Kontinuerlig funktion

Kontinuerlig funktion - en funktion som ändras utan momentana "hopp" (kallade breaks ), det vill säga en vars små förändringar i argumentet leder till små förändringar i funktionens värde. Grafen för en kontinuerlig funktion är en kontinuerlig linje .

En kontinuerlig funktion är generellt sett en synonym för begreppet kontinuerlig mappning , men oftast används denna term i en snävare mening - för mappningar mellan talutrymmen, till exempel på den verkliga linjen . Den här artikeln ägnas åt kontinuerliga funktioner som definieras på en delmängd av reella tal och tar reella värden. För en variant av detta koncept för funktioner av en komplex variabel, se artikeln Komplex analys .

Definition

Låt och . Det finns flera likvärdiga definitioner för kontinuiteten för en funktion vid en punkt . $D\subset \mathbb {R}$ $f:D\to \mathbb {R}$ $x_{0}\i D$

Definition i termer av en gräns : en funktion är kontinuerlig vid en gränspunkt för en mängd om den har en gräns vid en punkt , och denna gräns sammanfaller med värdet på funktionen : $f$ $x_{0}$ $D$ $f$ $x_{0}$ $f(x_{0})$ $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})$
Definition med ε-δ-formalismen : En funktion är kontinuerlig vid en punkt om det för någon finns så att för någon , $f$ $x_{0}\i D$ $\varepsilon >0$ $\delta>0$ $x\i D$ $|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon .$

Kommentar: Jämfört med definitionen av gränsen för en funktion enligt Cauchy finns det inget krav i definitionen av kontinuitet som tvingar alla värden i argumentet att uppfylla villkoret , det vill säga att vara annorlunda än a.

x

0<\left\vert xa\right\vert

Definition med o-symboler : en funktion är kontinuerlig vid en punkt if $f$ $x_{0}$ $f(x_{0}+\delta )=f(x_{0})+o(1)$ , kl . $\delta \to 0$
Definition genom fluktuationer : en funktion är kontinuerlig vid en punkt om dess fluktuation vid en given punkt är noll.

En funktion är kontinuerlig på en uppsättning om den är kontinuerlig vid varje punkt i den givna uppsättningen. $f$ $E$

I det här fallet säger de att klassen fungerar och skriver: eller, mer detaljerat, . $f$ $C^{0}$ $f\in C^{0}(E)$ $f\in C^{0}(E,\mathbb {R} )$

Brytpunkter

Om villkoret som ingår i definitionen av en funktions kontinuitet kränks någon gång, säger de att den aktuella funktionen lider av en diskontinuitet vid denna tidpunkt . Med andra ord, om är värdet på funktionen vid punkten , då sammanfaller inte gränsen för en sådan funktion (om den finns) med . I grannskapsspråket erhålls diskontinuitetsvillkoret för en funktion vid en punkt genom att negera kontinuitetsvillkoret för den funktion som är under övervägande vid en given punkt, nämligen: det finns en sådan grannskap av punkten i funktionsintervallet att oavsett hur nära kommer vi till punkten för funktionsdomänen , det kommer alltid att finnas punkter vars bilder kommer att vara utanför punktens närhet . $A$ $f$ $a$ $A$ $f$ $a$ $A$ $f$ $a$ $f$ $A$

Klassificering av diskontinuitetspunkter i R¹

Klassificeringen av diskontinuiteter av funktioner beror på hur mängderna X och Y är ordnade . Här är en klassificering för det enklaste fallet - . Singular punkter (punkter där funktionen inte är definierad) klassificeras på samma sätt . Det är värt att notera att klassificeringen i skiljer sig från författare till författare. $f:X\till Y$ $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $\mathbb {R}$

Om funktionen har en diskontinuitet vid en given punkt (det vill säga gränsen för funktionen vid en given punkt saknas eller inte matchar värdet på funktionen vid en given punkt), så finns det för numeriska funktioner två möjliga alternativ kopplade med förekomsten av ensidiga gränser för numeriska funktioner :

om båda ensidiga gränserna existerar och är ändliga, så kallas en sådan punkt en diskontinuitetspunkt av det första slaget . Diskontinuitetspunkter av det första slaget inkluderar borttagbara diskontinuiteter och hopp .
om åtminstone en av de ensidiga gränserna inte existerar eller inte är ett ändligt värde, kallas en sådan punkt för en diskontinuitetspunkt av det andra slaget . Diskontinuitetspunkter av det andra slaget inkluderar poler och väsentliga diskontinuitetspunkter .

