Kvantmekanikens matematiska grunder

De matematiska grunderna för kvantmekaniken är en metod för matematisk modellering av kvantmekaniska fenomen accepterade inom kvantmekaniken , vilket gör det möjligt att beräkna de numeriska värdena för kvantiteter observerade i kvantmekaniken. De skapades av Louis de Broglie [1] (upptäckt av materiavågor ), W. Heisenberg [2] (skapande av matrismekanik , upptäckt av osäkerhetsprincipen ), E. Schrödinger [3] ( Schrödinger-ekvation ), N. Bohr [4] (formuleringskomplementaritetsprincipen ) . P. A. M. Dirac fullbordade skapandet av de matematiska grunderna för kvantmekaniken och gav dem en modern form [5] [6] . Ett utmärkande drag för kvantmekanikens matematiska ekvationer är närvaron i dem av symbolen för Plancks konstant .

Observerbara och tillståndsvektorer

Observerbara storheter och tillstånd används som huvudegenskaper för att beskriva fysikaliska system inom kvantmekaniken.

De observerade kvantiteterna modelleras av linjära självtillslutande operatorer i ett komplext separerbart Hilbertrum (tillståndsrum) [7] . Varje fysisk storhet motsvarar en linjär hermitisk operator eller matris. Till exempel motsvarar radievektorn för en partikel multiplikationsoperatorn , partikelmomentet motsvarar operatorn och vinkelmomentet motsvarar operatorn $x$ $x$ ${\hat {p}}=-i\hbar \nabla$

\hbar {\hat {L}}={\hat {x}}\times {\hat {p}}=-i\hbar \times \nabla .

Tillstånd modelleras av klasser av normaliserade element i detta utrymme (tillståndsvektorer), som skiljer sig från varandra endast genom en komplex faktor, med en enhetsmodul (normaliserade vågfunktioner). [7]

Vågfunktioner uppfyller kvantprincipen för superposition : om två möjliga tillstånd representeras av vågfunktioner och så finns det ett tredje tillstånd som representeras av vågfunktionen $\psi_{{1}}$ $\psi_{{2}}$

\psi =c_{1}\psi _{1}+c_{2}\psi _{2},

där och är godtyckliga amplituder [8] . $c_{{1}}$ $c_{2}$

Resultatet av en exakt mätning av en fysisk storhet kan bara vara egenvärdena för denna operator . [7] $A$ $\widehat {A}$

Den matematiska förväntan av magnitudvärdena i staten beräknas som . Här betecknar parenteser den skalära produkten av vektorer (i matrisrepresentation, det diagonala matriselementet). [7] $\overline {A}$ $A$ $\psi$ $\overline {A}=(\psi ,\widehat {A}\psi )$

Tillståndet vektorer och beskriver samma tillstånd om och endast om där är ett godtyckligt komplext tal. Varje observerbar är unikt associerad med en linjär självadjointoperator [9] . Sannolikhetsfördelningen av möjliga värden för den observerade kvantiteten i tillståndet ges av måttet [10] : $\psi_{1}$ $\psi_{2}$ $\psi _{2}=c\psi _{1},$ $c$ $A$ $\psi$

dm_{{\widehat {A)),\psi }(a)=d(E_{a}\psi ,\psi ),

där är en självadjoint operatör som motsvarar den observerade kvantiteten , är tillståndsvektorn, är operatörens spektrala funktion , parenteser betecknar den skalära produkten av vektorer . Observerade kvantiteter och tillståndsvektorer kan utsättas för en godtycklig enhetlig transformation $\widehat {A}$ $a$ $\psi$ $E_{{a}}$ $\widehat {A}$

\psi \rightarrow U\psi ,A\rightarrow UAU^{-1}.

