Virial

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 26 juni 2016; kontroller kräver 27 redigeringar .

Virialen för en uppsättning punktpartiklar inom mekanik definieras som en skalär funktion: $N$

\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k},

var och är rymdvektorerna för koordinater och krafter för den -e partikeln. ${\mathbf {r}}_{k}$ ${\mathbf {F}}_{k}$ $k$

Uttrycket "virial" kommer från de latinska orden "vis" , "viris" - "styrka" eller "energi". Den introducerades av Clausius 1870 .

Virialsatsen

För ett stabilt system bundet av potentiella krafter är virialsatsen [1] sann :

2\langle T\rangle =-\summa _{{k=1}}^{N}\langle {\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k}\rangle ,

där representerar den genomsnittliga totala kinetiska energin och är kraften som verkar på den -e partikeln. $\langle T\rangle$ ${\mathbf {F}}_{k}$ $k$

I det speciella fallet när den potentiella växelverkansenergin som motsvarar kraften är proportionell mot potensen av avståndet mellan partiklarna , tar virialsatsen en enkel form $V(r)$ $n$ $r$

2\langle T\rangle =n\langle U\rangle .

Med andra ord, två gånger den genomsnittliga totala kinetiska energin är - gånger den genomsnittliga totala potentiella energin . $T$ $n$ $U$

Betydelsen av virialsatsen är att den tillåter en att beräkna den genomsnittliga totala kinetiska energin även för mycket komplexa system som är otillgängliga för en exakt lösning, som till exempel anses av statistisk mekanik . Till exempel kan virialsatsen användas för att härleda ekvipartialsatsen (en sats om den enhetliga fördelningen av energi över frihetsgrader) eller för att beräkna Chandrasekhar-gränsen för vit dvärgstabilitet .

Tidsderivat och medelvärde

Nära besläktad med virialen är en annan skalär funktion:

G=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k},

var är rörelsemängden för den e partikeln. ${\mathbf {p}}_{k}$ $k$

Tidsderivatan av en funktion kan skrivas på följande sätt: $G$

{\frac {dG}{dt}}=\summa _{{k=1}}^{N}{\frac {d{\mathbf {p}}_{k}}{dt}}\cdot {\ mathbf {r}}_{k}+\sum _{{k=1}}^{N}{\mathbf {p}}_{k}\cdot {\frac {d{\mathbf {r}}_ {k}}{dt}}=

=\summa _{{k=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k}+\summa _{{k=1}} ^{N}m_{k}{\frac {d{\mathbf {r}}_{k}}{dt}}\cdot {\frac {d{\mathbf {r}}_{k}}{dt }}

eller i enklare form

{\frac {dG}{dt}}=2T+\summa _{{k=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k} .

Här är massan av den e partikeln, är den totala kraft som verkar på partikeln, och är den totala kinetiska energin i systemet $m_{k}$ $k$ ${\mathbf {F}}_{k}={\frac {d{\mathbf {p}}_{k}}{dt}}$ $T$

T={\frac {1}{2}}\summa _{{k=1}}^{N}m_{k}v_{k}^{2}={\frac {1}{2}}\ summa _{{k=1}}^{N}m_{k}{\frac {d{\mathbf {r}}_{k}}{dt}}\cdot {\frac {d{\mathbf {r }}_{k}}{dt}}.

Genomsnittet av denna derivata över tid definieras enligt följande: $\tau$

\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }={\frac {1}{\tau }}\int \limits _{0}^{\tau }{\ frac {dG}{dt}}\,dt={\frac {1}{\tau }}\int \limits _{0}^{\tau }dG={\frac {G(\tau )-G( 0)}{\tau }},

var får vi den exakta lösningen

\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=2\langle T\rangle _{\tau }+\summa _{{k=1}}^{N} \langle {\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k}\rangle _{\tau }.

Virial teorem

Virialsatsen säger:

Om , då $\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=0$

2\langle T\rangle _{\tau }=-\summa _{{k=1}}^{N}\langle {\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_ {k}\rangle _{\tau }.

