Algebra över fältet

En algebra över ett fält är ett vektorrum utrustat med en bilinjär produkt. Detta betyder att en algebra över ett fält är både ett vektorrum och en ring , och dessa strukturer är kompatibla. En generalisering av detta begrepp är en algebra över en ring , som generellt sett inte är ett vektorrum, utan en modul över någon ring.

En algebra sägs vara associativ om operationen av multiplikation i den är associativ ; följaktligen är en algebra med en enhet en algebra där det finns ett element som är neutralt med avseende på multiplikation. I vissa läroböcker betyder ordet "algebra" "associativ algebra", men icke-associativa algebror är också av viss betydelse.

Definition

Låta vara ett vektorrum över ett fält utrustat med en operation som kallas multiplikation. Sedan är en algebra över om följande egenskaper gäller för någon: $A$ $K$ $A\ gånger A\ till A$ $A$ $K$ $x,y,z\i A,\;a,b\i K$

$(x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z$
$x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$
$(ax)\cdot (by)=(ab)(x\cdot y)$ .

Dessa tre egenskaper kan uttryckas i ett ord genom att säga att multiplikationsoperationen är bilinjär . När det gäller enhetsalgebror ges ofta följande ekvivalenta definition:

En algebra med enhet över ett fält är en ring med enhet utrustad med en homomorfism av ringar med enhet så att den tillhör ringens centrum (det vill säga uppsättningen av element som pendlar genom multiplikation med alla andra element). Efter det kan vi anta att det är ett vektorrum över med följande operation av multiplikation med en skalär : .

K

A

f:K\till A

f(K)

A

A

K

\alfa \i K

\alpha x=f(\alpha )\cdot x

Relaterade definitioner

En homomorfism av -algebras är en -linjär avbildning så att för någon av domänerna. $K$ $K$ $f(ab)=f(a)\cdot f(b)$ $a,b$
En subalgebra av en algebra över ett fält är ett linjärt delrum så att produkten av två valfria element från detta delrum återigen hör till det. Med andra ord, en subalgebra av en linjär algebra över ett fält är dess delmängd om det är en subring av en ring och ett subrum av ett linjärt rum [1] . $K$ $U$ $R$ $P$ $R$ $R$
- Ett element i en algebra kallas algebraiskt om det ingår i en ändlig-dimensionell subalgebra.
- En algebra kallas algebraisk om alla dess element är algebraiska. [2]

Det vänstra idealet för en -algebra är ett linjärt delrum som stängs under vänster multiplikation av ett godtyckligt element i ringen. Följaktligen är det rätta idealet stängt under rätt multiplikation; ett dubbelsidigt ideal är ett ideal som är både vänster och höger. Den enda skillnaden mellan denna definition och definitionen av ett ideal för en ring är kravet att den ska vara stängd under multiplikation med element i fältet; i fallet med algebror med identitet uppfylls detta krav automatiskt. $K$
En division algebra är en algebra över ett fält så att för något av dess element , ekvationerna och är lösbara [3] . I synnerhet är en associativ divisionsalgebra som har en enhet ett skevt fält . $a\neq 0$ $b$ $ax=b$ $ja=b$
Mitten av algebra är uppsättningen av element så att för alla element . $A$ $a\i A$ $xa=ax$ $x\i A$

Exempel

Associativa algebror

De komplexa talen är naturligtvis en tvådimensionell algebra över realerna .
Kvaternioner är en fyrdimensionell algebra över reella tal.
De två föregående exemplen är ett fält respektive ett skevt fält , och detta är ingen slump: varje finitdimensionell algebra över ett fält som inte har nolldelare är en divisionsalgebra. Multiplikation till vänster är faktiskt en linjär transformation av denna algebra som ett vektorrum, denna transformation har en nollkärna (eftersom den inte är en nolldelare), därför är den surjektiv; i synnerhet finns det en omvänd bild av ett godtyckligt element , det vill säga ett element så att = . Det andra villkoret bevisas på liknande sätt. $x$ $x$ $b$ $y$ $xy$ $b$
Kommutativ (och oändlig dimensionell) polynomalgebra . $K[x]$
Algebror för funktioner , såsom -algebra för kontinuerliga funktioner med reellt värde definierade på intervallet (0, 1), eller -algebra för holomorfa funktioner definierade på en fast öppen delmängd av det komplexa planet. $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$
Algebror av linjära operatorer på ett Hilbertrum .

Icke-associativa algebror

Strukturella koefficienter

Multiplikation i algebra över ett fält är unikt definierad av produkter av basvektorer. För att definiera en algebra över ett fält räcker det alltså att specificera dess dimension och strukturkoefficienter , som är delar av fältet. Dessa koefficienter definieras enligt följande: $K$ $n$ $n^3$ $c_{{i,j,k}}$

{\mathbf {e}}_{{i}}{\mathbf {e}}_{{j}}=\sum _{{k=1}}^{n}c_{{i,j,k} }{\mathbf {e}}_{{k}}

var finns någon grund . Olika uppsättningar av strukturkoefficienter kan motsvara isomorfa algebror. $(e_{1},e_{2},\ldots e_{n})$ $A$

Om endast är en kommutativ ring och inte ett fält, är denna beskrivning endast möjlig när algebra är en fri modul . $K$ $A$

Se även

Anteckningar

↑ Skornyakov L. A. Element i algebra. - M., Nauka, 1986. - sid. 190
↑ Jacobson N. Struktur av ringar . - M. : IL, 1961. - 392 sid.
↑ Kuzmin E. N. Algebra med division Arkivexemplar av 14 juli 2015 på Wayback Machine

Litteratur

Skornyakov L. A., Shestakov I. P. . Kapitel III. Ringar och moduler // Allmän algebra / Ed. ed. L. A. Skonyakova . - M . : Science , 1990. - T. 1. - S. 291-572. — 592 sid. — (Referens matematiskt bibliotek). — 30 000 exemplar. — ISBN 5-02-014426-6 .