Trovärdig slutledning

Fiducial inferens (från latin fides: tro, tillit), som ett slags statistisk slutledning , föreslogs först av Sir R. E. Fisher .

Fiducial inferens kan tolkas som ett försök att beräkna den inversa sannolikheten utan att åberopa den tidigare sannolikhetsfördelningen [1] . I intervallbedömning jämförs ibland "referensintervall" med standardmetoder:

konfidensintervall för uppskattning av parametern (för sannolikhetsfördelningen för uppskattning )
credible Bayesian interval ( sv:Credible interval ) (för den bakre sannolikheten att intervallet innehåller ett sant värde).

Den trogna slutsatsen skapade snabbt kontroverser och blev aldrig allmänt accepterad. Motexempel till Fischers uttalanden publicerades snart. De har lett till tvivel om konsistensen av "fiducial inferens" som ett system av statistisk slutledning eller induktiv logik . Andra studier har visat att i de fall där en tillförlitlig slutledning leder till en "tillförlitlig sannolikhet", saknar den sannolikheten additivitetsegenskapen och är således inte ett sannolikhetsmått .

Bakgrund

Vissa elever kan tycka att konceptet med ett γ -täckt konfidensintervall är skrämmande . . Tolkningen verkar faktiskt ganska förvirrande: bland alla konfidensintervall som beräknats med samma metod kommer γ- andelen att innehålla det sanna värdet vi uppskattar (och så 1 − γ- andelen kommer inte att innehålla det). Detta är en tolkning av repetitiv sampling (eller frekvenssampling ), men den är inte unikt tillämplig på frekvenssannolikhet . I annat fall är sannolikheten i fråga inte sannolikheten att det verkliga värdet faller inom det fasta intervall som har beräknats.

Bayesiansk inferens låter dig bestämma ett tillförlitligt Bayesiskt intervall för en okänd parameter med en given sannolikhet att det sanna värdet faller in i detta intervall. Men han använder det kontroversiella antagandet om möjligheten att ställa in sannolikhetsfördelningen för en okänd parameter redan innan observationerna startar (den så kallade tidigare sannolikhetsfördelningen ). Förtroendemetoden har föreslagits för att övervinna denna brist och ge en ny tolkning. Fiducial sannolikhet är ett mått på hur mycket vi kan lita på ett givet värde på en okänd parameter.

Fisher gav ingen generell definition av den fiduciala metoden och förnekade dess universalitet. Han gav exempel endast för fallet med en parameter. Senare konstruerades olika generaliseringar för fallet med många parametrar. En relativt fullständig beskrivning av fiducial slutledning har getts av Quenouille (1958). Se Kendall & Stuart (1973) [2] för en nyare diskussion om fiducial inferens .

Fiducial allokering

Fisher kräver att det finns tillräcklig statistik för tillämpningen av den fiduciala metoden. Anta till exempel att de oberoende observationerna är jämnt fördelade över intervallet . Då är det maximala bland observationerna ( ) en tillräcklig statistik för . Faktum är att den villkorliga fördelningen av statistik inte beror på värdet av : om vi glömmer all data förutom , kommer detta att vara likvärdigt med att veta att data innehåller alla värden från intervallet - det vill säga innehåller all tillgänglig information från uppgifterna om . Ett annat exempel på en tillräcklig statistik är urvalsmedelvärdet för medelvärdet av en normalfördelning . $n$ $[0,\omega ]$ $n$ $X$ $\omega$ $X$ $\omega$ $X$ $[0,X]$ $X$ $\omega$

Om för ett givet , ta , då $\alfa$ $a=(1-\alpha )^{\frac {1}{n))$

P\left(a<{\frac {X}{\omega }}\right)=1-a^{n}=\alpha

sedan .

P(X\leq x)=\left({\frac {x}{\omega }}\right)^{n}

Fisher hävdar att vi kan vända på det sista påståendet och säga:

P\left(\omega <{\frac {X}{a}}\right)=\alpha

där förstås nu som en slumpvariabel och är fixerad. En sådan fördelning är en referensfördelning och kan användas för att bilda referensintervall. $\omega$ $X$ $\omega$

Resultatet är identiskt med konfidensintervallet i en:pivotal-metoden , men dess tolkning är annorlunda. Faktum är att äldre böcker använder termerna konfidensintervall och konfidensintervall omväxlande. Observera att en förtroendefördelning bestäms unikt om det finns tillräcklig statistik.

Pivotalmetoden bygger på en slumpvariabel som är en funktion av både observationer och parametrar, men vars fördelning inte är beroende av parametern. Då kan ett sannolikhetspåstående göras om datan på ett sådant sätt att det inte beror på parametrarna. Det kan inverteras genom att lösa parametrar på ungefär samma sätt som visats ovan. Detta motsvarar dock den fiduciala metoden endast om pivotalvärdet är unikt bestämt baserat på tillräcklig statistik.

