Ekvation av fjärde graden

Ekvation av fjärde graden - i matematik , en algebraisk ekvation av formen:

f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,\quad a\neq 0.

Den fjärde graden för algebraiska ekvationer är den högsta för vilken det finns en analytisk lösning i radikaler i allmän form (det vill säga för alla värden på koefficienterna).

Eftersom funktionen är ett polynom med jämn grad, har den samma gräns som den tenderar till plus och minus oändlighet. Om , så ökar funktionen till plus oändlighet på båda sidor, vilket betyder att den har ett globalt minimum. På samma sätt, om , minskar funktionen till minus oändligt på båda sidor, vilket betyder att den har ett globalt maximum. $f(x)$ $a>0$ $a<0$

Vietas teorem för en fjärdegradsekvation

Rötterna till fjärdegradsekvationen är relaterade till koefficienterna enligt följande: $x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,x_{4}$ $a,\,b,\,c,\,d,\,e$

x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-{\frac {b}{a)),

x_{1}\,x_{2}+x_{1}\,x_{3}+x_{1}\,x_{4}+x_{2}\,x_{3}+x_{2}\, x_{4}+x_{3}\,x_{4}={\frac {c}{a}},

x_{1}\,x_{2}\,x_{3}+x_{1}\,x_{2}\,x_{4}+x_{1}\,x_{3}\,x_{4} +x_{2}\,x_{3}\,x_{4}=-{\frac {d}{a}},

x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,x_{4}={\frac {e}{a}}.

Historik

Ekvationer av fjärde graden övervägdes först av forntida indiska matematiker mellan 300-talet f.Kr. före Kristus e. och II århundradet. n. e.

Lodovico Ferrari är krediterad för att ha erhållit lösningen av ekvationen av fjärde graden 1540, men hans arbete förlitade sig på lösningen av kubikekvationen, som han inte hade, så denna lösning publicerades inte omedelbart, [1] utan publicerades först 1545, tillsammans med lösningen av mentorns kubikekvation Ferrari - Gerolamo Cardano i boken " Stor konst " [2] .

Att detta är den största styrkan i en ekvation för vilken en generell lösningsformel kan ges bevisades i Abel-Ruffinis sats 1824. De anteckningar som Galois lämnade ledde senare till en elegant teori om polynomrötter, av vilken denna sats var en av dem. av resultaten. [3]

Beslut

Lösning via resolvent

Lösning av ekvationen av fjärde graden

x^{4}+px^{2}+qx+r=0

reducerar till att lösa den kubiska upplösningen

y^{3}-2py^{2}+(p^{2}-4r)y+q^{2}=0

Upplösningsmedlets rötter är relaterade till rötterna till den ursprungliga ekvationen (som måste hittas) genom följande relationer: ${\displaystyle y_{1},y_{2},y_{3))$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4))$

y_{1}=(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4})

y_{2}=(x_{1}+x_{3})(x_{2}+x_{4})

y_{3}=(x_{1}+x_{4})(x_{2}+x_{3})

Lösningsmedlets rötter kan hittas med Cardanos formel . Tre formler för sambanden mellan och tillsammans med ekvationen ( Vietas relation för koefficienten på ) ${\displaystyle y_{i))$ $x_{i}$ ${\displaystyle x^{3))$

x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0

ge ett system med 4 algebraiska ekvationer med 4 okända, som är lätt att lösa.

Descartes-Eulers lösning

I en fjärdegradsekvation

ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,\quad a\neq 0

gör en substitution får vi ekvationen i följande form (den kallas "ofullständig"): $x=y-{\frac {b}{4a))$

y^{4}+py^{2}+qy+r=0,

var

p={\frac {8ac-3b^{2}}{8a^{2}}},

q={\frac {8a^{2}d-4abc+b^{3}}{8a^{3}}},

r={\frac {256a^{3}e-64a^{2}bd+16ab^{2}c-3b^{4}}{256a^{4}}}.

