Lagrangekvationer av det andra slaget

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 20 april 2016; kontroller kräver 16 redigeringar .

Lagrangekvationerna av det andra slaget är differentialekvationer för rörelse för ett mekaniskt system , erhållna genom att tillämpa den lagrangiska formalismen .

Typ av ekvationer

Om ett holonomiskt mekaniskt system beskrivs av en Lagrangian ( är generaliserade koordinater , t är tid , punkten betecknar differentiering med avseende på tid) och endast potentiella krafter verkar i systemet , då har Lagrangekvationerna av det andra slaget formen $L(q_{i},{\dot q}_{i},t)$ $q_{i}$

{\frac {d}{dt))\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot q}_{i))}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0

där i = 1, 2, … n ( n är antalet frihetsgrader för det mekaniska systemet). Lagrangian är skillnaden mellan systemets kinetiska och potentiella energier.

I närvaro av både potentiella ( ) och icke-potentiella ( ) generaliserade krafter visas den högra sidan: ${\displaystyle Q_{i}^{p))$ ${\displaystyle Q_{i}^{n))$

{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=Q_{i}^{n}

Icke-potentiella krafter inkluderar till exempel friktionskraft . I det här fallet kan Lagrange-ekvationerna av det andra slaget skrivas om i en något annorlunda form:

{\frac {d}{dt))\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot q}_{i))}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}=Q_{i}

där är den kinetiska energin i systemet, är den generaliserade kraften . $T(q_{i},{\dot q}_{i},t)$ $Q_{i}^{p}+Q_{i}^{n}=Q_{i}$

Härledning av ekvationer

Lagranges ekvationer inom mekanik erhålls från Eulers dynamiklagar (balans mellan momentum och vinkelmomentum) under vissa restriktioner på systemet: endast idealiska holonomiska begränsningar måste finnas i det. Detta är ett särskilt, om än mycket viktigt, fall av mekaniska system. För andra fall erhålls modifieringar av Lagrangekvationerna [1] .

Om principen om minsta åtgärd är relevant för det aktuella systemet (långt ifrån alla fysiska system följer den) kan slutsatsen dras annorlunda. I lagrangemekaniken utförs härledningen av ekvationer på basis av denna princip, som säger att verkliga rörelser särskiljs från alla tänkbara av villkoret att den funktionella

S=\int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}L(q_{i},{\dot q}_{i},t)dt

kallad handling , tar ett extremt (för tillräckligt litet - minimalt) värde på banan för systemets faktiska rörelse ( och - de första och sista ögonblicken av tid ) [2] . Genom att tillämpa standardoptimeringsschemat på aktionsfunktionen får vi Lagrange-Euler-ekvationerna för den , som kallas Lagrangekvationerna av det andra slaget för ett mekaniskt system. Nedan följer härledningen av ekvationen för ett system med en generaliserad koordinat och hastighet. $t_{2}-t_{1}$ $t_{1}$ ${\displaystyle t_{2))$

Vi antar att variationen vid gränserna är noll:

\delta q(t_{1})=\delta q(t_{2})=0

Ändra åtgärd vid övergång från stat till ja $t_{1}$ $t_{2}$

\delta S=\int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}L(q+\delta q,{\dot q}+\delta {\dot q},t)dt-\ int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}L(q,{\dot q},t)dt

Om vi utökar denna skillnad i befogenheter får vi:

\delta S=\delta \int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}L(q,{\dot q},t)dt

Genom att variera detta uttryck får vi:

\int _{{t_{1))}^{{t_{2))}\left({\frac {\partial L}{\partial q))\delta q+{\frac {\partial L}{\ partiell {\dot q))}\delta {\dot q}\right)dt=0

Notera att vi integrerar den andra termen i delar: $\delta {\dot q}={\frac {d}{dt))\delta q$

\delta S={\frac {\partial L}{\partial {\dot q))}\delta q{\Bigl .}{\Bigr |}_{{t_{1))}^{{t_{2 }}}+\int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}\left({\frac {\partial L}{\partial q}}-{\frac {d}{dt )){\frac {\partial L}{\partial {\dot q))}\right)\delta qdt=0

Den första termen är lika med noll baserat på den allra första härledningsformeln. Den andra termen kan vara lika med noll endast om integranden är lika med noll. Således får vi den önskade Lagrange-ekvationen:

{\frac {d}{dt)){\frac {\partial L}{\partial {\dot {q))))-{\frac {\partial L}{\partial q))=0

Se även

Lagrangekvationer av det första slaget

Anteckningar

↑ Butenin B.V. Introduktion till analytisk mekanik. - M .: Nauka, 1971. - Upplaga 25 000 ex. — s. 56 - 59
↑ Medvedev B.V. Början på teoretisk fysik. Mekanik, fältteori, inslag av kvantmekanik. — M.: Fizmatlit, 2007. — ISBN 978-5-9221-0770-9 . - Upplaga 2 000 exemplar. — S. 19 - 23