Vi kan definiera ett konfidensintervall helt enkelt som ett annat namn för ett konfidensintervall och ge det en tilltroende tolkning. Men en sådan definition kommer inte att vara entydig. Fisher förnekade riktigheten av denna tolkning: den fiduciala fördelningen måste vara unikt definierad och den måste använda all information från provet.

Tillvägagångssätt status

När väl tillvägagångssättet formulerades av Fischer, orsakade den trovärdiga slutsatsen snabbt kontroverser. och blev aldrig allmänt antagen. Motexempel till Fischers idéer dök snabbt upp.

Fisher erkände att "fiducial inferens" har problem. Han skrev till George A. Barnard att han var "otydlig" angående ett problem med fiduciell slutledning. [3] I ett brev till Barnard klagar Fischer över att hans teori bara verkar ha "en asymptotisk approximation till förståelighet". [3] Fischer erkände senare, "Jag förstår fortfarande inte vad fiduciell sannolikhet är. Vi kommer att få leva med det länge innan vi vet hur det är användbart för oss. Men det ska inte ignoreras bara för att vi inte har en tydlig tolkning." [3]

Lindley visade att fiduciell sannolikhet saknar additivitet och därför inte är ett sannolikhetsmått . Cox påpekade [4] att samma argument gäller för den så kallade "konfidensfördelningen" förknippad med konfidensintervall , så slutsatserna som dras från detta är diskutabla. Fisher skissade ut "bevis" av resultaten med hjälp av fiduciell sannolikhet. Om slutsatserna som dras från Fishers förtroendeargument inte är fel, har mycket visat sig följa av Bayesiansk slutsats. Många av de verkliga implikationerna av Fishers förtroendeargument kan också härledas från Bayesiansk slutledning. [2]

1978 skrev Pederson att "förtroendeargumentet har haft mycket begränsad framgång och är nu praktiskt taget dött." [5] Davison [6] skrev: "Det har gjorts flera nyare försök att återuppliva fiducialismen, men nu verkar den vara av mer historiskt värde, särskilt i termer av dess begränsade omfattning, när den sätts vid sidan av modeller av aktuellt intresse." Retro slutsatser utforskas dock i två nya artiklar av Hannig. [7] [8]

Anteckningar

↑ Quenouille (1958), kapitel 6
↑ 1 2 Kendall, MG, Stuart, A. (1973) The Advanced Theory of Statistics, Volym 2: Inferens och relation, 3:e upplagan , Griffin. ISBN 0-85264-215-6 (kapitel 21)
↑ 1 2 3 Zabell, S. L. . R.A. Fisher and Fiducial Argument , s. 369–387. Arkiverad från originalet den 19 februari 2017. Hämtad 3 oktober 2017. (sida 381)
↑ Cox (2006) s.66
↑ Pederson, JG (1978), Fiducial Inference, International Statistical Review T. 46 (2): 147–170, MR : 0514060 .
↑ Davison, AC (2001) " Biometrika Centenary: Theory and general methodology" Biometrika 2001 (sida 12 i republiceringen redigerad av DM Titterton och David R. Cox )
↑ Hannig, J. (2009) "Generalized fiducial inference for wavelet regression" Biometrika , 96(4),847-860.
↑ Hannig, J. (2009) "On generalized fiducial inference", Statistica Sinica , 19, 491-544

Litteratur

Cox, D.R. (2006). Principles of Statistical Inference , CUP. ISBN 0-521-68567-2 .
Fisher, R A. Statistiska metoder och vetenskaplig slutledning . — New York: Hafner, 1956.
Fisher, Ronald "Statistiska metoder och vetenskaplig induktion" J. Roy. statistik. soc. Ser. B. 17 (1955), 69-78. (kritik mot statistiska teorier om Jerzy Neyman och Abraham Wald ur ett fiducialt perspektiv)
Neyman, Jerzy . Anteckning om en artikel av Sir Ronald Fisher , s. 288–294. (svar till Fisher 1955, som diagnostiserar en felaktighet av "troende slutledning")
R. A. Fisher's Contributions to Mathematical Statistics (engelska) / Tukey, J W., ed. - New York: Wiley, 1950.
Quenouille, MH (1958) Fundamentals of Statistic Reasoning . Griffin, London
Young, GA, Smith, RL (2005) Essentials of Statistical Inference , CUP. ISBN 0-521-83971-8

Länkar

trovärdig slutledning; en recension. Kapitel 4 i en avhandling av D.Solome, 1998.