Icke-predikativitet (matematik)

Icke-predikativiteten hos en definition i matematik och logik betyder löst sagt att en definitions meningsfullhet innebär närvaron av ett definierat objekt [1] . Exempel: ett objekt definieras som ett sådant element i någon uppsättning som uppfyller ett visst förhållande mellan det och alla element i denna uppsättning (inklusive sig själv ) [2] . I vissa fall kan en icke-predikativ definition leda till missförstånd eller till och med motsägelser. Det motsatta begreppet i betydelse är predikativitet .

För definitioner på formellt språk ger Encyclopedia of Mathematics en mer rigorös version:

En egenskap (närmare bestämt ett språkuttryck som uttrycker denna egenskap) kallas icke-predikativ om den innehåller en bunden variabel, inom vilken objektet som definieras faller. En egenskap sägs vara predikativ om den inte innehåller sådana associerade variabler.

Det finns ingen allmänt accepterad tydlig definition av icke-predikativitet, olika källor ger liknande men olika definitioner. Till exempel inträffar följande: definitionen av ett objekt X är icke-predikativ om den antingen refererar till X själv eller (oftast) till den mängd som innehåller X; samtidigt verkar den vara komplett, även om denna definition kan påverka dess sammansättning [3] [4] .

Exempel

Det mest kända exemplet på en icke-predikativ konstruktion är Russells paradox , där mängden av alla mängder som inte innehåller sig själva definieras. Paradoxen ligger i det faktum att den sålunda definierade mängden är internt inkonsekvent - den innehåller samtidigt sig själv och innehåller inte sig själv. En tydlig historisk version av denna paradox är " frisörens paradox ": definitionen "en bybor som rakar de bybor som inte rakar sig" är icke-predikativ, eftersom den definierar en bybor som använder sin relation med alla bybor (och därför , och med honom) [2] . Icke-predikativitet finns också i andra paradoxer inom mängdläran [3] .

Allmaktens paradox omnämns ofta som icke-predikativa formuleringar : "Kan Gud skapa en sten som han själv inte kan lyfta?" Här används begreppet "allmakt", vars definition är internt motsägelsefull [5] . På liknande sätt är " lögnarparadoxen " ordnad , där uttalandet förnekar sig självt.

Inom matematiken finns det dock ett stort antal vanliga icke-predikativa definitioner som inte skapar problem och som inte har en enkel predikativ version. I klassisk analys, till exempel, är detta definitionen av det minst infimum av en nummeruppsättning [6] :

Det exakta (största) infimumet för en delmängd av en beställd uppsättning är det största elementet som inte överskrider alla element i uppsättningen

Ett annat exempel på en allmänt accepterad och ganska säker icke-predikativ definition i analys är bestämningen av maxvärdet för en funktion på ett givet intervall, eftersom värdet som definieras beror på alla andra, inklusive sig själv [7] .

Icke-predikativa konstruktioner använder beviset för Gödels berömda ofullständighetsteorem : den "oavgörliga formeln" som konstrueras som ett resultat hävdar att det inte är bevisbart [8] .

Slutligen, inom logik och datavetenskap, finns det rekursiva definitioner och rekursiva algoritmer , där icke-predikativitet initialt tillhandahålls och är en integrerad del av dem.

Historik

Termerna "predikativ" och "icke-predikativ" introducerades i en artikel av Russell (1907) [9] , även om betydelsen av termen då var något annorlunda. Henri Poincaré (1905-1906, 1908) fördömde icke-predikativa definitioner som en farlig ond cirkel ; han ansåg dem vara huvudkällan till paradoxer i mängdteorin. Russell stödde denna bedömning och i sin monografi Principia Mathematica tog han steg för att undvika icke-predikativitet ( typteorin och "reducerbarhetens axiom") [10] [11] . Hermann Weyl , i sin bok "Das Kontinuum", förklarade en filosofisk ståndpunkt som ofta kallas "predikativism" [12] .

Ernst Zermelo 1908 protesterade mot ett alltför radikalt tillvägagångssätt och gav två exempel på ganska ofarliga icke-predikativa definitioner som ofta används i analys. Hermann Weyl försökte hitta en prediktiv analog med den minsta övre gränsen, men lyckades inte. Sedan dess har ingen kunnat bygga en fullständig analys på strikt predikativ basis [1] [3] .

Anteckningar

  1. ↑ 1 2 Mathematical Encyclopedia, 1982 , sid. 981.
  2. ↑ 1 2 Icke-predikativ definition Arkivexemplar daterad 3 februari 2018 på Wayback Machine // Great Russian Encyclopedia.
  3. ↑ 1 2 3 Kleene S. K. Introduktion till metamathematics. - M . : Förlag för utländsk litteratur, 1957. - S. 44-46. — 526 sid.
  4. ↑ Philosophical Encyclopedic Dictionary, 1983 , sid. 433.
  5. ↑ Kline M., 1984 , sid. 241.
  6. ↑ Kline M., 1984 , sid. 241-242.
  7. ↑ Kline M., 1984 , sid. 242.
  8. ↑ Uspensky V. A. Gödels ofullständighetsteorem. — M .: Nauka, 1982. — 110 sid. - ( Populära föreläsningar om matematik ).
  9. ↑ Russell, B. (1907), Om några svårigheter i teorin om transfinita tal och ordningstyper. Proc. London Math. Soc., s2-4 (1): 29-53, doi:10.1112/plms/s2-4.1.29.
  10. ↑ Feferman, Solomon . Predikativitet Arkiverad 11 juni 2016 på Wayback Machine (2002)
  11. ↑ Willard V. Quines kommentar före Bertrand Russells matematiska logik från 1908 baserad på teorin om typer
  12. ↑ Horsten, Leon. Mathematics Philosophy  (engelska) . — Stanford Encyclopedia of Philosophy. Hämtad 15 november 2017. Arkiverad från originalet 11 mars 2018.

Litteratur