I det här fallet ändras inte någon meningsfull fysisk kvantitet. Observerbara värden är samtidigt mätbara om och endast om motsvarande självtillslutande operatorer pendlar (pendlar). $(A\psi ,\psi )$

Den kompletta uppsättningen av gemensamt observerade kvantiteter

Samobserverade storheter är kvantiteter som kan mätas samtidigt. En uppsättning operatorer bildar en komplett uppsättning av gemensamt observerade kvantiteter om villkoren för kommutativitet ( för alla ), ömsesidigt oberoende (ingen av operatorerna kan representeras som en funktion av de andra), fullständighet (det finns ingen operator som pendlar med alla) och är inte en funktion av dem). För en given uppsättning värden kan tillståndsutrymmet implementeras som ett funktionsutrymme med en punktprodukt: $A_{{i}},i=1,...k$ $\left[A_{i},A_{j}\right]=0$ $i,j=1,...k$ $A_{{i}}$ $A_{{i}}$ $\psi (a_{1},...a_{k})$

(\psi _{1},\psi _{2})=\int \psi _{1}(a_{1},...a_{k}){\overline {\psi _{2 }(a_{1},...a_{k})}}d\mu (a_{1},...a_{k}).

Operatörerna är multiplikationsoperatorer med motsvarande variabler: $A_{{i}}$

A_{i}\psi (a_{1},...a_{k})=a_{i}\psi (a_{1},...a_{k}).

Gemensam fördelning av observerbara värden:

P(a_{1},...a_{k})=\left|\psi (a_{1},...a_{k})\right|^{2}d\mu (a_ {1},...a_{k}).

Ange rymd och observerbar vektor för en partikel

När det gäller en partikel i tredimensionell rymd är de observerbara storheterna koordinaterna och momenta . $x=(x_{1},x_{2},x_{3})$ $Q_{{1}},Q_{{2}},Q_{{3}}$ $P_{{1}},P_{{2}},P_{{3}}$

I Schrödinger-representationen (anpassad till koordinater) bildas tillståndsrummet av kvadratiska integrerbara funktioner med en inre produkt: $\psi(x)$

(\psi _{1},\psi _{2})=\int \psi _{1}(x){\overline {\psi _{2}(x)))dx.

Koordinatoperatorerna är multiplikationsoperatorerna:

{\widehat {x_{j}}}\psi (x)=x_{j}\psi (x),j=1,2,3.

Momentumoperatorerna är differentieringsoperatorer:

{\widehat {p_{j))}\psi (x)=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{j))}\psi (x),j=1,2 ,3.

Kommuteringsrelationer

Kartesiska koordinatoperatorer och momentumoperatorer uppfyller kommuteringsrelationerna : $\widehat {x_{i}}$ $\widehat {p_{i}}$

\left[{\widehat {p_{i}}},{\widehat {x_{k}}}\right]=-i\hbar \delta _{ik},

\left[{\widehat {p_{i}}},{\widehat {p_{k}}}\right]=0,

\left[{\widehat {x_{i}}},{\widehat {x_{k}}}\right]=0.

Här är Plancks konstant . [7] $\hbar$

Hamiltons ekvationer

Matriselementen för de kartesiska koordinatoperatorerna och momentumoperatorerna uppfyller ekvationer som liknar Hamiltons i klassisk mekanik: $\widehat {x_{i}}$ $\widehat {p_{i}}$

{\frac {d}{dt}}(f,{\widehat {p_{i}}}g)=-(f,{\frac {\partial {\widehat {H}}}{\partial {\widehat {x_{i}}}}}}g),

{\frac {d}{dt}}(f,{\widehat {x_{i}}}g)=(f,{\frac {\partial {\widehat {H}}}{\partial { \widehat {p_{i}}}}}g).

Här är operatören som motsvarar Hamilton-funktionen i klassisk mekanik. [7] $\widehat {H}$

Schrödingers ekvation

Utvecklingen av det rena tillståndet i det Hamiltonska systemet i tiden bestäms av den icke-stationära Schrödinger-ekvationen

i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t))={\hat {H))\psi ,

var är Hamiltonian: ${\hat {H}}$

{\hat {H}}=-{\frac {{\hbar }^{2}}{2m}}{\left({\frac {{{\partial }^{2}}{}} {{{\partial }x}^{2}}}+{\frac {({\partial }^{2}}{}}{{{\partial}y}^{2}}}+{\frac {{{\partial }^{2}}{}}{{{\partial }z}^{2}}}\right)}+{{\hat {E}}_{\rm {pot}}} .

Stationära, det vill säga tillstånd som inte förändras med tiden, bestäms av den stationära Schrödinger-ekvationen:

{{\hat {H}}{\psi }}={E{\psi }}.

