Multiparticle Greens funktion

I många-kroppsteori används benämna Greens funktion (eller Greens funktion ) ibland som en synonym för korrelationsfunktion , men hänvisar till fältoperatörskorrelatorer eller skapelse- och förintelseoperatörer .

Namnet kommer från de grönas funktioner som används för att lösa icke-homogena differentialekvationer, med vilka de är löst relaterade. I synnerhet är endast tvåpunkts Greens funktioner i fallet med ett icke-interagerande system Greens funktioner i matematisk mening; den linjära operatorn de inverterar är Hamiltonoperatorn , som i det icke-interagerande fallet är kvadratisk med avseende på fältoperatorer.

Rumsligt homogent fall

Grundläggande definitioner

Vanligtvis överväga teorin för många organ med en fältoperatör (förintelseoperator, skriven i en koordinatbas) . $\psi (\mathbf {x} )$

Heisenberg - operatörerna kan skrivas i termer av Schrödinger-operatörerna som

\psi (\mathbf {x} ,t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} Kt}\psi (\mathbf {x} )\mathrm {e} ^{-\mathrm {i }Kt},

och skapelseoperatören , där är Hamiltonian för den stora kanoniska ensemblen . ${\bar {\psi }}(\mathbf {x} ,t)=[\psi (\mathbf {x} ,t)]^{\dolk }$ $K=H-\mu N$

Likadant för operatörer skrivna i tänkt tid

\psi (\mathbf {x} ,\tau )=\mathrm {e} ^{K\tau }\psi (\mathbf {x} )\mathrm {e} ^{-K\tau }

{\bar {\psi }}(\mathbf {x} ,\tau )=\mathrm {e} ^{K\tau }\psi ^{\dolk }(\mathbf {x} )\mathrm { e} ^{-K\tau }.

Här är skapelseoperatören i imaginär tid inte den hermitiska anknytningen till förstörelseoperatören . ${\bar {\psi }}(\mathbf {x} ,\tau )$ $\psi (\mathbf {x} ,\tau )$

Realtidspunkten Greens funktion definieras som $2n$

G^{(n)}(1\ldots n\mid 1'\ldots n')=i^{n}\langle {\hat {T))\psi (1)\ldots \psi (n ){\bar {\psi }}(n')\ldots {\bar {\psi }}(1')\rangle ,

där förkortningar används, i vilka betyder och betyder också . Operatören står för ordering by time operator , vilket anger att fältoperatorerna som följer den ska ordnas så att deras tidsargument ökar från höger till vänster. $j$ $(\mathbf {x} _{n},t_{n})$ $n'$ $(\mathbf {x} _{n}',t_{n}')$ ${\hat {T}}$

För imaginär tid är motsvarande definition:

{\mathcal {G}}^{(n)}(1\ldots n\mid 1'\ldots n')=\langle {\hat {T}}\psi (1)\ldots \psi ( n){\bar {\psi }}(n')\ldots {\bar {\psi }}(1')\rangle ,

där index betyder koordinater och tid . De imaginära tidsvariablerna är begränsade till intervallet från till reciprok temperatur . $n$ $\mathbf {x} _{n},\tau _{n}$ $\tau_n$ $0$ $\beta ={\frac {1}{k_{B}T))$

Här valdes tecknen för Greenens funktioner så att Fouriertransformen av tvåpunkts ( ) Matsubara Greens funktion för en fri partikel är lika med $n=1$

{\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})={\frac {1}{-\mathrm {i} \omega _{n}+\xi _{\ mathbf {k} }}},

och den retarderade grönas funktion är

G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{-(\omega +\mathrm {i} \eta )+\xi _{\mathbf {k} }}},

var

\omega _{n}={[2n+\theta (-\zeta )]\pi }/{\beta }\,,

där ω n är Matsubara-frekvenser .

