Böjning (mekanik)

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 7 februari 2019; kontroller kräver 7 redigeringar .

Böjning - i motståndet hos material , en typ av deformation , där det finns en krökning av axlarna för raka stänger eller en förändring i krökningen av axlarna för krökta stänger, en förändring i krökningen / krökningen av mittytan av tallriken eller skalet. Böjning är förknippad med förekomsten av böjmoment i balkens eller skalets tvärsnitt. Direkt balkböjning uppstår när böjmomentet i ett givet tvärsnitt av balken verkar i ett plan som går genom en av huvudtröghetsaxlarna i denna sektion. I det fall då böjmomentets aktionsplan i ett givet tvärsnitt av balken inte passerar genom någon av huvudtröghetsaxlarna i denna sektion, kallas böjningen sned .

Om det vid en rak eller sned böj endast ett böjmoment verkar i balkens tvärsnitt, så finns det en ren rak respektive ren sned böj . Om en tvärkraft också verkar i tvärsnittet, så finns det en tvärgående rak eller tvärgående sned böj .

Ofta används inte termen "rak" i namnet på en direkt ren och direkt tvärböj och de kallas för en ren böj respektive en tvärböj.

Den klassiska teorin om strålböjning ( Euler - Bernoulli teorin )

Denna teori ligger till grund för analytiska beräkningar av balkar och ramar.

Huvudhypoteser

Plansektionshypotes (Bernoullis hypotes): Balksektioner som är plana och vinkelräta mot axeln före deformation förblir plana och vinkelräta mot balkens böjda axel efter deformation. Således tas inte hänsyn till skjuvdeformationen av skikten i förhållande till varandra. Den enda spänningen som beaktas i denna teori är den axiella spänningen ; $\sigma _{z}$

Förskjutningar och deformationer antas vara små. Balken antas vara outtöjbar;

Dimensionerna på balksektionen antas vara små jämfört med balkaxelns krökningsradie;

Materialet anses vara linjärt elastiskt enligt Hookes lag .

Härledning av ekvationer som relaterar kraftfaktorer till spänningar och töjningar

Geometriska förhållanden

Av huvudhypoteserna följer att deformationen är fördelad längs sektionens höjd enligt en linjär lag. Enligt Hookes lag , $\varepsilon_{z}$

\sigma _{z}=E\varepsilon _{z}

det vill säga att spänningarna också är linjärt fördelade.

I sektionen av balken (i det plana fallet) uppstår ett böjmoment , en tvärkraft och en längsgående kraft . En extern fördelad last verkar på sektionen . $M_{x}$ $Q_{y}$ $N$ $q$

Betrakta två intilliggande sektioner som ligger på avstånd från varandra. I det deformerade tillståndet vrids de i en vinkel i förhållande till varandra. Eftersom de övre skikten är sträckta och de nedre komprimeras, är det uppenbart att det finns ett neutralt skikt som förblir osträckt. Det är markerat med rött i figuren. Förändringen i krökningsradien för det neutrala lagret skrivs enligt följande: $dz$ $d\theta$

{\frac {1}{\rho }}={\frac {d\theta }{dz}}

Ökningen i längden av segmentet AB, beläget på ett avstånd från den neutrala axeln, uttrycks enligt följande: $y$

\Delta l=(y+\rho )d\theta -\rho d\theta =yd\theta

Alltså deformationen:

\varepsilon _{z}={\frac {\Delta l}{l))={\frac {yd\theta }{\rho d\theta }}={\frac {y}{\rho }}

Effektförhållanden

Spänning (enligt Hookes lag ):

\sigma _{z}=E\varepsilon _{z}=E{\frac {y}{\rho }}

Låt oss relatera spänningen till kraftfaktorerna som uppstår i avsnittet. Axialkraften uttrycks enligt följande:

N=\int \limits _{A}^{{\color {Vit}.}}{\sigma _{z}}\,dA=\int \limits _{A}^{{\color {Vit}. }}{E{\frac {y}{\rho }}}\,dA={\frac {E}{\rho }}\int \limits _{A}^({\color {Vit}}.} } y\,dA

Integralen i det sista uttrycket är det statiska momentet för avsnittet om axeln . Det är vanligt att ta som axel sektionens centrala axel, så att $x$ $x$

