Den kinetiska energiparadoxen

Den kinetiska energins paradox är ett tankeexperiment inom ramen för klassisk mekanik , som påstås indikera ett brott mot Galileos relativitetsprincip . När en kropps hastighet ändras, är ökningen av dess kinetiska energi i en referensram inte lika med ökningen i en annan referensram. Detta påstås innebära förekomsten av referenssystem, där lagen om bevarande av energi kränks, och som ett resultat av detta påstås Galileos relativitetsprincip kränkas.

Intern motor

Överväg en leksaksbil med en drivfjäder som kan lagra potentiell energi . Vi kommer att försumma energiförlusterna på grund av friktion . Låt denna energireserv kunna accelerera leksaken till hastighet . Låt oss gå vidare till en annan tröghetsreferensram , som rör sig relativt jorden mot bilen med en hastighet av . Ur detta referenssystems synvinkel är leksakens hastighet före acceleration lika och den kinetiska energin är lika med . Hastigheten på leksaken efter acceleration är lika med den kinetiska energin . Därmed har bilens rörelseenergi ökat med , vilket överstiger energireserven på våren [1] . $W$ $v$ $v$ $v$ $W$ $2v$ $4W$ $3W$ $W$

Förklaring av paradoxen

Paradoxen förklaras av det faktum att ovanstående resonemang inte tar hänsyn till förändringen i jordens rörelsemängd och kinetiska energi under leksakens acceleration. Om vi tar hänsyn till förändringen i jordens rörelsemängd och kinetiska energi, så förklaras paradoxen. Låt oss försumma jordens rotationsrörelse för tillfället.

Låt oss gå till en referensram där jorden och leksaken till en början är orörliga. Efter leksakens acceleration, i enlighet med lagen om bevarande av momentum, kan du skriva ekvationen , där är leksakens massa, är leksakens hastighet, är jordens massa, är hastigheten på leksaken. Jorden. I enlighet med lagen om energibevarande kan ekvationen skrivas . Uttrycka jordens hastighet från ekvationen och ersätta in i ekvationen , får vi [1] . $mv+MV=0$ $m$ $v$ $M$ $V$ $W={\frac {mv^{2}}{2}}+{\frac {MV^{2}}{2}}$ $V$ $mv+MV=0$ $W={\frac {mv^{2}}{2}}+{\frac {MV^{2}}{2}}$ $W={\frac {mv^{2}}{2}}\left(1+{\frac {m}{M}}\right)$

Låt oss gå vidare till referensramen, där jorden och leksaken till en början rör sig med en hastighet av . Efter leksakens acceleration, i enlighet med lagen om bevarande av momentum, kan du skriva ekvationen , där är jordens hastighet efter leksakens acceleration. I enlighet med lagen om energibevarande kan en ekvation skrivas för att ändra den kinetiska energin . Vi uttrycker jordens hastighet från ekvationen och ersätter den med föregående ekvation. Vi får . Efter enkla transformationer får vi . Det vill säga, i detta fall är förändringen i hela systemets kinetiska energi lika med fjäderns potentiella energi [2] . $v$ $m(2v)+MV_{1}=(m+M)v$ $V_{1}$ $\delta E={\frac {m(2v)^{2}}{2}}+{\frac {MV_{1}^{2}}{2}}-{\frac {(m+ M )v^{2}}{2}}$ $V_{1}$ $m(2v)+MV_{1}=(m+M)v$ $\delta E=3{\frac {mv^{2}}{2}}+{\frac {M}{2}}\left[(1-{\frac {m}{M}}) ^{2}v^{2}-v^{2}\höger]$ $\delta E={\frac {mv^{2}}{2}}\left(1+{\frac {m}{M}}\right)=W$ $W$

Förändringen i leksakens kinetiska energi i den nya referensramen är tre gånger större än i referensramen som är associerad med jorden på grund av det faktum att den inträffar inte bara på grund av vårens potentiella energi, utan också på grund av till det faktum att leksakens hjul i den nya referensramen bromsar jorden [2] .

