningar, och därför är detta tillvägagångssätt mycket dyrare att köra på CPU.

Stor virvelmetod

Metoden Large Eddy Simulation (LES) är en av metoderna för att modellera turbulenta flöden.

Tanken med metoden är att stora skalor av turbulens beräknas explicit, medan effekterna av mindre virvlar modelleras med hjälp av regler för stängning av undernät. Konserveringsekvationerna för modellering av stora virvlar erhålls genom att filtrera de momentana bevarandeekvationerna. LES för reagerande flöden bestämmer det momentana läget för den "stora skalan" som tillåter flamfronten, men subgridmodellen kräver att man tar hänsyn till effekten av små turbulensskalor på förbränning. För en jetflamma fångar LES lågfrekventa variationer i parametrar, till skillnad från RANS, vilket resulterar i konstanta medelvärden. I det här fallet förbrukas mer datorkraft, men fortfarande mindre än för direkt numerisk simulering (DNS).

Lokal vortexmodellering

Den lokala virvelsimuleringen (DES) är en modifiering av RANS-modellen där modellen växlar till subnätskalning på platser som är tillåtna för LES-beräkningar. Där orter är belägna nära fasta (hårda) gränser och där den turbulenta längdskalan är mindre än den maximala rutnätsstorleken, lanseras RANS-lösningsläget. Där den turbulenta längdskalan överstiger rutnätsstorleken löses modellen med LES-läget. Därför är nätupplösningen för DES-modellen inte lika krävande som för den rena LES-modellen, vilket avsevärt minskar beräkningskostnaden. Även om DES-metoden ursprungligen formulerades för Spalart-Allmaras-modellen , kan den implementeras med andra RANS-modeller genom att på lämpligt sätt modifiera längdskalan som är explicit eller implicit involverad i RANS-modellen. Medan DES baserad på Spalart-Allmaras fungerar som LES, beter sig DES baserad på andra modeller (t.ex. två ekvationsmodeller) som en hybrid RANS-LES-modell. Generering av mesh är i allmänhet mer komplicerat än för det enkla RANS- eller LES-fallet på grund av RANS-LES-växling. DES är ett icke-zoniskt tillvägagångssätt och ger ett jämnt hastighetsfält genom RANS- och LES-modelllokaliteter.

Direkt numerisk simulering

Direkt numerisk simulering (Direct Numerical Simulation, DNS) är en av metoderna för numerisk simulering av vätske- eller gasflöden.

Metoden är baserad på den numeriska lösningen av Navier-Stokes ekvationssystem och tillåter modellering i det allmänna fallet för rörelsen av viskösa komprimerbara gaser, med hänsyn tagen till kemiska reaktioner , både för laminära och, trots många tvister, turbulenta fall.

DNS är dock svårt att applicera på verkliga problem, och används oftare i vetenskapliga beräkningar. Den främsta anledningen till detta är de höga kraven på datorresurser. I tillämpade problem används främst metoder som LES, DES och metoder baserade på lösning av RANS-system.

Koherent vortexmodellering

Metoden för koherent virvelsimulering (Coherent Vortex Simulation, CVS) delar upp det turbulenta flödesfältet i en koherent del, bestående av en organiserad virvelrörelse, och en inkoherent del, som är ett slumpmässigt bakgrundsflöde [6] . Denna separation görs med hjälp av wavelet- filtreringsmetoden . Detta tillvägagångssätt har mycket gemensamt med LES genom att det använder sönderdelning och endast tillåter den filtrerade delen, men skiljer sig genom att det inte använder ett linjärt lågpassfilter. Istället är filtreringsoperationen burstbaserad och filtret kan anpassas allteftersom flödesfältet utvecklas. Farge och Schneider testade CVS-metoden med två flödeskonfigurationer och visade att den koherenta delen av flödet uppvisar det energispektrum som uppvisas av fullt flöde och motsvarar koherenta strukturer (virvelflöden), medan de osammanhängande delarna av flödet bildar en homogen bakgrund buller som inte har några organiserade strukturer. Goldstein och Vasiliev [7] tillämpade FDV-modellen på den stora virvelmetoden, men antog inte att waveletfiltret helt eliminerade alla koherenta rörelser från subfiltrets vikter. Med hjälp av LES- och CVS-filtrering visade de att SFS-förlusten dominerade den koherenta delen av SFS-flödesfältet. $-{\frac {40}{39}}$