S_{x}=\int \limits _{A}^{{\color {Vit}.}}y\,dA=0

Alltså ,. Böjmomentet uttrycks på följande sätt: $N=0$

M_{x}=\int \limits _{A}^({\color {Vit}.}}{\sigma _{z}y}\,dA={\frac {E}{\rho }}\int \limits _{A}^{{\color {Vit}.}}{y^{2}}\,dA={\frac {E}{\rho }}J_{x}

var är tröghetsmomentet för avsnittet om axeln . $J_{x}=\int \limits _{A}^{{\color {Vit}.}}{y^{2}}\,dA$ $x$

Spänningarna i sektionen kan också reduceras till ögonblicket . För att förhindra att detta inträffar måste följande villkor vara uppfyllt: $Min}$

M_{y}={\frac {E}{\rho }}\int \limits _{A}^({\color {Vit}}.}}{yx}\,dA={\frac {E}{ \ rho }}J_{{xy}}=0

det vill säga centrifugaltröghetsmomentet måste vara noll, och axeln måste vara en av sektionens huvudaxlar. $y$

Således är krökningen av balkens böjda axel relaterad till böjmomentet med uttrycket:

{\frac {1}{\rho }}={\frac {M_{x}}{EJ_{x}}}

Fördelningen av spänningar längs sektionens höjd uttrycks med formeln:

\sigma ={\frac {M_{x}}{J_{x}}}y

Den maximala spänningen i sektionen uttrycks med formeln:

\sigma _{{max}}={\frac {M_{x}}{J_{x}}}{\frac {h}{2}}={\frac {M_{x}}{W_{x} }}

var är sektionens motståndsmoment mot böjning, är höjden på balksektionen. $W_{x}={\frac {J_{x}}{{\frac {h}{2}}}}$ $h$

Värdena och för enkla sektioner (runda, rektangulära) beräknas analytiskt. För en cirkulär sektion med en diameter på : $J_{x}$ $W_{x}$ $d$

$J_{x}={\frac {\pi d^{4}}{64}}$

$W_{x}={\frac {\pi d^{3}}{32}}$

För en rektangulär sektion höjd och bredd $h$ $b$

$J_{x}={\frac {bh^{3}}{12}}$

$W_{x}={\frac {bh^{2}}{6}}$

För mer komplexa sektioner (till exempel kanal , I-beam ), med standardiserade dimensioner, anges dessa värden i referenslitteraturen.

Böjmomentet i en sektion kan erhållas med sektionsmetoden (om balken är statiskt bestämd) eller med kraft/förskjutningsmetoder.

Differentialekvationer för jämvikt. Definition av förskjutningar

De huvudsakliga förskjutningarna som uppstår vid böjning är avböjningar i axelns riktning . Det är nödvändigt att associera dem med böjningsmomentet i sektionen. Låt oss skriva ner det exakta förhållandet som förbinder avböjningarna och krökningen av den krökta axeln: $v$ $y$

{\frac {1}{\rho }}={\frac {v''}{(1+v'^{2})^{{{\frac {3}{2}}}}}}

Eftersom avböjningar och vridningsvinklar antas vara små är värdet

v'^{2}=\left({\mathrm {tg}}\,(\theta )\right)^{2}\approx \theta ^{2}

är liten. Följaktligen,

{\frac {1}{\rho }}\approx v''

Betyder att,

v''={\frac {M_{x}}{EJ_{x}}}

Låt oss skriva jämviktsekvationen för sektionen i axelns riktning : $y$

Q_{y}+qdz-Q_{y}-dQ_{y}=0\Rrightarrow {\frac {dQ}{dz}}=q

Vi skriver ekvationen för jämvikten av moment runt axeln : $x$

M_{x}+Q\,dz+q\,dz{\frac {\,dz}{2}}-M_{x}-\,dM_{x}=0

Kvantiteten har 2:a ordningen av litenhet och kan kasseras. Följaktligen, $q\,dz{\frac {\,dz}{2))$

{\frac {\,dM_{x}}{\,dz}}=Q_{y}

Det finns alltså 3 differentialekvationer. Till dem läggs ekvationen för förskjutningar:

{\frac {\,dv}{\,dz))={\mathrm {tg))\,\theta \approx \theta

I vektormatrisform är systemet skrivet enligt följande:

