Hilberts fjärde problem

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 5 juni 2019; kontroller kräver 2 redigeringar .

Hilberts fjärde problem i listan över Hilberts problem rör det grundläggande axiomsystemet för geometri . Problemet är att

"Definiera allt upp till en isomorfism av förverkligandet av axiomsystem för klassiska geometrier (Euklid, Lobachevsky och elliptisk), om de utelämnar kongruensaxiomen som innehåller begreppen vinkel, och kompletterar dessa system med triangelolikhetens axiom" [1] .

När det gäller ett plan, om vi accepterar kontinuitetens axiom, kommer vi fram till problemet som Darboux ställer:

"Hitta på planet alla variationsproblem vars lösningar alla är raka linjer på planet" [2] .

Platta mått

Desargues sats är sann :
Om två trianglar är placerade på ett plan på ett sådant sätt att linjerna som förbinder trianglarnas motsvarande hörn går genom en punkt, då är de tre punkter där förlängningarna av de tre paren av motsvarande sidor av trianglarna skära ligga på en rak linje

Ett nödvändigt villkor för att lösa Hilberts problem IV är kravet att det metriska utrymmet som uppfyller detta problems axiom är desarguesiskt, det vill säga följande villkor måste uppfyllas:

Om rymden är tvådimensionell är det nödvändigt att Desargues sats och dess omvända hållning håller;
Om utrymmets dimension är större än två, är det nödvändigt att alla tre punkter ligger på samma plan.

För desarguesiska utrymmen bevisade Hamel att vilken lösning som helst på Hilbertproblemet kan representeras i ett verkligt projektivt utrymme eller i en konvex domän om kongruensen av segment definieras genom likheten mellan deras längder i en speciell metrik för vilken linjerna i den projektiva rymden är geodetiska. $RP^{n}$ $RP^{n},$

Sådana mått kallas platt eller projektiv.

Således reducerades lösningen av Hilberts problem till problemet med den konstruktiva definitionen av alla kompletta platta mått.

Hamel löste detta problem genom att föreslå tillräcklig regelbundenhet för metriska [3] . Men, som enkla exempel visar, tömmer vanliga platta mått långt ifrån alla platta mått. Från de axiom som betraktas av geometrin, följer endast kontinuiteten för metrikerna. Därför innebär en fullständig lösning av Hilberts problem en konstruktiv definition av alla kontinuerliga platta mått.

Bakgrund till Hilberts IV-problem

Fram till 1900 var Cayley-Kleins tolkning av Lobachevskys geometri i enhetscirkeln känd , där cirkelns ackord är raka linjer, och avståndet mellan punkter bestäms som logaritmen för det komplexa förhållandet mellan fyra punkter.

För tvådimensionell Riemannisk metrik bevisade E. Beltrami (1835-1900) att den enda platta metriken är metrik med konstant krökning [4] .

För flerdimensionell Riemann-mått, bevisades detta uttalande av E. Cartan 1930.

År 1890 introducerade G. Minkowski, i samband med talteorin, vad vi nu kallar ändligt dimensionella Banach-rum [5] .

Minkowski space

${\displaystyle F_{0}\subset \mathbb {E} ^{n))$ är en kompakt sluten konvex hyperyta i det euklidiska rymden, implicit definierad

F_{0}=\{y\in E^{n}:F(y)=1\}.

Funktionen uppfyller villkoren: $F=F(y)$

$F(y)\geqslant 0,\qquad F(y)=0\Leftrightarrow y=0$ ;
$F(\lambda y)=\lambda F(y),\qquad \lambda \geqslant 0$ ;
$F(y)\in C^{k}(E^{n}\setminus \{0\}),\qquad k\geqslant 3$ ;
${\frac {\partial ^{2}F^{2}}{\partial y^{i}\partial y^{j}}}\xi ^{i}\xi ^{j}>0$ .

Låt oss ställa in längden på vektorn OA så här:

||OA||_{M}={\frac {||OA||_{\mathbb {E} }}{||OL||_{\mathbb {E} }}}.

Ett utrymme med ett sådant mått kallas ett Minkowski-utrymme.

Hyperytan kan vara en oregelbunden konvex yta. Måttet som ges på detta sätt är platt. $F_{{0}}$

Finsler spaces

Låt M vara ett jämnt änddimensionellt grenrör och låt M vara ett tangentknippe. En funktion kallas en Finsler-metrik if $(x,y)\in TM$ $F(x,y)\colon TM\rightarrow [0,+\infty )$

$F(x,y)\in C^{k}(TM\setminus \{0\}),\qquad k\geqslant 3$ ;
För varje punkt är begränsningen av funktionen till Minkowski-normen. $x\i M$ $F(x,y)$ $T_{x}M$

$(M,F)$ kallas Finsler-utrymmet.

