Klein Quadruple Group

Klein-fyrgruppen är en icke- cyklisk finit kommutativ grupp av fjärde ordningen som spelar en viktig roll i allmän algebra, kombinatorik och geometri. Betecknas vanligtvis eller (från det. Vierergruppe - fyrgrupp). Beskrevs och studerades först av Felix Klein 1884 . $V$ $V_{4}$

Cykeldiagram för Klein-fyrgruppen
Cayley-grafen för Klein-fyrgruppen

En binär operation mellan element (en enhet är ett neutralt element i en grupp) ges av följande Cayley-tabell [1] : ${\displaystyle \{1,a,b,ab\))$

{\begin{array}{c||rrrr|}\cdot &1&a&b&ab\\\hline 1&1&a&b&ab\\a&a&1&ab&b\\b&b&ab&1&a\\ab&ab&b&a&1\\\end{array))

Ordningen för varje icke-ett element är 2, så gruppen är inte cyklisk . Är en direkt produkt av andra ordningens cykliska grupper ; den minsta icke-cykliska gruppen i ordning. ${\displaystyle C_{2}\ gånger C_{2))$

Det är den enklaste dihedriska gruppen [2] . Vilken fjärde ordningens grupp som helst är isomorf till antingen en cyklisk grupp eller en fyrfaldig Klein-grupp. Den symmetriska gruppen har, förutom sig själv och enhetsundergruppen , endast två normala undergrupper - den alternerande gruppen och Klein fyra-gruppen , bestående av permutationer [2] . $D_{2}$ $S_{4}$ $A_{4}$ $V_{4}$ $(),(12)(34),(13)(24),(14)(23)$

Det förekommer i många delar av matematiken, exempel på grupper som är isomorfa till det:

inställd med bitvis exklusiv ELLER- operation ; ${\displaystyle \{0,1,2,3\))$
reducerat system av rester modulo 8, bestående av klasserna 1, 3, 5, 7 och modulo 12, bestående av klasserna 1, 5, 7, 11;
symmetrigrupp av en romb i tredimensionellt rum, bestående av 4 transformationer: identitet, rotation på och två reflektioner kring diagonaler [3] . $180^{\cirkel }$
gruppen av rotationer av tetraedern genom en vinkel runt alla tre kantmedianerna (tillsammans med den identiska rotationen) [4] . $\pi$

Anteckningar

↑ Aleksandrov, 1980 , kap. 1 "Begreppet grupp", punkt 2 "Inledande exempel", punkt 4 "Klein grupp av fjärde ordningen", sid. 23.
↑ 1 2 V. F. Zaitsev. s. 2, Diskreta transformationsgrupper // Introduktion till modern gruppanalys. - St Petersburg. , 1996. - S. 10.
↑ Aleksandrov, 1980 , kap. 5 "De enklaste självsammanfallsgrupperna", s. 3 "Vändgrupper av en vanlig pyramid och en dubbelpyramid", s. 3 "Fallet med degeneration: grupper av rotationer av ett segment och en romb", sid. 71.
↑ Aleksandrov, 1980 , kap. 5 "Enkla självsammanfallsgrupper", punkt 3 "Vändgrupper av vanlig pyramid och dubbelpyramid", punkt 4 "Regelbunden tetraederrotationsgrupp", sid. 75.

Litteratur

P.S. Alexandrov . Introduktion till gruppteori. - M. : Nauka, 1980. - 144 sid. Med. — (Bibliotek Kvant, nummer 7).
F. Klein . Föreläsningar om ikosaedern och att lösa ekvationer av femte graden. — M .: Nauka , 1989. — 336 sid.