Reparationsbar lucka
Paus typ "hoppa"
Singular spets av "pol"-typ. Om vi definierar om funktionen för x=2 får vi en "pol" diskontinuitet.
Betydande brytpunkt

Flyttbar brytpunkt

Om gränsen för funktionen finns och är finit , men funktionen inte är definierad vid denna tidpunkt, eller gränsen inte matchar värdet för funktionen vid denna tidpunkt:

\lim \limits _{x\to a}f(x)\neq f(a)

då kallas punkten en punkt med disponibel diskontinuitet för funktionen (i komplex analys är det en disponibel singularpunkt ). $a$ $f$

Om vi "korrigerar" funktionen vid punkten för en borttagbar diskontinuitet och sätter , då får vi en funktion som är kontinuerlig vid denna punkt. En sådan operation på en funktion kallas att utöka definitionen av en funktion till kontinuerlig eller utöka definitionen av en funktion med kontinuitet , vilket motiverar namnet på punkten som en punkt för en borttagbar diskontinuitet. $f$ $f(a)=\lim \limits _{x\to a}f(x)$

Brytpunkt "hoppa"

Ett diskontinuitets-"hopp" inträffar om

\lim \limits _{x\to a-0}f(x)\neq \lim \limits _{x\to a+0}f(x)

. Brytpunkt "pol"

En "pol"-diskontinuitet uppstår om en av de ensidiga gränserna är oändlig.

\lim \limits _{x\to a-0}f(x)=\pm \infty

eller .

\lim \limits _{x\to a+0}f(x)=\pm \infty

Viktig brytpunkt

Vid punkten av en betydande diskontinuitet saknas åtminstone en av de ensidiga gränserna helt.

Klassificering av isolerade singulära punkter i R n , n>1

För funktioner och det finns inget behov av att arbeta med brytpunkter, men ofta måste man arbeta med singulära punkter (punkter där funktionen inte är definierad). Klassificeringen av isolerade singulära punkter (det vill säga de där det inte finns några andra singulära punkter i något område) är liknande. $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$

Om , då är det en borttagbar singular punkt (liknande den verkliga argumentfunktionen). $\exists \lim \limits _{x\to a}f(x)$
Stången definieras som . I flerdimensionella utrymmen, om modulen för ett tal växer, anses det att oavsett hur det växer. $\lim \limits _{x\to a}f(x)=\infty$ $f(x)\till \infty$
Om gränsen inte existerar alls, är det en väsentlig singular punkt .

Begreppet "hoppa" saknas. Vad som anses vara ett hopp i utrymmen med högre dimensioner är en väsentlig singular punkt. $\mathbb {R}$

Egenskaper

Lokal

En funktion som är kontinuerlig i en punkt är avgränsad i någon omgivning till denna punkt. $a$
Om funktionen är kontinuerlig vid punkten och (eller ), då (eller ) för alla tillräckligt nära . $f$ $a$ $f(a)>0$ $f(a)<0$ $f(x)>0$ $f(x)<0$ $x$ $a$
Om funktionerna och är kontinuerliga vid punkten , så är funktionerna och också kontinuerliga vid punkten . $f$ $g$ $a$ $f+g$ $f\cdot g$ $a$
Om funktionerna och är kontinuerliga vid punkten och , så är funktionen också kontinuerlig vid punkten . $f$ $g$ $a$ $g(a)\neq 0$ $f/g$ $a$
Om en funktion är kontinuerlig vid en punkt och en funktion är kontinuerlig vid en punkt , så är deras sammansättning kontinuerlig i en punkt . $f$ $a$ $g$ $b=f(a)$ $h=g\circf$ $a$