Hilbert geometri

$U\subset (\mathbb {E} ^{n+1},\|.\|_{\mathbb {E} })$ är en avgränsad öppen konvex uppsättning med klass C 2 gräns och positiva normalkurvaturer. I analogi med Lobachevsky-rummet kallas hyperytan för Hilbertgeometrins absoluta [6] . $\partial U$

Hilbert metrisk

d_{U}(p,q)={\frac {1}{2))\ln {\frac {\|q-q_{1}\|_{E)){\|q-p_ {1}\|_{E))}\ gånger {\frac {\|p-p_{1}\|_{E)){\|p-q_{1}\|_{E))}.

$d_{U}$ inducerar ett Finsler Hilbert-mått på U för alla och (se fig.) $F_{U}$ $x\i U$ $y\in T_{x}U$

F_{U}(x,y)={\frac {1}{2}}\|y\|_{\mathbb {E} }\left({\frac {1}{\|x- x_{+}\|_{\mathbb {E} }}}+{\frac {1}{\|x-x_{-}\|_{\mathbb {E} }}}\right).

Detta mått är också platt.

D. Hilbert introducerade det 1895 som en generalisering av Lobatsjovskijs geometri. När hyperytan är en ellipsoid får vi Lobachevsky-geometrin. $\partial U$

Funks metriska

1930 introducerade Funk ett icke-symmetriskt mått. Den ges i ett område som begränsas av en sluten konvex hyperyta och är också platt.

σ-metrics

Tillräckligt villkor för platt mått

Det första bidraget till lösningen av Hilberts problem IV gjordes av Hamel [3] . Han bevisade följande påstående.

Teorem . Om ett vanligt Finslermått uppfyller villkoret $F(x,y)=F(x_{1},....x_{n},y_{1},...,y_{n})$

${\frac {\partial ^{2}F^{2}}{\partial x^{i}\partial y^{j}}}={\frac {\partial ^{2}F^{ 2}}{\partial x^{j}\partial y^{i}}},\,i,j=1..n,$

då är det platt.

Croftons formel

Betrakta en uppsättning orienterade raka linjer i planet. Linjen specificeras av parametrarna där är avståndet till linjen från origo, är vinkeln som linjen bildar med Ox -axeln . Sedan är uppsättningen av orienterade linjer homeomorf till en cirkulär cylinder med enhetsradie, där är arealementet . Låt vara en likriktbar kurva i planet. Sedan dess längd $\rho ,\varphi ,$ $\rho$ $\varphi$ $dS=d\rho d\varphi$ $\gamma$

L={\frac {1}{4}}\iint \limits _{\Omega }n(\rho ,\varphi )dpd\varphi

där är uppsättningen linjer som skär den givna kurvan, är antalet skärningar av linjen med kurvan. Detta visades av M. Crofton 1870. $\Omega$ $n(p,\varphi )$

Ett liknande uttalande gäller i ett projektivt utrymme [7] .

Blaschke-Busemann mått

1966 introducerade G. Busemann, som talade vid den internationella matematiska kongressen i Moskva, en ny klass av platt mått. G. Busemann introducerade ett helt additivt icke-negativt mått på uppsättningen av linjer i det projektiva planet , som uppfyller följande villkor: $RP^{2}$ $\sigma$

$\sigma (\tau P)=0$ , där är uppsättningen linjer som går genom punkten P ; $\tau P$
$\sigma (\tau X)>0$ , där är uppsättningen linjer som passerar genom någon uppsättning X som innehåller ett linjesegment; $\tau X$
$\sigma (RP^{n})$ ändlig.

Om vi betraktar -metriken som definieras i en godtycklig konvex domän av det projektiva utrymmet , då ersätts villkor 3) av kravet att för varje uppsättning H , så att H finns i , skär stängningen av H inte gränsen , $\sigma$ $\Omega$ $RP^{2}$ $\Omega$ $\Omega$

\sigma (\pi H)<\infty

[8] .

Med hjälp av ett sådant mått bestäms -metriken i : $\sigma$ $RP^{2}$

|x,y|=\sigma \left(\tau [x,y]\right),

var är uppsättningen linjer som skär segmentet . $\tau [x,y]$ $[x,y]$

Triangelolikheten för denna metrik följer av Paschs sats.

Teorem . -metrisk in är en platt metrik, det vill säga geodetik i denna metrik är linjer i det projektiva rummet. $\sigma$ $RP^{2}$

Men Busemann trodde långt ifrån att -metrik tar ut alla platta mätvärden. Han skrev: "... Friheten i valet av metrik när man specificerar geodesik när det gäller icke-riemannska metriker är så stor att man kan tvivla på om det verkligen finns en övertygande karaktärisering av alla desarguesiska rum..." [8] . $\sigma$

Tvådimensionellt fall

Pogorelovs teorem

Teoremet som bevisades 1973 av A. V. Pogorelov [9] [10] visade sig vara överraskande .