{\frac {\,d\överhögerpil {Z}}{\,dz}}+A\överhögerpil {Z}=\överhögerpil {b}

var

A={\begin{Bmatrix}0&0&0&0\\-1&0&0&0\\0&-\displaystyle {\frac {1}{EJ_{x}(z)))&0&0\\0&0&-1&0\end{Bmatrix))

Systemtillståndsvektor:

\overrightarrow {Z}=(Q,M,\theta ,v)^{T}

Extern belastningsvektor:

\overrightarrow {b}=(q,0,0,0)^{T}

Denna differentialekvation kan användas för att beräkna flerstödsbalkar med ett tvärsnittströghetsmoment variabelt längs längden och laster fördelade på ett komplext sätt. Förenklade metoder används för att beräkna enkla strålar. I materialresistans vid beräkning av statiskt bestämda balkar hittas böjmomentet med sektionsmetoden. Ekvationen

v''={\frac {M_{x}}{EJ_{x}}}

integrerad två gånger:

v'=\theta (z)=\int {\frac {M_{x}(z)}{EJ_{x}}}\,dz+C_{1}

v(z)=\int \left(\int {\frac {M_{x}(z)}{EJ_{x}}}\,dz\right)\,dz+C_{1}z+C_{2 }

Konstanterna , hittas från de randvillkor som läggs på strålen. Så för den fribärande balken som visas i figuren: $C_{1}$ $C_{2}$

M_{x}(z)=-P(Lz)

\theta (z)=-PL{\frac {z}{EJ_{x}}}+P{\frac {z^{2}}{2EJ_{x}}}+C_{1}

v(z)=-PL{\frac {z^{2}}{2EJ_{x}}}+P{\frac {z^{3}}{6EJ_{x}}}+C_{1}z+ C_ {2}

Gränsförhållanden:

\theta (0)=0\Rrightarrow C_{1}=0

v(0)=0\Rrightarrow C_{2}=0

På det här sättet,

\theta (z)=-PL{\frac {z}{EJ_{x}}}+P{\frac {z^{2}}{2EJ_{x}}}

v(z)=-PL{\frac {z^{2}}{2EJ_{x}}}+P{\frac {z^{3}}{6EJ_{x}}}

Timosjenkos teori om strålböjning

Denna teori bygger på samma hypoteser som den klassiska, men Bernoulli-hypotesen är modifierad: det antas att de sektioner som var plana och normala mot balkaxeln före deformation förblir plana, men upphör att vara normala mot den krökta axeln. Således tar denna teori hänsyn till skjuvtöjning och skjuvspänningar. Redovisning av skjuvspänningar är mycket viktigt för beräkningen av kompositer och trädelar, eftersom deras förstörelse kan uppstå på grund av att bindemedlet förstörs under skjuvning.

Huvudsakliga beroenden:

M=EJ{\frac {\,d\theta }{\,dz))

Q={\frac {GF}{\alpha }}\left(\theta -{\frac {\,dv}{\,dz}}\right)

var är balkmaterialets skjuvmodul , är tvärsnittsarean, är en koefficient som tar hänsyn till den ojämna fördelningen av skjuvspänningar över sektionen och beror på dess form. Värde $G$ $F$ $\alfa$

\gamma =\theta -{\frac {\,dv}{\,dz))

är skjuvningsvinkeln.

Böjning av balkar på ett elastiskt fundament

Detta designschema simulerar järnvägsräls , såväl som fartyg (i den första approximationen).

Den elastiska basen betraktas som en uppsättning fjädrar som inte är förbundna med varandra.

Den enklaste beräkningsmetoden är baserad på Winkler- hypotesen : reaktionen hos en elastisk grund är proportionell mot avböjningen vid en punkt och är riktad mot den:

$p=-k\cdot v$

var är avböjningen; $v$

$sid$ - reaktion (per längdenhet av strålen);

$k$ - Proportionalitetskoefficient (kallad sängkoefficient ).

I det här fallet anses basen vara tvåsidig, det vill säga reaktionen sker både när strålen pressas in i basen och när den separeras från basen. Bernoullis gissningar håller.

