Dandelin bollar

Maskrosbollar är sfärer som deltar i en geometrisk konstruktion som länkar den planimetriska definitionen av en ellips , hyperbel och parabel genom foci med deras stereometriska definition som en sektion av en kon . Föreslagen av Dandelin 1822 .

Beskrivning

Betrakta en cirkulär kon skärs av ett plan som inte passerar genom mitten av konen. Betrakta två sfärer som rör vid ytan av konen längs cirklarna och och berör sekantplanet vid punkterna och . Sådana sfärer kallas maskrosbollar . I fallet när sektionen av konen är en ellips eller en hyperbel, finns det två sådana sfärer, och i fallet med en parabel finns det bara en. $C$ $C'$ $F$ $F'$

Om det finns två sfärer, är båda i fallet med en ellips belägna i samma kon, en är ovanför skärplanet, den andra är under den; i fallet med en hyperbel är en sfär belägen i en given kon, den andra - i en kon som är symmetrisk till en given med avseende på vertexen, båda är ovanför skärplanet (eller på samma sida av skärplanet som konens axel, om skärplanet är parallellt med konens axel, men inte innehåller henne). För en parabel är en enda sfär belägen i samma kon ovanför skärplanet.

Från symmetriöverväganden är det tydligt att kulornas centra ligger på konens axel. Vi konstruerar maskrosbollar i fallet med en ellips, i fallet med en parabel och en hyperbel är konstruktionen i många avseenden likartad. Låt oss släppa vinkelrät från toppen av konen till skärplanet och dra en rak linje genom dess bas och skärningspunkten för konens axel och skärplanet. Genom den övre skärningspunkten för denna linje och konens yta ritar vi bisekturen för vinkeln mellan denna linje och konens generatris som passerar genom denna punkt. Genom samma punkt ritar vi den andra bisektorn - vinkeln intill den angivna. Dessa två halvled kommer att skära konens axel i mitten av de två Dandelin-kulorna. Det återstår att rita två sfärer med centra vid dessa två punkter och en radie lika med avståndet från centrum till generatrisen.

Applikation för sektionering

Om vi tar en godtycklig punkt på skärningslinjen mellan konen och planet och ritar en generatris av konen genom den, som skär med cirklarna och vid punkterna och , då när punkten rör sig , kommer punkterna och att röra sig längs cirklarna och med bevarandet av avståndet . $P$ $e$ $C$ $C'$ $F$ $Q'$ $P$ $F$ $Q'$ $C$ $C'$ $QQ'$

Eftersom och är segment av två tangenter till sfären från en punkt , Då och, på liknande sätt, . $PQ$ $PF$ $P$ $PQ=PF$ $PQ'=PF'$

Alltså punkterna på skärningslinjen

har en konstant summa , vilket betyder att uppsättningen av möjliga punkter är en ellips, och punkterna och är dess fokus. $PF+PF'=PQ+PQ'=QQ'$ $P$ $F$ $F'$
eller har en konstant skillnad , vilket betyder att uppsättningen av möjliga punkter är en hyperbel, och punkterna och är dess fokus. $PF-PF'=PQ-PQ'=QQ'$ $P$ $F$ $F'$

Planet skär planen i vilka cirklarna ligger och längs de räta linjerna, som är riktlinjer till koniska snittet [1] :46,47 . Directrix-egenskapen är sådan att för alla punkter som ligger på skärningslinjen mellan konen och planet , är förhållandet mellan avstånden från punkten till direktrix och till motsvarande fokus detsamma. Låt den faktiskt ligga på skärningslinjen, - cirkelns plan . Låt planen och skära i en rät linje , - vinkelrät från till , - vinkelrätt från till . Det är lätt att se att var är vinkeln mellan planen och . , där är vinkeln mellan könens axel och dess generatris. Multiplicerar vi de två förhållandena får vi det , det vill säga ett värde som inte beror på valet av punkten . Det ömsesidiga av det kallas konens excentricitet . (Ett annat fokus motsvarar en annan direktrix som bildas av skärningspunkten mellan sekantplanet och cirkelns plan .) I fallet när sekantplanet är parallellt med någon generatris, , varifrån , det vill säga . Detta motsvarar standarddefinitionen av en parabel som platsen för punkter på samma avstånd från en given punkt (fokus) och linje (riktlinje). $e$ $C$ $C'$ $e$ $P$ $c$ $C$ $c$ $e$ $l$ $PH$ $P$ $l$ $PK$ $P$ $c$ ${\frac {PH}{PK}}=\sin \alpha$ $\alfa$ $c$ $e$ ${\frac {PK}{PF}}={\frac {PK}{PQ}}={\frac {1}{\cos \varphi }}$ $\varphi$ ${\frac {PH}{PF}}={\frac {\sin \alpha }{\cos \varphi }}$ $P$ ${\frac {PF}{PH}}$ $C'$ $\alpha =90^{\circ }-\varphi$ ${\frac {PF}{PH}}={\frac {\cos \varphi }{\sin \alpha }}=1$ $PF=PH$

Anteckningar

↑ Pogorelov A. V. Geometri. — M .: Nauka , 1983. — 288 sid.

Litteratur

Dandelin G. Mémoire sur l'hyperboloïde de révolution, et sur les hexagones de Pascal et de M. Brianchon // Nouveaux mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Bruxelles, T. III., 1826 (s. 3) -16).
Shal M. Om metoden att konstruera trick och bevisa deras egenskaper på en sned kon // Historisk översikt över geometriska metoders ursprung och utveckling . - M. , 1883.
Hilbert D., Cohn-Vossen S. Kapitel 1 // Visuell geometri. - 3:e ryska. ed. — M .: Nauka, 1981.
Akopyan A. V., Zaslavsky A. A. Geometriska egenskaper hos kurvor av andra ordningen . — M .: MTSNMO , 2007. — 136 sid.

Delaunay B. N., Raikov D. A. Volym 2 // Analytical Geometry. — M., L.: Gostekhizdat , 1949. — 516 sid.
Veselov A.P., Troitsky E.V. Föreläsningar om analytisk geometri . - St Petersburg. : Lan, 2003. - 160 sid.
Protasov V. Yu Maxima och minima i geometri . — M. : MTsNMO. — 56 sid. - (Bibliotek "Mathematical Education", nummer 31).
F. Nilov. Dandelin sfärer på YouTube - föreläsning vid Maly Mekhmat vid Moscow State University, 2011

Länkar

Wikimedia Commons har media relaterade till Dandelin-bollar

Koniska sektioner
Huvudsorter	Ellips Hyperbel Parabel
Degenererad	Punkt Hetero Ett par raka linjer
Ett specialfall av en ellips	Cirkel
Geometrisk konstruktion	konisk sektion Dandelin bollar Steiners design
se även	Konisk konstant
Matematik • Geometri