Det antas också att utvecklingen av ett kvantsystem är en Markov-process , och antalet partiklar är konstant [11] . Dessa bestämmelser gör det möjligt att skapa en matematisk apparat som lämpar sig för att beskriva ett brett spektrum av problem inom kvantmekaniken i Hamiltonska system i rena tillstånd. En vidareutveckling av denna apparat är kvantfältteorin , som vanligtvis beskriver kvantprocesser med ett varierande antal partiklar. Densitetsmatrisen används för att beskriva tillstånden för öppna, icke-Hamiltonska och dissipativa kvantsystem , och Lindblads ekvation används för att beskriva utvecklingen av sådana system . För att beskriva kvant -icke-Markov-processer föreslås vanligtvis olika generaliseringar av Lindblad-ekvationen.

Identitetsprincip

I vilket par som helst av identiska elementarpartiklar kan elementarpartiklar bytas ut utan uppkomsten av ett fysiskt nytt tillstånd. Matematiskt betyder identitetsprincipen ett villkor på permutationsoperatorns egenvärden : [12] . $\lambda =\pm 1$ ${\displaystyle P_{kj))$ $P_{kj}\psi =\lambda \psi$

Tillstånd c är antisymmetriska (fermioner med halvheltalsspinn), c är symmetriska (bosoner med heltalsspinn). $\lambda =-1$ $\lambda =+1$

Se även

Anteckningar

↑ L. de Brogile, Ann. d. fys. (10), 3, 22, 1925
↑ W. Heisenberg, ZS f. Phys. 33, 879, 1925
↑ E. Schrodinger, Ann. d. fys. (4), 79, 361, 489, 734 1926
↑ N. Bohr, Naturwissensch. 16, 245, 1928
↑ Dirac P. A. M. Kvantmekanikens principer. - M. : Nauka, 1979. - 409 sid.
↑ Kuznetsov B. G. Grundidéer om kvantmekanik. // Uppsatser om utveckling av grundläggande fysiska idéer. - Svara. ed. Grigoryan A. T. , Polak L. S. - M .: Sovjetunionens vetenskapsakademi, 1959. - Upplaga 5 000 exemplar. - S. 390-421
↑ 1 2 3 4 5 6 Elyutin, 1976 , sid. 25.
↑ Blokhintsev, 1963 , sid. 577.
↑ Berezin F. A., Shubin M. A. Schrödingers ekvation. - M . : Moscows förlag. un-ta, 1983.
↑ Crane S. G. Funktionsanalys. — M .: Nauka, 1972.
↑ Även om det inte krävs.
↑ Blokhintsev, 1963 , sid. 579.

Litteratur

Dirac P. A. M. Principer för kvantmekanik. - M. : Nauka, 1979. - 409 sid.
Bogolyubov N. N., Logunov A. A., Todorov I. T. Grunderna i det axiomatiska tillvägagångssättet i kvantfältteori. M.: Nauka, 1969. 424 sid.
Bogolyubov N. N., Logunov A. A., Oksak A. I., Todorov I. T. Allmänna principer för kvantfältteori. M.: Nauka, 1987. 616s.
Bratteli W., Robinson D. Operatoralgebror och kvantstatistisk mekanik. M.: Mir, 1982. 512s.
J. von Neumann Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, M.: Nauka 1964.
Emh Zh Algebraiska metoder inom statistisk mekanik och kvantfältteori. M.: Mir, 1976. 424 sid.
Holevo AS Probabilistiska och statistiska aspekter av kvantteorin. M.: Nauka, 1980. 320-tal.
Holevo AS Statistisk struktur av kvantteorin. Moskva, Izhevsk: RHD 2003. 188s.
Sardanashvili G. A. Moderna metoder för fältteori. 3. Algebraisk kvantteori. Moskva: URSS 1999. 214s.
Elyutin P. V. , Krivchenkov V. D. Kvantmekanik med problem. - M. : Nauka, 1976. - 336 sid.
Blokhintsev D. I. Grunderna i kvantmekaniken. - M . : Högre skola, 1963. - 520 sid.
McKee J. föreläser om kvantmekanikens matematiska grunder. — M .: Mir, 1965. — 220 sid.