Heltalsgitter

Ett n -dimensionellt heltalsgitter (eller kubiskt gitter ), betecknat Z n , är ett gitter i det euklidiska utrymmet R n vars pekar är n -tuplar av heltal . Ett tvådimensionellt heltalsgitter kallas också ett kvadratiskt gitter . Z n är det enklaste exemplet på ett rotgitter . Ett heltalsgitter är ett udda unimodulärt gitter .

Automorfism grupp

Automorfismgruppen (eller kongruensgruppen ) i ett heltalsgitter består av alla permutationer och förändringar av tecken på koordinater och har ordningen 2 n n !. Som en matrisgrupp , ges denna grupp av uppsättningen av alla n × n signerade permutationsmatriser . Denna grupp är isomorf till den halvdirekta produkten

{\displaystyle (\mathbb {Z} _{2})^{n}\r gånger S_{n))

där den symmetriska gruppen S n verkar på ( Z 2 ) n genom permutation (detta är ett klassiskt exempel på en kransprodukt av grupper ).

För ett kvadratiskt gitter är gruppen en grupp av kvadrater eller en dihedrisk grupp av ordningen 8. För ett tredimensionellt kubiskt gitter får vi en grupp av kuber, en oktaedrisk grupp av ordningen 48.

Diofantin geometri

När man studerar diofantisk geometri kallas ett kvadratiskt gitter av punkter med heltalskoordinater ofta ett diofantiskt plan . I matematiska termer är det diofantiska planet den direkta produkten av ringen av alla heltal . Studiet av diofantiska figurer $\scriptstyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ $\scriptstyle \mathbb {Z}$ fokuserar på att välja noder i det diofantiska planet så att alla parvisa avstånd mellan punkter är heltal.

Grov geometri

I grov geometri ett heltalsgitter ungefär lika med ett euklidiskt utrymme .

Se även

Vanligt rutnät

Anteckningar

Litteratur

Olds CD The Geometry of Numbers . - Mathematical Association of America, 2000. - ISBN 0-88385-643-3 .