Differentialekvationen för böjning av en balk på ett elastiskt fundament har formen:

${\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\left(EJ_{x}(z){\frac {d^{2}v}{dz^{2}}} \right)+k(z)\cdot v=q(z)$

var är avböjningen; $v(z)$

$EJ_{x}(z)$ - böjstyvhet (som kan varieras längs längden) ;

$k(z)$ - bäddkoefficient variabel längs längden;

$q(z)$ - fördelad belastning på balken.

Med konstant styvhet och bäddningskoefficient kan ekvationen skrivas som:

$EJ_{x}{\frac {d^{4}v}{dz^{4}}}+k\cdot v=q(z)$

eller

${\frac {d^{4}v}{dz^{4}}}+4m^{4}\cdot v=q(z)$

där det anges

${\displaystyle 4m^{4}={\frac {k}{EJ_{x))))$

Böjning av en stråle med stor krökning

För balkar, vars krökningsradie för vars axel är proportionerlig med höjden på sektionen , det vill säga: $\rho _{0}$ $h$

${\frac {h}{\rho _{0}}}>0.2$

fördelningen av spänningar längs höjden avviker från linjär, och den neutrala linjen sammanfaller inte med sektionens axel (som passerar genom sektionens tyngdpunkt ). Ett sådant beräkningsschema används till exempel för att beräkna kedjelänkar och krankrokar .

Formeln för spänningsfördelning är:

$\sigma ={\frac {M}{F\cdot e}}\cdot {\frac {y}{R+y}}$

var är böjmomentet i sektionen; $M$

$R$ är radien för den neutrala sektionslinjen;

$F$ - tvärsnittsarea;

$e=R_{0}-R$ - excentricitet ;

$y$ - koordinat längs sektionens höjd , räknat från neutrallinjen.

Radien för den neutrala linjen bestäms av formeln:

$R=\int {\frac {\,dF}{u}}=\int \limits _{R_{1}}^{R_{2}}{\frac {b(u)\,du} {u}}$

Integralen tas över tvärsnittsarean, koordinaten mäts från krökningscentrum. Ungefärliga formler är också giltiga: $u$

$e={\frac {J_{x}}{R_{0}\cdot F}}$

$r_{0}=R_{0}-{\frac {J_{x}}{R_{0}\cdot F}}$

Analytiska formler finns tillgängliga för vanliga tvärsnitt. För en rektangulär sektion med en höjd : $h$

$R={\frac {h}{\ln \displaystyle {\frac {R_{0}+{\frac {h}{2))}{R_{0}-{\frac {h}{2 )))))))={\frac {h}{\ln \displaystyle {\frac {R_{2}}{R_{1}}}}}$

var är krökningsradien för strålens inre respektive yttre ytor. $R_{1},R_{2}$

För rund sektion:

$R={\frac {R_{0}+{\sqrt {R_{0}^{2}-r^{2)))){2))$

var är sektionsradien. $r$

Kontrollera styrkan hos en stråle

I de flesta fall bestäms strålens styrka av de maximalt tillåtna spänningarna:

{\displaystyle \sigma _{max}<{\frac {\sigma _{T}}{n_{T))))

där är sträckgränsen för balkmaterialet, är sträcksäkerhetsfaktorn . För spröda material: $\sigma _{T}$ $n_{T}$

{\displaystyle \sigma _{max}<{\frac {\sigma _{b}}{n_{b))))

var är draghållfastheten för balkmaterialet, är säkerhetsfaktorn . $\sigma _{b}$ $n_{b}$

När det gäller plastmaterial kan dessa formler avsevärt underskatta värdet av den belastning vid vilken balken förlorar sin bärighet. Faktum är att bärigheten förloras endast om hela materialet i någon sektion övergår i ett plastiskt tillstånd. Då kan oacceptabla förskjutningar uppstå i sektionen (det så kallade plastgångjärnet bildas ). Om vi tar Prandtl -diagrammet som ett spänningskompressionsdiagram , så uttrycks det begränsande böjmomentet för en rektangulär stång med bredd och höjd med formeln: $M_{{pr}}$ $b$ $h$

M_{{pr}}={\frac {1}{4}}bh^{2}\sigma _{T}

Dynamisk laddning av strålar

Naturliga svängningar

Tänk på en balk med materialdensitet , tvärsnittsarea och böjstyvhet . Ekvationen för naturliga svängningar har formen: $\rho$ $A$ $EJ$