Låt oss nu ta hänsyn till jordens rotation som orsakas av leksaken. Den kinetiska energin för jordens rotation kommer också att visas på höger sida av formeln . Den kommer att vara av samma ordning som den kinetiska energin för jordens translationella rörelse , därför, i en referensram där jorden var orörlig, kan den, liksom energin i jordens translationella rörelse, försummas och det kan antas att alla fjäderns potentiella energi omvandlas till leksakens kinetiska energi. I referensramen, där leksakens och jordens hastigheter är lika i början , kommer den kinetiska energin för jordens rotation att vara densamma som i den första referensramen, eftersom förändringen i jordens vinkelhastighet är densamma i alla tröghetsreferensramar. Därför kan rotationsenergin försummas i den andra referensramen [3] . $W={\frac {mv^{2}}{2}}+{\frac {MV^{2}}{2}}$ $v$

Extern kraft

Betrakta en kropp med massa som rör sig i hastighet . Låt en konstant kraft verka på denna kropp under en tid , riktad längs samma räta linje som hastigheten . Det ändrar kroppens hastighet från ett värde till ett värde på . Som ett resultat av verkan av denna kraft kommer förändringen i kroppens kinetiska energi att vara lika med . $m$ $v_{1}$ $t$ $F$ $v_{1}$ $v_{1}$ $v_{2}$ ${\frac {m}{2}}(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})$

Låt oss nu gå till en annan referensram och flytta i förhållande till den föregående referensramen enhetligt och rätlinjigt med en hastighet riktad längs samma räta linje som hastigheten . I denna referensram kommer förändringen i kinetisk energi att vara lika , det vill säga den kommer att vara mindre än i den första referensramen, vilket inte är förenligt med Galileos relativitetsprincip [4] . $v$ $v_{1}$ ${\frac {m}{2}}((v_{2}-v)^{2}-(v_{1}-v)^{2})={\frac {m}{2} }(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})-mv(v_{2}-v_{1})$

Förklaring av paradoxen

Relativitetsprincipen kräver att samma fysiska lagar iakttas i de två referensramarna som diskuteras. Således måste lagen om bevarande av energi uppfyllas , enligt vilken förändringen i kroppens energi måste vara lika med arbetet med yttre krafter. Därför, i det första systemet, måste förhållandet vara sant . Här är längden på den väg som kroppen färdats i det första systemet under den tid under vilken hastigheten ökade från till . Eftersom kroppen rör sig med acceleration , alltså . ${\frac {m}{2}}(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})=Fs$ $s$ $v_{1}$ $v_{2}$ ${\frac {F}{m))$ $s=v_{1}t+{\frac {F}{m}}{\frac {t^{2}}{2}}$

i det andra systemet . Här är längden på den väg som kroppen färdats i det andra systemet . Så, . Sedan dess . Alltså . ${\frac {m}{2}}(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})-mv(v_{2}-v_{1})=Fs_{1}$ $s_{1}$ $s_{1}=(v_{1}-v)t+{\frac {F}{m}}{\frac {t^{2}}{2}}$ $s-s_{1}=vt$ ${\frac {F}{m}}=a={\frac {(v_{2}-v_{1})}{t}}$ $t={\frac {m(v_{2}-v_{1})}{F)),s-s_{1}={\frac {mv(v_{2}-v_{1}) }{F}}$ $F(s-s_{1})=mv(v_{2}-v_{1})$

Arbetet av en yttre kraft i den första referensramen är lika mycket större än i den andra som förändringen i kinetisk energi i den första ramen är större än i den andra. Eftersom energiförändringen i det första systemet är lika med externa krafters arbete, gäller detta även för det andra systemet. Följaktligen kränks inte Galileos relativitetsprincip [4] .

Se även

Anteckningar

↑ 1 2 Butikov, 1989 , sid. 73.
↑ 1 2 Butikov, 1989 , sid. 74.
↑ Butikov, 1989 , sid. 75.
↑ 1 2 Shaskolskaya M. P. , Eltsin I. A. Samling av utvalda problem i fysik. - M., Nauka, 1986. - sid. 24, 111

Litteratur

E.I. Butikov , A.A. Bykov , A.S. Kondratiev . Fysik i exempel och problem. - M. : Nauka, 1989. - 464 sid. — ISBN 5-02-014057-0 .
Kasta en boll från en bil i rörelse // Mark Levi. Varför katter landar på fötterna. Princeton University Press, 2012. s. 74-76.