$\zeta$ är lika för bosoner och för fermioner och betecknar kommutator eller antikommutator beroende på statistiken . $+1$ $-ett$ ${\displaystyle [\ldots ,\ldots ]=[\ldots ,\ldots ]_{-\zeta ))$

Tvåpunktsfunktioner

Greens funktion med ett par argument ( ) kallas en tvåpunktsfunktion eller propagator . I närvaro av både rumslig och tidsmässig translationell symmetri beror det bara på skillnaden i dess argument. Fouriertransformen i rum och tid ger $n=1$

{\mathcal {G))(\mathbf {x} \tau \mid \mathbf {x} '\tau ')=\int _{\mathbf {k} }d\mathbf {k} {\frac {1}{\beta }}\summa _{\omega _{n}}{\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})\mathrm {e} ^{\mathrm { i} \mathbf {k} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')-\mathrm {i} \omega _{n}(\tau -\tau ')},

där är summan över motsvarande Matsubara-frekvenser (och integralen inkluderar en implicit faktor ). ${\displaystyle (L/2\pi )^{d))$

I realtid indikeras en tidsordnad funktion med ett upphöjt T:

G^{\mathrm {T} }(\mathbf {x} t\mid \mathbf {x} 't')=\int _{\mathbf {k} }d\mathbf {k} \int { \frac {\mathrm {d} \omega }{2\pi }}G^{\mathrm {T} }(\mathbf {k} ,\omega )\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \mathbf {k} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')-\mathrm {i} \omega (tt')}.

Realtids tvåpunkts Greens funktion kan skrivas i termer av "lagging" och "ledande" Greens funktioner, som visar sig ha enklare analytiska egenskaper. Den efterblivna och avancerade grönas funktioner definieras som

G^{\mathrm {R} }(\mathbf {x} t\mid \mathbf {x} 't')=-\mathrm {i} \langle [\psi (\mathbf {x} ,t ),{\bar {\psi ))(\mathbf {x} ',t')]_{\zeta }\rangle \Theta (tt')

G^{\mathrm {A} }(\mathbf {x} t\mid \mathbf {x} 't')=\mathrm {i} \langle [\psi (\mathbf {x} ,t) ,{\bar {\psi ))(\mathbf {x} ',t')]_{\zeta }\rangle \Theta (t'-t),

respektive.

De är relaterade till den tidsordnade Greens funktion genom relationen

G^{\mathrm {T} }(\mathbf {k} ,\omega )=[1+\zeta n(\omega )]G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} , \omega )-\zeta n(\omega )G^{\mathrm {A} }(\mathbf {k} ,\omega ),

var

n(\omega )={\frac {1}{\mathrm {e} ^{\beta \omega }-\zeta ))

är Bose-Einstein eller Fermi-Dirac distributionsfunktion.

Ordning i imaginär tid och β- periodicitet

Matsubara Greens funktioner definieras endast när båda imaginära tidsargumenten ligger inom intervallet upp till . Tvåpunktsgröns funktion har följande egenskaper. (Koordinater och momentum utelämnas i detta avsnitt.) $0$ $\beta$

För det första beror Greens funktion endast på den imaginära tidsskillnaden:

{\mathcal {G}}(\tau ,\tau ')={\mathcal {G}}(\tau -\tau ').

Argumentet varierar från till . $\tau -\tau '$ $-\beta$ $\beta$

För det andra - ${\mathcal {G}}(\tau )$

detta är en (anti)periodisk funktion med avseende på skift . På grund av den ringa storleken på omfattningen där funktionen är definierad, betyder detta att $\beta$

{\mathcal {G}}(\tau -\beta )=\zeta {\mathcal {G}}(\tau ),

för . Tidsordning är avgörande för denna egenskap, vilket kan bevisas direkt med hjälp av spårningsoperationens cyklicitet. $0<\tau <\beta$

Dessa två egenskaper tas med i beräkningen i representationen av den framåtriktade och inversa Fouriertransformen,

{\mathcal {G}}(\omega _{n})=\int _{0}^{\beta }\mathrm {d} \tau \,{\mathcal {G}}(\tau ) \,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \omega _{n}\tau }.

${\mathcal {G}}(\tau )$ har en diskontinuitet vid ; detta överensstämmer med beteende på långa avstånd . $\tau=0$ ${\mathcal {G}}(\omega _{n})\sim 1/|\omega _{n}|$

Spektral representation

De verkliga och imaginära tidspropagatorerna är relaterade till spektraldensiteten (eller spektralvikten) med formeln

\rho (\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z))}\sum _{\alpha ,\alpha '}2\pi \delta (E_{\ alpha }-E_{\alpha '}-\omega )|\langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dolk }\mid \alpha '\rangle |^{2}\left( \mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha '}}-\zeta \mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha }}\right),

där | α ⟩ hänvisar till multipartikelegentillståndet för Hamiltonian i den stora kanoniska ensemblen H − μN med egenvärdet E α .