${\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\left(EJ{\frac {\partial ^{2}x}{\partial z^{2}}} \right)+m_{0}{\frac {\partial ^{2}x}{\partial t^{2))}=0$

där är den tvärgående förskjutningen, är massan per längdenhet av stången. Lösningen söks i formen: $x(z,t)$ $m_{0}=\rho A$

$x(z,t)=u(z)\cos(pt+\phi )$

Genom att ersätta får vi den vanliga differentialekvationen :

${\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\left(EJ{\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}\right)-m_{ 0}p^{2}u=0$

För en stråle med konstant sektion omvandlas den till formen:

${\frac {d^{4}u}{dz^{4}}}-\alpha ^{4}u=0$

var

$\alpha ^{4}={\frac {p^{2}m_{0}}{EJ}}$

Det är bekvämt att presentera lösningen med Krylov- funktionerna :

$u=\sum _{i=1}^{4}C_{i}K_{i}(\alpha z)$

var finns Krylov-funktionerna:

$K_{1}(\alpha z)={\frac {1}{2))(\operatörsnamn {ch} \alpha z+\cos \alpha z)$

$K_{2}(\alpha z)={\frac {1}{2))(\operatörsnamn {sh} \alpha z+\sin \alpha z)$

$K_{3}(\alpha z)={\frac {1}{2))(\operatörsnamn {ch} \alpha z-\cos \alpha z)$

$K_{4}(\alpha z)={\frac {1}{2))(\operatörsnamn {sh} \alpha z-\sin \alpha z)$

a är permanenta. $C_{i}$

Krylovs funktioner är förbundna med beroenden:

${\frac {d}{dz}}K_{1}(\alpha z)=\alpha K_{4}(\alpha z)$

${\frac {d}{dz}}K_{2}(\alpha z)=\alpha K_{1}(\alpha z)$

${\frac {d}{dz}}K_{3}(\alpha z)=\alpha K_{2}(\alpha z)$

${\frac {d}{dz}}K_{4}(\alpha z)=\alpha K_{3}(\alpha z)$

Dessa beroenden förenklar i hög grad skrivningen av gränsvillkoren för balkar:

$C_{1}=u_{z=0};C_{2}={\frac {1}{\alpha }}\left({\frac {du}{dz}}\right)_{z =0};C_{3}={\frac {1}{EJ\alpha ^{2}}}M_{z=0};C_{4}={\frac {1}{EJ\alpha ^{3 }}}Q_{z=0}$

Två randvillkor anges i vardera änden av balken.

Ekvationen för naturliga vibrationer har oändligt många lösningar. Samtidigt är som regel endast de första få av dem, motsvarande de lägsta egenfrekvenserna, av praktiskt intresse.

Den allmänna formeln för naturlig frekvens är:

$p_{k}=\lambda _{k}^{2}{\sqrt {\frac {EJ}{m_{0}l^{4))))$

För enspansbalkar:

Förankring		$\lambda_k$
Vänster ände	Höger ände	$\lambda_k$
uppsägning	uppsägning	$\lambda _{1}=4.73;$ $\lambda _{2}=7 853;$
Fri	Fri	$\lambda _{1}=0;$ $\lambda _{2}=0;$ för k>2 $\lambda _{k}={\frac {2k+1}{2}}\pi ;$
uppsägning	Artikulerad	$\lambda _{1}=3 927;$ $\lambda _{2}=7 069;$ för k>2 $\lambda _{k}={\frac {4k+1}{4}}\pi ;$
Artikulerad	Artikulerad	$\lambda _{k}=k\pi$
uppsägning	Fri	$\lambda _{1}=1 875;$ $\lambda _{2}=4,694;$ för k>2 $\lambda _{k}={\frac {2k-1}{2}}\pi ;$

Forcerade vibrationer

Böjande skal

Se även

Böjförlängning

Litteratur

Biderman VL Theory of Mechanical Oscillations: Lärobok för gymnasier. - M .: Högre. Skola, 1980. - 408 sid.
Feodosiev V.I. Materialresistens. - M .: förlag av MSTU im. N.E. Bauman, 1999

Länkar

Designdata för standardbalkar med konstant sektion