Det finns flera anledningar till att medelvärdet av tidsderivatan försvinner, d.v.s. Ett ofta citerat skäl tilltalar kopplade system , det vill säga system som förblir rymdbundna. I det här fallet är funktionen vanligtvis begränsad till två gränser, och , och medelvärdet tenderar till noll i gränsen för mycket långa tider : $\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=0$ $G^{{{\mathrm {bunden}}}}$ $G_{\min }$ $G_{\max }$ $\tau$

\lim _{{\tau \to \infty }}\left|\left\langle {\frac {dG^{({\mathrm {bound}}}}}{dt}}\right\rangle _{\tau }\right|=\lim _{{\tau \to \infty }}\left|{\frac {G(\tau )-G(0)}{\tau }}\right|\leqslant \lim _{ {\tau \to \infty }}{\frac {G_{\max }-G_{\min }}{\tau }}=0.

Denna slutsats är endast giltig för de system där funktionen endast beror på tid och inte är nämnvärt beroende av koordinaterna. Om medelvärdet av tidsderivatan är , har virialsatsen samma grad av approximation. $G$ $\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }\approx 0$

Relation med potentiell energi

Den totala kraften som verkar på en partikel är summan av alla krafter som verkar på andra partiklar i systemet ${\mathbf {F}}_{k}$ $k$ $j$

{\mathbf {F}}_{k}=\sum _{{j=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{{jk}},

var är kraften som verkar på partikeln från sidan av partikeln . Därför kan termen i tidsderivatan av funktionen som innehåller kraften skrivas om som: ${\mathbf {F}}_{{jk}}$ $j$ $k$ $G$

\sum _{{k=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k}=\summa _{{k=1}}^ {N}\summa _{{j=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{{jk}}\cdot {\mathbf {r}}_{k}.

Eftersom det inte finns någon självverkan (det vill säga var ), får vi: ${\mathbf {F}}_{{jk}}=0$ $j=k$

\sum _{{k=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k}=\summa _{{k=1}}^ {N}\summa _{{j<k}}{\mathbf {F}}_{{jk}}\cdot {\mathbf {r}}_{k}+\summa _{{k=1}} ^{N}\summa _{{j>k}}{\mathbf {F}}_{{jk}}\cdot {\mathbf {r}}_{k}=\summa _{{k=1} }^{N}\summa _{{j<k}}{\mathbf {F}}_{{jk}}\cdot ({\mathbf {r}}_{k}-{\mathbf {r}} _{j}),

[2]

där vi antar att Newtons tredje lag är uppfylld , dvs (lika i absolut värde och motsatt i riktning). ${\mathbf {F}}_{{jk}}=-{\mathbf {F}}_{{kj}}$

Det händer ofta att krafter kan härledas från potentiell energi , som är en funktion av endast avståndet mellan punktpartiklar och . Eftersom kraft är en gradient av potentiell energi med motsatt tecken, har vi i detta fall $V$ $r_{{jk}}$ $j$ $k$

{\mathbf {F}}_{{jk}}=-\nabla _{({\mathbf {r}}_{k}}}V=-{\frac {dV}{dr}}{\frac { {\mathbf {r}}_{k}-{\mathbf {r}}_{j}}{r_{{jk}}}},

som är lika i absolut värde och motsatt i riktning mot vektorn - kraften som verkar från sidan av partikeln på partikeln , vilket kan visas med enkla beräkningar. Därför är krafttermen i funktionens derivata med avseende på tid lika med ${\mathbf {F}}_{{kj}}=-\nabla _{({\mathbf {r}}_{j}}}V$ $k$ $j$ $G$

\sum _{{k=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k}=\summa _{{k=1}}^ {N}\summa _{{j<k}}{\mathbf {F}}_{{jk}}\cdot ({\mathbf {r}}_{k}-{\mathbf {r}}_{ j})=-\summa _{{k=1}}^{N}\summa _{{j<k}}{\frac {dV}{dr}}{\frac {({\mathbf {r} }_{k}-{\mathbf {r}}_{j})^{2}}{r_{{jk}}}}=-\summa _{{k=1}}^{N}\summa _{{j<k}}{\frac {dV}{dr}}r_{{jk}}.

Tillämpning på avståndsberoende krafter

Det visar sig ofta att den potentiella energin har formen av en effektfunktion $V$

V(r_{{jk}})=\alpha r_{{jk}}^{n},

där koefficient och exponent är konstanter. I detta fall ges krafttermen i tidsderivatan av funktionen av följande ekvationer $\alfa$ $n$ $G$

-\summa _{{k=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k}=\summa _{{k=1}} ^{N}\summa _{{j<k}}{\frac {dV}{dr}}r_{{jk}}=\summa _{{k=1}}^{N}\summa _{{ j<k}}nV(r_{{jk}})=nU,

var är systemets totala potentiella energi: $U$

U=\summa _{{k=1}}^{N}\summa _{{j<k}}V(r_{{jk}}).