Då förökaren i tänkt tid ges av

{\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} \omega ' }{2\pi }}{\frac {\rho (\mathbf {k} ,\omega ')}{-\mathrm {i} \omega _{n}+\omega '}}~,

och den retarderade propagatorn

G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} \omega '}{ 2\pi )){\frac {\rho (\mathbf {k} ,\omega ')}{-(\omega +\mathrm {i} \eta )+\omega ')),

där gränsen antyds vid . ${\displaystyle \eta \rightarrow 0^{+))$

Den ledande propagatorn ges av samma uttryck, men med en term i nämnaren. $-\mathrm {i} \eta$

En tidsordnad funktion kan uttryckas i termer av och . Som nämnts ovan, och har enkla analytiska egenskaper: den första (sista) har alla poler och diskontinuiteter i det nedre (övre) halvplanet. $G^{\mathrm {R} }$ $G^{\mathrm {A} }$ $G^{\mathrm {R} }(\omega )$ $G^{\mathrm {A} }(\omega )$

Matsubara- propagatorn har alla poler och diskontinuiteter på imaginära axlar. ${\mathcal {G}}(\omega _{n})$ $\omega_{n}$

Den spektrala tätheten kan hittas genom att använda Sochacki-Weierstrass sats för generaliserade funktioner $G^{\mathrm {R} }$

\lim _{\eta \rightarrow 0^{+}}{\frac {1}{x\pm \mathrm {i} \eta }}=P{\frac {1}{x}}\mp i\pi\delta(x),

där P betecknar huvudvärdet för Cauchy-integralen . Det leder till

\rho (\mathbf {k} ,\omega )=2\operatörsnamn {Im} \,G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega ).

Dessutom följer den följande förhållande mellan dess verkliga och imaginära delar: $G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )$

\operatorname {Re} G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )=-2P\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm { d} \omega '}{2\pi }}{\frac {\operatörsnamn {Im} \,G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega ')}{\omega -\omega '}},

där anger integralens huvudvärde. $P$

Den spektrala tätheten följer summaregeln,

\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} \omega }{2\pi }}\rho (\mathbf {k} ,\omega )=1,

vilket ger asymptotikerna i formen

G^{\mathrm {R} }(\omega )\sim {\frac {1}{|\omega |))

kl . $|\omega |\rightarrow \infty$

Hilbert transform

Likheten mellan de spektrala representationerna av Greens funktioner i imaginär och realtid tillåter oss att definiera funktionen

G(\mathbf {k} ,z)=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{2\pi }}{\frac {\rho (\mathbf {k} ,x)}{-z+x}},

som relaterar till och hur ${\mathcal {G}}$ $G^{\mathrm {R} }$

{\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})=G(\mathbf {k} ,\mathrm {i} \omega _{n})

såväl som

G^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )=G(\mathbf {k} ,\omega +\mathrm {i} \eta ).

Ett liknande uttryck gäller för . $G^{\mathrm {A} }$

Förhållandet mellan och kallas Hilbert-transformen . $G(\mathbf {k} ,z)$ $\rho (\mathbf {k} ,x)$

Bevis på den spektrala representationen

För att bevisa den spektrala representationen av propagatorn av Matsubara Greens funktion, definierar man som

{\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau \mid \mathbf {x} ',\tau ')=\langle T\psi (\mathbf {x} ,\tau ){\ stapel {\psi ))(\mathbf {x} ',\tau ')\rangle .

På grund av translationssymmetri är det nödvändigt att endast ta hänsyn till givna i formuläret ${\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau \mid \mathbf {0} ,0)$ $\tau >0$

{\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau \mid \mathbf {0} ,0)={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha '}\mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha '}}\langle \alpha '\mid \psi (\mathbf {x} ,\tau ){\bar {\psi }}(\mathbf { 0} ,0)\mid \alpha '\rangle .

Att ersätta hela uppsättningen av egentillstånd leder till

{\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau \mid \mathbf {0} ,0)={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}\mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha '}}\langle \alpha '\mid \psi (\mathbf {x} ,\tau )\mid \alpha \rangle \langle \ alpha \mid {\bar {\psi }}(\mathbf {0} ,0)\mid \alpha '\rangle .

eftersom och är egentillstånd kan Heisenberg-operatorerna skrivas om i termer av Schrödinger-operatorerna $|\alpha \rangle$ $|\alpha '\rangle$ $H-\mu N$

{\mathcal {G}}(\mathbf {x} ,\tau |\mathbf {0} ,0)={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha , \alpha '}\mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha '}}\mathrm {e} ^{\tau (E_{\alpha '}-E_{\alpha })}\langle \alpha ' \mid \psi (\mathbf {x} )\mid \alpha \rangle \langle \alpha \mid \psi ^{\dolk }(\mathbf {0} )\mid \alpha '\rangle .