Teorem . Varje tvådimensionell kontinuerlig komplett platt metrik är en -metrik. $\sigma$

Därmed är IV Hilberts problem för det tvådimensionella fallet helt löst.

Andra bevis

1976 gav R. B. Ambartsumian ytterligare ett bevis på Hilberts problem IV [11] . Hans bevis är relaterat till det faktum att i det tvådimensionella fallet är hela måttet rekonstruerat från dess värden på digonerna. Och sedan ges det på trianglar på samma sätt som arean av en triangel på en sfär. På icke-degenererade trianglar är det positivt eftersom triangelolikheten håller, och då bestäms måttet på alla Borel-mängder. Men denna konstruktion är inte generaliserad i dimension. Detta hänger ihop med Hilberts III-problem, som löstes av M. Dehn. I det tvådimensionella fallet är polygoner med lika yta lika sammansatta. I en högre dimension, som visat av M. Dehn, är detta inte sant.

3D-fodral

För fallet n=3 bevisade A. V. Pogorelov följande teorem

Sats. Varje tredimensionell regelbunden kontinuerlig komplett platt metrik är en -metrik. $\sigma$

Men i det tredimensionella fallet kan -mått ha både positiva och negativa värden. Nödvändiga och tillräckliga villkor för att det vanliga måttet som ges av den inställda funktionen ska vara platt är följande tre villkor: $\sigma$ $\sigma$

värdet på vilket plan som helst är noll; $\sigma$
värdet i någon kon är icke-negativt; $\sigma$
värdet är positivt om konen innehåller inre punkter. $\sigma$

Dessutom visade A. V. Pogorelov att varje komplett kontinuerlig platt metrik i det tredimensionella fallet är gränsen för regelbundna -metriker med enhetlig konvergens i vilken kompakt subdomän som helst av domänen där denna metrik definieras. Han kallade sådana mått för generaliserade -metrics. $\sigma$ $\sigma$

Således lyckades A. V. Pogorelov bevisa det

Sats. Varje komplett kontinuerlig platt metrik i det tredimensionella fallet är en -metrik i generaliserad mening. $\sigma$

G. Busemann, i en recension av översättningen av boken av A. V. Pogorelov `` Hilberts fjärde problem skrev: "I enlighet med tidsandan begränsade Hilbert sig till dimensionerna n = 2, 3. A. V. Pogorelov begränsade sig också till dessa dimensioner. Även om den verkliga skillnaden mellan n = 2 och n > 2. Pogorelovs metod fungerar även för n > 3, kräver bara mer tekniska detaljer [12] ."

Flerdimensionellt fall

Det flerdimensionella fallet IV av Hilberts problem studerades av ZI Sabo. 1986 bevisade han, som han själv skriver, Pogorelovs generaliserade teorem: Theorem. Varje n -dimensionellt desarguesiskt klassrum genereras av Blaschke-Busemann-konstruktionen. $C^{n+2},n>2$

$\sigma$ -mått som genererar ett platt mått har följande egenskaper:

$\sigma$ -mått på hyperplan som passerar genom en fast punkt är lika med noll.
$\sigma$ -mått på mängden hyperplan som skär två segment [x, y], [y, z] , där x, y, z inte är kolinjära, är positivt.

Samma artikel ger ett exempel på ett platt mått som inte genereras av Blaschke-Busemann-konstruktionen. ZI Sabo beskrev alla kontinuerliga platta mått på språket för generaliserade funktioner [13] .

IV Hilberts problem och konvexa kroppar

IV Hilberts problem är också nära relaterat till egenskaperna hos konvexa kroppar. En konvex polyeder kallas en zonotop om den är summan (enligt Minkowski) av linjesegment. En konvex kropp, som är gränsen för zonotoper i Blaschke-Hausdorff-metriken, kallas en zonoid . För zonoider representeras stödfunktionen som

h(x)=\int \limits _{S^{n-1}}|\langle x,u\rangle |\partial \sigma (u),

där finns ett jämnt positivt Borelmått på sfären . $\sigma (u)$ $S^{{n-1}}$

Minkowski-utrymmet genereras av Blaschke-Busemann-konstruktionen om och endast om indikatorns stödfunktion har den form som anges ovan, där är ett Borelmått som inte nödvändigtvis är teckenkonstant [14] . Kroppar som begränsas av sådana hyperytor kallas generaliserade zonoider. $\sigma (u)$

En oktaeder i det euklidiska rymden är inte en generaliserad zonoid. Sedan följer det av uttalandet ovan att den platta metriken för Minkowski-utrymmet med normen inte genereras av Blaschke-Busemann-konstruktionen. $|x_{1}|+|x_{2}|+|x_{3}|\leqslant 1$ $E^{3}$ ${\displaystyle \|x\|=\max\{|x_{1}|,|x_{2}|,|x_{3}|\))$