Global

Uniform kontinuitetssats : En funktion som är kontinuerlig på ett segment (eller någon annan kompakt mängd ) är likformigt kontinuerlig på det.
Weierstrass sats om en funktion på en kompakt : en funktion som är kontinuerlig på ett segment (eller någon annan kompakt mängd ) är avgränsad och når sina max- och minivärden på den.
Området för en funktion som är kontinuerligt på intervallet är det intervall där minimum och maximum tas längs intervallet . $f$ $[a,b]$ $[\min f,\ \max f],$ $[a,b]$
Om funktionen är kontinuerlig på intervallet och då finns det en punkt där . $f$ $[a,b]$ $f(a)\cdot f(b)<0,$ $\xi \in(a,b),$ $f(\xi )=0$
Mellanvärdessats : om funktionen är kontinuerlig på intervallet och talet uppfyller olikheten eller olikheten, så finns det en punkt där . $f$ $[a,b]$ $\varphi$ $f(a)<\varphi <f(b)$ $f(a)>\varphi >f(b),$ $\xi \in(a,b),$ $f(\xi)=\varphi$
En kontinuerlig mappning från ett segment till den reella linjen är injektiv om och endast om den givna funktionen på segmentet är strikt monoton .
En monoton funktion på ett segment är kontinuerlig om och endast om dess intervall är ett segment med ändpunkter och . $[a,b]$ $fa)$ $f(b)$
Om funktionerna och är kontinuerliga på segmentet , och och då finns det en punkt där Av detta, i synnerhet, följer att varje kontinuerlig avbildning av segmentet i sig själv har minst en fast punkt . $f$ $g$ $[a,b]$ $f(a)<g(a)$ $f(b)>g(b),$ $\xi \in(a,b),$ $f(\xi )=g(\xi ).$

Exempel

Elementära funktioner

Godtyckliga polynom , rationella funktioner , exponentialfunktioner , logaritmer , trigonometriska funktioner (direkta och inversa) är kontinuerliga överallt i sin definitionsdomän.

Avtagbar break-funktion

Funktion ges av formel $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,$

f(x)={\begin{cases}{\frac {\sin x}{x)),&x\neq 0\\0,&x=0\end{cases))

är kontinuerlig vid vilken punkt som helst Punkten är en punkt av diskontinuitet, eftersom gränsen för funktionen $x\neq 0.$ $x=0$

\lim \limits _{x\to 0}f(x)=\lim \limits _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1\neq f(0).

Teckenfunktion

Fungera

f(x)=\operatörsnamn {sgn} x={\begin{cases}-1,&x<0\\0,&x=0\\1,&x>0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R}

kallas teckenfunktionen .

Denna funktion är kontinuerlig vid varje punkt . $x\neq 0$

Punkten är en diskontinuitetspunkt av det första slaget , och $x=0$

\lim \limits _{x\to 0-}f(x)=-1\neq 1=\lim \limits _{x\to 0+}f(x)

medan funktionen försvinner vid själva punkten.

Heaviside funktion

Heaviside-funktionen definieras som

f(x)={\begin{cases}1,&x\geqslant 0\\0,&x<0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R}

är kontinuerlig överallt, förutom den punkt där funktionen lider av en diskontinuitet av det första slaget. Det finns dock en högergräns vid punkten, vilket är samma som värdet på funktionen vid den givna punkten. Således är denna funktion ett exempel på en högerkontinuerlig funktion över hela definitionsdomänen . $x=0$ $x=0$

På liknande sätt definieras stegfunktionen som

f(x)={\begin{cases}1,&x>0\\0,&x\leqslant 0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R}

är ett exempel på en vänsterkontinuerlig funktion över hela domänen av .