Efter Fouriertransformen får vi

{\mathcal {G}}(\mathbf {k} ,\omega _{n})={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\summa _{\alpha ,\alpha '} \mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha ')){\frac {1-\zeta \mathrm {e} ^{\beta (E_{\alpha '}-E_{\alpha )))) ) {-\mathrm {i} \omega _{n}+E_{\alpha }-E_{\alpha '))}\int _{\mathbf {k} '}d\mathbf {k} '\langle \ alpha \mid \psi (\mathbf {k} )\mid \alpha '\rangle \langle \alpha '\mid \psi ^{\dolk }(\mathbf {k} ')\mid \alpha \rangle .

Bevarande av momentum tillåter oss att skriva den sista termen i formen (upp till möjliga volymetriska koefficienter)

|\langle \alpha '\mid \psi ^{\dolk }(\mathbf {k} )\mid \alpha \rangle |^{2},

vilket bekräftar uttrycken för den grönas funktioner i den spektrala representationen.

Summeregeln kan bevisas genom att beakta det förväntade värdet av kommutatorn,

1={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha }\langle \alpha \mid \mathrm {e} ^{-\beta (H-\mu N)} [\psi _{\mathbf {k} },\psi _{\mathbf {k} }^{\dolk }]_{-\zeta }\mid \alpha \rangle ,

och sedan ersätta hela uppsättningen egentillstånd i båda kommutatormedlemmarna:

1={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}\mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha }}\left(\ langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }\mid \alpha '\rangle \langle \alpha '\mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dolk }\mid \alpha \rangle -\zeta \langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dolk }\mid \alpha '\rangle \langle \alpha '\mid \psi _{\mathbf {k} }\mid \alpha \rangle \right).

Att ersätta etiketter i första terminen ger

1={\frac {1}{\mathcal {Z}}}\sum _{\alpha ,\alpha '}\left(\mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha '}} -\zeta \mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha }}\right)|\langle \alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dolk }\mid \alpha '\ intervall |^{2}~,

vilket är resultatet av integrationen av ρ .

Icke-interaktionsfall

För icke-interagerande partiklar, är ett egentillstånd (stor kanonisk ensemble) med energi , där är en-partikeldispersionsrelationen mätt med avseende på den kemiska potentialen. Alltså spektraltätheten $\psi _{\mathbf {k} }^{\dolk }\mid \alpha '\rangle$ ${\displaystyle E_{\alpha '}+\xi _{\mathbf {k} ))$ $\xi _{\mathbf {k} }=\epsilon _{\mathbf {k} }-\mu$

\rho _{0}(\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z))}\,2\pi \delta (\xi _{\mathbf {k } }-\omega )\sum _{\alpha '}\langle \alpha '\mid \psi _{\mathbf {k} }\psi _{\mathbf {k} }^{\dolk }\mid \alpha '\rangle (1-\zeta \mathrm {e} ^{-\beta \xi _{\mathbf {k} }})\mathrm {e} ^{-\beta E_{\alpha '}}.

Från kommuteringsrelationer

\langle \alpha '\mid \psi _{\mathbf {k} }\psi _{\mathbf {k} }^{\dolk }\mid \alpha '\rangle =\langle \alpha '\mid (1+\zeta \psi _{\mathbf {k} }^{\dolk }\psi _{\mathbf {k} })\mid \alpha '\rangle ,

med möjliga volymfaktorer. Summan, som inkluderar det termiska medelvärdet för partikelnummeroperatören, är då lika med , vilket resulterar i $[1+\zeta n(\xi _{\mathbf {k} })]{\mathcal {Z))$

\rho _{0}(\mathbf {k} ,\omega )=2\pi \delta (\xi _{\mathbf {k} }-\omega ).

Alltså propagatorn från den tänkta tiden

{\mathcal {G}}_{0}(\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{-\mathrm {i} \omega _{n}+\xi _{\ mathbf {k} }}}

och den retarderade propagatorn

G_{0}^{\mathrm {R} }(\mathbf {k} ,\omega )={\frac {1}{-(\omega +\mathrm {i} \eta )+\xi _ {\mathbf {k} }}}.