Sannolikhetstäthetsmetoder

Probability Density Function (PDF) -metoderna för turbulenta förhållanden, som först introducerades av Thomas Lundgren [8] , bygger på att spåra hastigheten för en punkt i en sannolikhetstäthetsfunktion , vilket ger sannolikheten för en hastighet i en punkt mellan och . Detta tillvägagångssätt liknar den kinetiska teorin om gaser, där de makroskopiska egenskaperna hos en gas beskrivs av ett stort antal partiklar. PDF-metoderna är unika genom att de kan appliceras på ett antal olika turbulensmodeller; de största skillnaderna uppstår i form av PDF-transportekvationen. Till exempel, i samband med den stora virvelmetoden, filtreras PDF. PDF-metoder kan också användas för att beskriva kemiska reaktioner [9] [10] och är särskilt användbara för att modellera kemiskt reagerande flöden eftersom källorna till kemiska reaktioner inte kräver modeller. PDF spåras vanligtvis med lagrangiska partikelmetoder; kombinerat med den stora virvelmetoden leder detta till Langevin-ekvationen . $f_{V}({\boldsymbol {v));{\boldsymbol {x)),t)d{\boldsymbol {v}}$ ${\bold symbol {x}}$ ${\bold symbol {v))$ ${\boldsymbol {v}}+d{\boldsymbol {v}}$

Vortexmetod

Vortexmetoden är en icke-grid-metod för att modellera turbulenta flöden. Den använder virvlar som beräkningselement som efterliknar fysiska strukturer i turbulens. Vortex-metoder utvecklades som en icke-mesh-metodik som inte skulle begränsas av de grundläggande utjämningseffekterna som är förknippade med nätet. Men för praktisk tillämpning kräver vortexmetoder ett medel för att snabbt beräkna hastigheterna för virvelelement - med andra ord kräver de en lösning för N-kroppens gravitationsproblem , där rörelsen hos N objekt är förknippad med deras ömsesidiga påverkan. Ett genombrott inträffade i slutet av 1980-talet med utvecklingen av Fast Multipole Method (FMM), algoritmen för V. Rokhlin (Yale) och L. Gringar ( Courant Institute ). Detta genombrott banade väg för praktisk beräkning av virvelelementhastigheter och är grunden för framgångsrika beräkningsalgoritmer. De är särskilt väl lämpade för att simulera filamentös rörelse (t.ex. rökpuffar) i realtidssimuleringar som videospel, uppnådda med minimal beräkning [11] .

Mjukvaran baserad på vortexmetoden erbjuder nya verktyg för att lösa vätskedynamikproblem med minimalt användaringripande. Allt som krävs är specifikationen av problemets geometri och fastställandet av gräns- och initialvillkor. Bland de betydande fördelarna med denna moderna teknik:

Praktiskt taget inget mesh, vilket eliminerar flera iterationer associerade med RANS och LES
alla problem behandlas lika, inga simuleringsingångar eller kalibrering krävs;
tidsseriesimuleringar är möjliga, vilket är avgörande för korrekt akustisk analys;
både små och stora skalor simuleras exakt samtidigt.

Den virvelbegränsande metoden

Vorticity Confinement Method (VC) är en Euler-metod som används för att modellera turbulenta vågor. En ensam vågliknande metod används för att generera en stabil lösning utan numerisk expansion. VC kan fånga finskaliga funktioner med en noggrannhet på 2 rutnätsceller. Inom ramen för dessa egenskaper löses en icke-linjär differensekvation, i motsats till den ändliga differensekvationen . VC liknar chockfångningsmetoder där bevarandelagar beaktas så att betydande integralvärden beräknas med hög noggrannhet.

Linjär virvelmodell

Detta är metoden som används för att simulera den konvektiva blandningen som sker i ett turbulent flöde [12] . I synnerhet tillhandahåller det ett matematiskt sätt att beskriva interaktionerna mellan en skalär variabel i ett vektorflödesfält. Det används främst i endimensionella representationer av turbulent flöde eftersom det kan appliceras över ett brett spektrum av längdskalor och Reynolds-tal. Denna modell används ofta som en av byggstenarna för mer komplexa flödesvisualiseringar eftersom den ger högupplösta förutsägelser som kvarstår över ett brett spektrum av flödesförhållanden.