Dirichlet-funktion

Fungera

f(x)={\begin{cases}1,&x\in \mathbb {Q} \\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases))

kallas Dirichlet-funktionen . I huvudsak är Dirichlet-funktionen den karakteristiska funktionen för mängden rationella tal . Denna funktion är diskontinuerlig vid varje punkt , eftersom det i en godtyckligt liten grannskap av någon punkt finns både rationella och irrationella tal.

Riemann funktion

Fungera

f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{n)),&x={\frac {m}{n))\in \mathbb {Q} ,\ {\text{ gcd}}(m,n)=1\\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}

kallas Riemann-funktionen eller "Thomas-funktionen".

Denna funktion är kontinuerlig på uppsättningen av irrationella tal ( ), eftersom gränsen för funktionen vid varje irrationell punkt är lika med noll (om sekvensen är , då med nödvändighet ). På alla rationella punkter är den diskontinuerlig. $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ $x_{k}=m_{k}/n_{k}\to x\notin \mathbb {Q}$ $n_{k}\to \infty$

Variationer och generaliseringar

Enhetlig kontinuitet

En funktion kallas enhetligt kontinuerlig på om för någon det finns så att för två punkter och så att , . $f$ $E$ $\varepsilon >0$ $\delta>0$ $x_{1}$ $x_{2}$ $|x_{1}-x_{2}|<\delta$ $|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon$

Varje funktion som är likformigt kontinuerlig på en uppsättning är uppenbarligen också kontinuerlig på den. Det omvända är i allmänhet inte sant. Men om definitionsdomänen är kompakt, visar sig den kontinuerliga funktionen också vara enhetligt kontinuerlig på det givna intervallet. $E$

Semikontinuitet

Det finns två egenskaper som är symmetriska till varandra - nedre semikontinuitet och övre semikontinuitet :

en funktion sägs vara lägre halvkontinuerlig vid en punkt om det för någon finns ett område så att för någon ; $f$ $a$ $\varepsilon >0$ $U_{E}(a)$ $f(x)>f(a)-\varepsilon$ $x\in U_{E}(a)$
en funktion sägs vara övre halvkontinuerlig vid en punkt om det för någon finns en grannskap sådan att för någon . $f$ $a$ $\varepsilon >0$ $U_{E}(a)$ $f(x)<f(a)+\varepsilon$ $x\in U_{E}(a)$

Det finns följande samband mellan kontinuitet och semi-kontinuitet:

om vi tar en funktion som är kontinuerlig i punkten och minskar värdet (med ett ändligt värde), då får vi en funktion som är lägre halvkontinuerlig i punkten ; $f$ $a$ $fa)$ $a$
om vi tar en funktion som är kontinuerlig i punkten och ökar värdet (med ett ändligt belopp), så får vi en funktion som är övre halvkontinuerlig i punkten . $f$ $a$ $fa)$ $a$

I enlighet med detta kan vi erkänna oändliga värden för halvkontinuerliga funktioner:

om , då antar vi att en sådan funktion är lägre halvkontinuerlig vid punkten ; $f(a)=-\infty$ $a$
om , då antar vi att en sådan funktion är övre halvkontinuerlig vid punkten . $f(a)=+\infty$ $a$

Enkelriktad kontinuitet

En funktion kallas kontinuerlig till vänster (höger) vid en punkt i dess definitionsdomän om följande likhet gäller för den ensidiga gränsen : $f$ $x_{0}$ $f(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}-}f(x)$ $(f(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}+}f(x)).$

Kontinuitet nästan överallt

På den verkliga linjen anses vanligtvis det enkla linjära Lebesgue-måttet . Om en funktion är sådan att den är kontinuerlig överallt på utom, kanske, en uppsättning mått noll, så sägs en sådan funktion vara kontinuerlig nästan överallt . $f$ $E$

I det fall då uppsättningen av diskontinuitetspunkter för en funktion som mest kan räknas, får vi en klass av Riemann-integrerbara funktioner (se Riemann-integrerbarhetskriteriet för en funktion).

Anteckningar

Litteratur

Zorich V. A. Matematisk analys, del I. - M. : Fizmatlit, 1984. - 544 sid.