Nolltemperaturgräns

Som β → ∞ tar spektraldensiteten formen

\rho (\mathbf {k} ,\omega )=2\pi \sum _{\alpha }\left[\delta (E_{\alpha }-E_{0}-\omega )|\langle \ alpha \mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dolk }\mid 0\rangle |^{2}-\zeta \delta (E_{0}-E_{\alpha}-\omega )|\ langle 0\mid \psi _{\mathbf {k} }^{\dolk }\mid \alpha \rangle |^{2}\right]

där α = 0 motsvarar grundtillståndet. Här bidrar bara den första (andra) termen när ω är positiv (negativ).

Allmänt fall

Grundläggande definitioner

För det allmänna fallet används "fältoperatorer" som ovan, eller skapande och förintelseoperatorer associerade med andra enpartikeltillstånd, möjligen egentillstånd av (icke-interagerande) kinetisk energi. Används

\psi (\mathbf {x} ,\tau )=\varphi _{\alpha }(\mathbf {x} )\psi _{\alpha }(\tau ),

var är en-partikeltillståndsförintelseoperatorn , och är vågfunktionen för detta tillstånd i koordinatrepresentationen. Detta ger $\psi _{\alpha }$ $\alfa$ $\varphi _{\alpha }(\mathbf {x} )$

{\mathcal {G}}_{\alpha _{1}\ldots \alpha _{n}|\beta _{1}\ldots \beta _{n}}^{(n)}(\ tau _{1}\ldots \tau _{n}|\tau _{1}'\ldots \tau _{n}')=\langle T\psi _{\alpha _{1))(\tau _ {1})\ldots \psi _{\alpha _{n}}(\tau _{n}){\bar {\psi }}_{\beta _{n}}(\tau _{n}' )\ldots {\bar {\psi }}_{\beta _{1}}(\tau _{1}')\rangle

med samma uttryck för . ${\displaystyle G^{(n)))$

Tvåpunktsfunktioner

Tvåpunktsgrönens funktioner beror bara på skillnaden i deras tidsargument, så att

{\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau \mid \tau ')={\frac {1}{\beta }}\summa _{\omega _{n}}{ \mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\omega _{n})\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega _{n}(\tau -\tau ') }

och

G_{\alpha \beta }(t\mid t')=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} \omega }{2\pi }}\ ,G_{\alpha \beta }(\omega )\,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega (tt')}.

Det går att definiera eftersläpande och ledande gröna funktioner på ett självklart sätt; de är relaterade till tidsbeställning på samma sätt som ovan.

Samma periodicitetsegenskaper som beskrivits ovan gäller för . Specifikt, ${\mathcal {G}}_{\alpha \beta }$

{\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau \mid \tau ')={\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau -\tau ')

och

{\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau )={\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\tau +\beta ),

för . $\tau <0$

Spektral representation

I detta fall,

\rho _{\alpha \beta }(\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z))}\sum _{m,n}2\pi \delta (E_{n}- E_{m}-\omega )\;\langle m\mid \psi _{\alpha }\mid n\rangle \langle n\mid \psi _{\beta }^{\dolk }\mid m\rangle \ vänster(\mathrm {e} ^{-\beta E_{m}}-\zeta \mathrm {e} ^{-\beta E_{n}}\right),

var och är många partikeltillstånd. $m$ $n$

Uttrycken för den grönas funktioner är modifierade på ett uppenbart sätt:

{\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\omega _{n})=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} \omega '}{2\pi }}{\frac {\rho _{\alpha \beta }(\omega ')}{-\mathrm {i} \omega _{n}+\omega '}}

och

G_{\alpha \beta }^{\mathrm {R} }(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} \omega '}{ 2\pi }}{\frac {\rho _{\alpha \beta }(\omega ')}{-(\omega +\mathrm {i} \eta )+\omega '}}.

Deras analytiska egenskaper är identiska. Beviset utförs på exakt samma sätt, förutom att dessa två matriselement inte längre är komplexa konjugat.

Icke-interagerande skiftläge

Om de speciella enpartikeltillstånden som väljs är "enpartikelenergiegentillstånd", dvs

[H-\mu N,\psi _{\alpha }^{\dolk }]=\xi _{\alpha }\psi _{\alpha }^{\dolk },

då är for ett egentillstånd: $|n\rangle$

(H-\mu N)\mid n\rangle =E_{n}\mid n\rangle ,

så är det : $\psi _{\alpha }\mid n\rangle$

(H-\mu N)\psi _{\alpha }\mid n\rangle =(E_{n}-\xi _{\alpha })\psi _{\alpha }\mid n\rangle ,

och liknande för : $\psi _{\alpha }^{\dolk }\mid n\rangle$

(H-\mu N)\psi _{\alpha }^{\dolk }\mid n\rangle =(E_{n}+\xi _{\alpha })\psi _{\alpha }^ {\dolk }\mid n\rangle .