Tvåfasflöde

Metoden för tvåfasflödessimulering är fortfarande under utveckling. Olika metoder har föreslagits, inklusive vätskevolymmetoden, nivådetekteringsmetoden och kantspårning. [13] [14] Dessa metoder är ofta baserade på en avvägning mellan att behålla ett skarpt gränssnitt eller att spara massa. Detta är kritiskt eftersom uppskattningen av densitet, viskositet och ytspänning är baserad på gränssnittsmedelvärden. Flerfasiga Lagrange-modeller, som används för dispergerade media, är baserade på att lösa Lagrange-rörelseekvationen för en dispergerad fas.

Lösningsalgoritmer

Diskretisering i rymden genererar ett system av vanliga differentialekvationer för icke-stationära problem och algebraiska ekvationer för stationära problem. Implicita eller semi-implicita metoder används vanligtvis för att integrera vanliga differentialekvationer, vilket skapar ett system av icke-linjära algebraiska ekvationer. Att tillämpa Newton- eller Picard -iteration ger ett system av linjära ekvationer som är icke-symmetriskt i närvaro av advektion och obestämt i närvaro av inkompressibilitet. Sådana system, särskilt i 3D, är ofta för stora för direktlösare, så iterativa metoder används, antingen stationära metoder som avslappningsmetoden eller Krylov subrymdmetoder . Krylov-metoder som GMRES, som vanligtvis används med förkonditionering , fungerar genom att minimera återstoden i på varandra följande underutrymmen som genereras av förkonditioneringsoperatören.

Multigridmetoden har fördelen av asymptotiskt optimal prestanda för många problem. Traditionella lösare och förkonverterare är effektiva för att reducera de högfrekventa restkomponenterna, men de lågfrekventa komponenterna kräver vanligtvis många iterationer. Multigrid-metoden arbetar i flera skalor och reducerar alla kvarvarande komponenter med liknande faktorer, vilket resulterar i ett rutnätsoberoende antal iterationer.

För osäkra system, såsom förkonditioneringsmedel för ofullständig LU-nedbrytning, fungerar additiv Schwartz-metoden och multigrid-metoden dåligt eller ofullständigt, så problemstrukturen behöver effektiva preliminära förberedelser.

Programvara

Det finns många matematiska program utformade för att utföra beräkningar av vätskors och gasers rörelse, till exempel:

Acu Solve ;
ADINA ;
Advanced Simulation Library [15] (gratis ( AGPLv 3) hårdvaruaccelererad programvara ; C++ API; intern motor baserad på OpenCL);
ANSYS CFX ;
ANSYS Flytande ;
Autodesk Simulation CFD (tidigare kallad "CFdesign");
Comsol Multiphysics ( engelska ; tidigare kallad "FEMlab");
FloEFD (en produkt från Mentor Graphics , även känd som SolidWorks Flow Simulation)
FlowVision [16] (ryskt mjukvarupaket av TESIS, distribuerat utanför CIS av Capvidia)
OpenFOAM (fri programvara);
Phoenix ;
Star-CD (utvecklaren är CD-adapco , ägd av Siemens);
Star-CCM+ (utvecklaren är CD-adapco , ägd av Siemens);
Hingst 3D ;
XFlow ;
Logos (Utveckling av Institutet för teoretisk och matematisk fysik RFNC-VNIIEF )

Det finns också specialiserade mjukvarusystem utformade för att lösa en viss typ av problem. Till exempel, för att simulera de processer som sker i en förbränningsmotor skapades programvaran Fire ( AVL ), KIVA ( LANL ), Vectis ( Ricardo ).