Generaliseringar av Hilberts problem IV

En överensstämmelse hittades mellan platt n -dimensionell Finsler-metrik och speciella symboliska former på ett Grassmann-grenrör i [15] . $G(n+1,2)$ $E^{n+1}$

Periodiska lösningar av Hilberts IV-problem övervägdes:

Låt (M, g) vara en kompakt lokalt euklidisk riemannmanifold. Den ges en Finsler-metrik vars geodetik sammanfaller med metriska g . Då är Finsler-måttet summan av ett lokalt Minkow-mått och en sluten 1-form [16] . $C^{2}$

Låt (M, g) vara ett kompakt symmetriskt Riemannskt rum med rang som är större än ett. Om F är en symmetrisk Finsler-metrik vars geodetik sammanfaller med geodesiken i det Riemannska metriska g, då är (M, F) ett symmetriskt Finsler-rum [16] . $C^{2}$

En annan presentation av Hilberts problem IV finns i Paveys papper från 2003 [17] .

Olösta problem

Hilberts IV-problem för asymmetriskt avstånd har inte lösts.
En analog till den sista satsen för fallet med symmetriska rum i rang ett är okänd.
Beskriv måtten för vilka k -plan minimerar k -arean (G. Busemann) [18] . $RP^{n}$

Litteratur

↑ D. Hilbert, Mathematische Probleme , Gottinger Nachrichten, 1900, 253-297
↑ G. Darboux, Lecons sur la theorie generale des surfaces , V.III, Paris, 1894.
↑ 1 2 G. Hamel, Uber die Geometrien in denen die Geraden die Kurzesten sind , Math. Ann. 57 (1903), 221-264.
↑ E. Beltrami, Risoluzione del Problema: Riportare i punti di una superficie sobra un piano in modo che le linee geodetiche Vengano rappresentate da linee rette , Annali di Matematica Pura ed Applicata, nr 7 (1865), 185-204
↑ H. Minkowski, Geometrie der Zahlen , Lpz.-B., 1953
↑ D. Hilbert, Uber die gerade Line als kurzeste Verbindung zweier Punkte , Math. Ann. 46 (1895), 91-96
↑ LA Santalo, Integral geometri.- I: Studier i global geometri och analys (SS Chern, red.), Washington, DC: Math. asoc. Amer, 147-195
↑ 1 2 G. Buseman, Geometry of geodesics , Moskva, 1962.
↑ A. V. Pogorelov, Komplett lösning av IV Hilbert-problemet , DAN USSR nr 208, volym 1 (1973), 46-49. Engelsk översättning: AV Pogorelov, En komplett lösning av "Hilberts fjärde problem , Dokl. Acad. Nauk SSR, Vol. 208, No. 1 (1973), 48-52.
↑ A. V. Pogorelov, Hilberts fjärde problem . Ed. Nauka, 1974. Engelsk översättning: AV Pogorelov, Hilbert's Fourth Problem , Scripta Series in Mathematics, Winston and Sons, 1979.
↑ RV Ambartzumian, A not on pseudo-metrics on the plane , Z. Wahrscheinlichkeits theor. Verw. Geb. 37 (1976), 145-155.
↑ H. Busemann, Recension av: A.V. Pogorelov, Hilberts fjärde problem , Bull. amer. Matematik. soc. (NS) Vol. 4, nr. 1 (1981), 87-90.
↑ ZI Szabo, Hilberts fjärde problem I , Adv. Matematik. 59 (1986), 185-301.
↑ R. Alexander, Zonoidteorin och Hilberts fjärde problem , Geom. Dedicata 28, nr 2 (1988), 199-211.
↑ JC Alvarez Paiva, Sympletic geometri and Hilbert fourth problem , J. Differ. Geom. 69, nr 2 (2005), 353-378.
↑ 1 2 J. C. Alvarez Pavia och J. Barbosa Gomes, Periodic Solutions of Hilbert fjärde problem , 20 s. arXiv:1809.02783v1[math.MG], 2018.
↑ JC Alvarez Paiva, Hilbert fjärde problem i två dimensioner I , i: MASS selecta: undervisning och inlärning av avancerad matematik i grundutbildningen, red. S. Katok et al., Providence, RI, AMS, (2003), 165-183.
↑ A. Papadopoulos, Om Hilbert fjärde problem , 1-43. Handbook of Hilbert geometri (A. Papadopoulos och M. Troyanov, red.), European Mathematical Society, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, nr 22 (2014), sid. 460.

Hilbert problem
ett 2 3 fyra 5 6 7 åtta 9 tio elva 12 13 fjorton femton 16 17 arton 19 tjugo 21 22 23 ( 24 )