I de fall då medelvärdet av tidsderivatan , ekvationen $\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=0$

\langle T\rangle _{\tau }=-{\frac {1}{2}}\sum _{{k=1}}^{N}\langle {\mathbf {F}}_{k}\ cdot {\mathbf {r}}_{k}\rangle _{\tau }={\frac {n}{2}}\langle U\rangle _{\tau }.

Ett vanligt nämnt exempel är gravitationsattraktion för vilken . I så fall är den genomsnittliga kinetiska energin hälften av den genomsnittliga negativa potentiella energin $n=-1$

\langle T\rangle _{\tau }=-{\frac {1}{2}}\langle U\rangle _{\tau }.

Detta resultat är anmärkningsvärt användbart för komplexa gravitationssystem, såsom solsystemet eller galaxen , och är också sant för ett elektrostatiskt system , för vilket det är detsamma. $n=-1$

Även om detta uttryck härleds för klassisk mekanik, är virialsatsen också sant för kvantmekanik .

Redovisning av elektromagnetiska fält

Virialsatsen kan generaliseras till fallet med elektriska och magnetiska fält. Resultat: [3]

{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}I+\int \limits _{V}x_{k}{\frac {\partial P_{k}}{\partial t}}\,d^{3}r=2(T+U)+W^{E}+W^{M}-\int x_{k}(p_{ik} +T_{ik})\,dS_{i},

var är tröghetsmomentet , är Poynting-vektorn , är den kinetiska energin för "vätskan", är den slumpmässiga termiska energin för partiklarna, och är energin för de elektriska och magnetiska fälten i den betraktade volymen av systemet, är vätsketryckstensorn uttryckt i det lokala rörliga koordinatsystemet som åtföljer vätskan: $jag$ $P$ $T$ $U$ $W^{E}$ $W^{M}$ $p_{{ik}}$

p_{{ik))=\Sigma n^{\sigma }m^{\sigma }\langle v_{i}v_{k}\rangle ^{\sigma }-V_{i}V_{k}\Sigma m ^{\sigma }n^{\sigma }

och är energimoment-tensorn för det elektromagnetiska fältet: $T_{ik}$

T_{{ik}}=\left({\frac {\varepsilon _{0}E^{2}}{2}}+{\frac {B^{2}}{2\mu _{0}} }\right)\delta _{{ik}}-\left(\varepsilon _{0}E_{i}E_{k}+{\frac {B_{i}B_{k}}{\mu _{0 }}}\höger).

Plasmoid är en begränsad konfiguration av magnetfält och plasma. Med hjälp av virialsatsen är det lätt att visa att en sådan konfiguration expanderar om den inte begränsas av yttre krafter. I den slutliga konfigurationen kommer ytintegralen att försvinna utan tryckväggar eller magnetspolar. Eftersom alla andra termer till höger är positiva, kommer accelerationen av tröghetsmomentet också att vara positiv. Det är lätt att uppskatta expansionstiden . Om den totala massan är begränsad inom en radie , då är tröghetsmomentet ungefär , och den vänstra sidan i virialsatsen är . Termerna till höger summerar till ett värde i storleksordningen , där är det största av plasmatrycket eller magnettrycket. Att likställa dessa två termer och ta hänsyn till att , , , där är jonens massa, är koncentrationen av joner, är volymen av plasmoiden, är Boltzmann-konstanten, är temperaturen, för vi finner: $\tau$ $M$ $R$ $MR^{2}$ $MR^{2}/\tau ^{2}$ $pR^{3}$ $sid$ ${\displaystyle M=m_{i}nV\sim m_{i}nR^{3))$ $p\sim nkT$ ${\displaystyle c_{s}^{2}\sim {\frac {kT}{m_{i))))$ $mi}$ $n$ $V\sim R^{3}$ $k$ $T$ $\tau$

\tau \sim R/c_{s},

var är hastigheten för den akustiska jonvågen (eller Alphen-vågen om det magnetiska trycket är högre än plasmatrycket). Sålunda förväntas livslängden för en plasmoid vara lika i storleksordning som den akustiska (Alfen) transittiden. $c_{s}$