Rötterna till en sådan ekvation är lika med ett av följande uttryck: $y_{1},\,y_{2},\,y_{3},\,y_{4}$

\pm {\sqrt {z_{1))}

\pm {\sqrt {z_{2))}

\pm {\sqrt {z_{3}}},

där kombinationer av tecken väljs på ett sådant sätt att följande relation uppfylls:

(\pm {\sqrt {z_{1}}})(\pm {\sqrt {z_{2}}})(\pm {\sqrt {z_{3}}})=-{\frac {q} {åtta}},

och är rötterna till kubikekvationen $z_{1},\,z_{2},\,z_{3}$

z^{3}+{\frac {p}{2}}z^{2}+{\frac {p^{2}-4r}{16}}z-{\frac {q^{2}} {64}}=0.

Ferraris beslut

Lösningen av en fjärdegradsekvation av formen kan hittas med Ferrari-metoden. If är en godtycklig rot av kubikekvationen $x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ $y_1$

y^{3}-by^{2}+(ac-4d)ya^{2}d+4bd-c^{2}=0,

(2)

( huvudekvationens upplösning ), då hittas de fyra rötterna i den ursprungliga ekvationen som rötterna till två andragradsekvationer

x^{2}+{\frac {a}{2}}x+{\frac {y_{1}}{2}}=\pm {\sqrt {\left({\frac {a^{2}} {4}}-b+y_{1}\right)x^{2}+\left({\frac {a}{2}}y_{1}-c\right)x+{\frac {y_{1 }^{2}}{4}}-d}}

där det radikala uttrycket på höger sida är en perfekt kvadrat .

Biquadratisk ekvation

En biquadratisk ekvation [4] är en ekvation av den fjärde graden av formen , där ges komplexa tal och . Med andra ord är detta en ekvation av fjärde graden, där den andra och fjärde koefficienten är lika med noll. Genom substitution reduceras det till en andragradsekvation för . $ax^{4}+bx^{2}+c=0$ $a,b,c$ $a\not=0$ $y=x^{2};y\geqslant 0$ $y$

Dess fyra rötter hittas av formeln

x_{1,2,3,4}=\pm {\sqrt {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac))}{2a))}.

Ömsesidiga ekvationer av fjärde graden

Den ömsesidiga ekvationen av fjärde graden är också relativt lätt att lösa: för sådan att , lösningen hittas genom reduktion till formen: $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a=0$ $a \neq 0$

a\left(x^{2}+{1 \over x^{2}}\right)+b\left(x+{1 \over x}\right)+c=0

Efter ersättningen söks en lösning till andragradsekvationen och sedan till andragradsekvationen . $t={x+{1\över x}}$ $vid^{2}+bt+c-2a=0$ $x^2 - tx + 1 = 0$

Anteckningar

↑ Ferrari-biografi . Hämtad 26 september 2009. Arkiverad från originalet 29 oktober 2009. (obestämd)
↑ "Great Art" ( Ars magna Arkiverad 26 juni 2008 på Wayback Machine , 1545 )
↑ Stuart, Ian . Galois Theory, tredje upplagan (Chapman & Hall/CRC Mathematics, 2004 )
↑ I litteraturen fram till mitten av 1900-talet kunde en biquadratisk ekvation av fjärde graden av en allmän form också kallas

Litteratur

Korn G., Korn T. Handbok i matematik för vetenskapsmän och ingenjörer. — M .: Nauka , 2003. — 832 sid. - 5000 exemplar. — ISBN 5-8114-0485-9 .
Föreläsning 4 i boken: Tabachnikov S. L., Fuks D. B. Mathematical divertissement . — M. : MTsNMO , 2011. — 512 sid. - 2000 exemplar. - ISBN 978-5-94057-731-7 .

Länkar

Ferraris beslut . Datum för åtkomst: 27 september 2009. Arkiverad från originalet den 19 februari 2012.
Weisstein, Eric W. Quadratic Equation (engelska) på Wolfram MathWorlds webbplats .
Weisstein, Eric W. Biquadratic Equation (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
Biquadratic ekvation (engelska) på PlanetMath webbplats .

Algebraiska ekvationer
Linjär ekvation Andragradsekvation kubikekvation Ekvation av fjärde graden Ekvation av femte graden Sjätte gradens ekvation Ekvation för sjunde graden