Alltså matriselementet

\langle m\mid \psi _{\alpha }\mid n\rangle \langle n\mid \psi _{\beta }^{\dolk }\mid m\rangle =\delta _{\xi _ {\alpha },\xi _{\beta }}\delta _{E_{n},E_{m}+\xi _{\alpha }}\langle m\mid \psi _{\alpha }\mid n \rangle \langle n\mid \psi _{\beta }^{\dolk }\mid m\rangle .

moeno skriva om i formen

\rho _{\alpha \beta }(\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z))}\sum _{m,n}2\pi \delta (\xi _{\ alpha }-\omega )\delta _{\xi _{\alpha },\xi _{\beta ))\langle m\mid \psi _{\alpha }\mid n\rangle \langle n\mid \psi _{\beta }^{\dolk }\mid m\rangle \mathrm {e} ^{-\beta E_{m}}\left(1-\zeta \mathrm {e} ^{-\beta \xi _ {\alpha }}\right),

Följaktligen

\rho _{\alpha \beta }(\omega )={\frac {1}{\mathcal {Z))}\sum _{m}2\pi \delta (\xi _{\alpha } -\omega )\delta _{\xi _{\alpha },\xi _{\beta }}\langle m\mid \psi _{\alpha }\psi _{\beta }^{\dolk }\mathrm {e} ^{-\beta (H-\mu N)}\mid m\rangle \left(1-\zeta \mathrm {e} ^{-\beta \xi _{\alpha }}\right),

använder sig av

\langle m\mid \psi _{\alpha }\psi _{\beta }^{\dolk }\mid m\rangle =\delta _{\alpha ,\beta }\langle m\mid \zeta \psi _{\alpha }^{\dolk }\psi _{\alpha }+1\mid m\rangle

och det faktum att det termiska medelvärdet för partikelantaloperatören ger en Bose-Einstein- eller Fermi-Dirac-distributionsfunktion.

Slutligen förenklas spektraldensiteten till uttrycket

\rho _{\alpha \beta }=2\pi \delta (\xi _{\alpha }-\omega )\delta _{\alpha \beta },

så Matsubara Greens funktion

{\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha \beta }(\omega _{n})={\frac {\delta _{\alpha \beta }}{-\mathrm {i} \omega _ {n}+\xi _{\beta ))))

och den retarderade grönas funktion är

G_{\alpha \beta }(\omega )={\frac {\delta _{\alpha \beta }}{-(\omega +\mathrm {i} \eta )+\xi _{\beta }}}.

Den icke-interagerande gröna funktionen är diagonal, men detta är inte fallet i det interagerande fallet.

Rekommendationer

Böcker

Bonch-Bruevich VL, Tyablikov SV (1962): Greens funktionsmetod i statistisk mekanik. North Holland Publishing Co.
Abrikosov A. A., Gorkov L. P., Dzyaloshinskii I. E. (1963): Methods of Quantum Field Theory in Statistical Physics Englewood Rocks: Prentice-Hall.
Naegele, J.W. och Orland, H. (1988): Quantum systems of many particles, Addison-Wesley.
Zubarev D. N. , Morozov V., Ropke G. (1996): Statistisk mekanik för icke-jämviktsprocesser: grundläggande begrepp, kinetisk teori (vol. 1). John Wiley & Sons. ISBN 3-05-501708-0 .
Mattuck, Richard D. (1992), A Guide to Feynman Diagrams in the Many-Body Problem , Dover Publications, ISBN 0-486-67047-3 .

Artiklar

Bogolyubov N. N. , Tyablikov S. V. Lagra och avancera Greens funktioner i statistisk fysik, Dokl. 4 , sid 589 (1959).
D. N. Zubarev , Two-time Green's functions in statistical physics , Uspekhi Mat. Nauk 3: 3 (1960), 320-345.

Länkar

Linjära svarsfunktioner i Eva Pavarini, Eric Koch, Dieter Vollhardt och Alexander Lichtenstein (red.): DMFT at 25: Infinite Dimensions, Verlag des Forschungszentrum Jülich, 2014. ISBN 978-3-89336-953-9