Relativistiskt homogent system

I det fall då det fysiska systemet tar hänsyn till tryckfältet, elektromagnetiska och gravitationsfält, samt partikelaccelerationsfältet, skrivs virialsatsen i relativistisk form på följande sätt: [4]

~\langle W_{k}\rangle \approx -0{,}6\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle ,

dessutom överstiger värdet partiklarnas kinetiska energi med en faktor lika med Lorentz-faktorn för partiklar i systemets mitt. Under normala förhållanden kan vi anta att , och då är det klart att i virialsatsen är den kinetiska energin relaterad till den potentiella energin inte med en koefficient på 0,5, utan snarare med en koefficient nära 0,6. Skillnaden från det klassiska fallet uppstår på grund av hänsynstagandet till tryckfältet och partikelaccelerationsfältet inuti systemet, medan derivatan av skalärfunktionen inte är lika med noll och bör betraktas som Lagrangederivatan . $~W_{k}\approx \gamma _{c}T$ $~T$ $~\gamma _{c}$ $~\gamma _{c}\approx 1$ $~G$

Analysen av integralsatsen för den generaliserade virialen gör det möjligt att, på basis av fältteorin, hitta en formel för rot-medelkvadrathastigheten för typiska partiklar i systemet, utan att använda begreppet temperatur: [5]

v_{\mathrm {rms} }=c{\sqrt {1-{\frac {4\pi \eta \rho _{0}r^{2}}{c^{2}\gamma _{ c}^{2}\sin ^{2}{\left({\frac {r}{c)){\sqrt {4\pi \eta \rho _{0))}\right)))))) },

var är ljusets hastighet, är accelerationsfältet konstant, är partikelmassadensiteten, är strömradien. $~c$ $~\eta$ ${\displaystyle ~\rho _{0))$ ${\displaystyle~r}$

Till skillnad från virialsatsen för partiklar skrivs virialsatsen för ett elektromagnetiskt fält på följande sätt: [6]

~E_{kf}+2W_{f}=0,

var är energin $~E_{kf}=\int {A_{\alpha }j^{\alpha }{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}$

betraktas som den kinetiska energin för fältet som är associerat med 4-strömmen och kvantiteten ${\displaystyle ~j^{\alpha ))$

~W_{f}={\frac {1}{4\mu _{0))}\int {F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }{\sqrt {-g} }dx^{1}dx^{2}dx^{3}}

specificerar fältets potentiella energi, som hittas genom komponenterna i den elektromagnetiska tensorn.

Se även

Viriell nedbrytning

Anteckningar

↑ Sivukhin D.V. Allmän kurs i fysik. Mekanik. - M . : Nauka, 1979. - Upplaga 50 000 exemplar. - Med. 141.
↑ Bevis på denna jämlikhet
↑ Schmidt G. Fysik av högtemperaturplasmas. - Andra upplagan. - Academic Press, 1979. - sid. 72.
↑ Fedosin, SG Den viriala satsen och den kinetiska energin hos partiklar i ett makroskopiskt system i det allmänna fältbegreppet (engelska) // Kontinuummekanik och termodynamik : tidskrift. - 2016. - Vol. 29 , nr. 2 . - s. 361-371 . - doi : 10.1007/s00161-016-0536-8 . - . - arXiv : 1801.06453 .
↑ Fedosin, Sergey G. Integralsatsen för generaliserad virial i den relativistiska enhetliga modellen (engelska) // Continuum Mechanics and Thermodynamics : journal. - 2018. - 24 september ( vol. 31 , nr 3 ). - s. 627-638 . — ISSN 1432-0959 . - doi : 10.1007/s00161-018-0715-x . — . - arXiv : 1912.08683 .
↑ Fedosin SG Fältenergins integralsats. Arkiverad 23 juni 2019 på Wayback Machine Gazi University Journal of Science. Vol. 32, nr. 2, sid. 686-703 (2019). http://dx.doi.org/10.5281/zenodo.3252783 .

Litteratur

Goldstein H. Klassisk mekanik. — 2:a. ed. - Addison-Wesley, 1980. - ISBN 0-201-02918-9 .

Ordböcker och uppslagsverk	stor kines Stor ryss