Litteratur

JD Anderson, Jr. Computational Fluid Dynamics. Grunderna med applikationer. McGraw-Hill vetenskap/teknik/matematik; 1 upplaga (1 februari 1995). ISBN 0070016852
C.T. Crowe, J.D. Swarzkopf, M. Sommerfeld, Y. Tsuji . Flerfasflöden med droppar och partiklar. C.R.C. Press; 1 upplaga (13 november 1997). ISBN 0849394694
Statistisk modellering i beräkningsaerodynamik / Yu. I. Khlopkov . - Moskva: Azbuka-2000, 2006. - 157 sid. : ill., tab.; 22 cm - (Sapere aude / MIPT).; ISBN 5-7417-0131-0
Renormaliseringsgruppmetoder för att beskriva turbulenta rörelser av en inkompressibel vätska / Yu. I. Khlopkov, V. A. Zharov, S. L. Gorelov. - Moskva: MIPT (State University), 2006. - 491 s. : sjuk.; 22 cm; ISBN 5-7417-0154-X
Monte Carlo-metoder inom vätske- och gasmekanik / O.M. Belotserkovsky , Yu. I. Khlopkov. - Moskva: Azbuka-2000, 2008. - 329 s. : ill., tab.; 21 cm; ISBN 978-5-7417-0226-0

Anteckningar

↑ Patankar, Suhas V. Numerisk värmeöverföring och vätskeflöde. — Hemisphere Publishing Corporation. - 1980. - ISBN 0891165223 .
↑ Surana, K.A.; Allu, S.; Tenpas, PW; Reddy, JN k-version av finita elementmetod i gasdynamik: global differentiability numerical solutions // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 2007. - Februari ( vol. 6 , nr 69 ). — S. 1109–1157 . - doi : 10.1002/nme.1801 . - .
↑ Huebner, KH; Thornton, EA; och Byron, TD The Finite Element Method for Engineers (tredje upplagan). - Wiley Interscience.. - 1995.
↑ Launder, B.E.; D.B. Spalding. Den numeriska beräkningen av turbulenta flöden // Datormetoder inom tillämpad mekanik och teknik. - 1974. - Nr 3 (2) . — S. 269–289 . - doi : 10.1016/0045-7825(74)90029-2 .
↑ 1 2 Wilcox, David C. Turbulensmodellering för CFD. - DCW Industries, Inc.. - 2006. - ISBN 978-1-928729-08-2 ..
↑ Farge, Marie; Schneider, Kai. Coherent Vortex Simulation (CVS), en semi-deterministisk turbulensmodell som använder vågor // Flöde, turbulens och förbränning. - 2001. - T. 66 (4) . — S. 393–426 . - doi : 10.1023/A:1013512726409 .
↑ Goldstein, Daniel; Vasilyev, Oleg. Stokastisk koherent adaptiv simuleringsmetod för stor virvel // Physics of Fluids. - 1995. - T. 24 , nr 7 . - S. 2497 . - doi : 10.1063/1.1736671. . - .
↑ Lundgren, TS Modellekvation för icke-homogen turbulens // Physics of Fluids. - 1969. - V. 12 (3) , nr 485-497 . - doi : 10.1063/1.1692511. .
↑ Fox, Rodney. Beräkningsmodeller för turbulenta reagerande flöden // Cambridge University Press. - ISBN 978-0-521-65049-6 .
↑ Pope, SB PDF-metoder för turbulenta reaktiva flöden // Progress in Energy and Combustion Science. - 1985. - T. 11 (2) . — S. 119–192 . - doi : 10.1016/0360-1285(85)90002-4 .
↑ Gourlay, Michael J. Fluid Simulering för videospel . - Intel Software Network.. - 2009. Arkiverad 15 november 2018 på Wayback Machine
↑ Krueger, Steven K. Linjära virvelsimuleringar av blandning i ett homogent turbulent flöde // Fysik av vätskor. - 1993. - V. 5 (4): 1023 . - doi : 10.1063/1.858667 . - .
↑ Hirt, CW; Nichols, BD Volym av vätska (VOF) metod för dynamiken i fria gränser // Journal of Computational Physics.. - 1981.
↑ Unverdi, SO; Tryggvason, G. En frontspårningsmetod för viskösa, inkompressibla, multivätskeflöden. — J. Comput. Phys.. - 1992.
↑ Avancerat simuleringsbibliotek . Hämtad 30 oktober 2015. Arkiverad från originalet 1 mars 2017. (obestämd)
↑ TESIS Company. FlowVision CFD Complex . www.flowvision.ru Datum för åtkomst: 19 oktober 2016. Arkiverad från originalet 23 oktober 2016. (obestämd)