Fortsatt bråkdel

En fortsatt bråkdel (eller fortsatt bråkdel ) är ett ändligt eller oändligt matematiskt uttryck av formen

[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ]=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1 }{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\ldots )))))),

där är ett heltal , och alla andra är naturliga tal (positiva heltal) [1] . I det här fallet kallas talen för ofullständiga kvoter eller element i det fortsatta bråket [2] . $a_{0}$ $en$ $a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\dots$

Vilket reellt tal som helst kan representeras som en fortsatt bråkdel (ändlig eller oändlig). Ett tal representeras som ett ändligt fortsatt bråk om och endast om det är rationellt .

Det huvudsakliga (men inte alls det enda) syftet med fortsatta bråk är att de låter dig hitta bra approximationer av reella tal i form av vanliga bråk. Fortsatta bråk används ofta i talteori och beräkningsmatematik , och deras generaliseringar har visat sig vara extremt användbara i kalkyl och andra grenar av matematiken. De används också inom fysik, himlamekanik , teknik och andra tillämpade verksamhetsområden.

Fortsatt bråkexpansion

Vilket reellt tal som helst kan representeras av en (ändlig eller oändlig, periodisk eller icke-periodisk) fortsatt bråkdel , där $x$ $[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ]$

a_{0}=\lfloor x\rfloor ,\quad x_{0}=x-a_{0},

a_{1}=\left\lfloor {\frac {1}{x_{0}}}\right\rfloor ,\quad x_{1}={\frac {1}{x_{0}}} -a_{1},

\prickar

a_{n}=\left\lfloor {\frac {1}{x_{n-1}}}\right\rfloor ,\quad x_{n}={\frac {1}{x_{n- 1}}}-a_{n},

\prickar

där betecknar heltalsdelen av talet . $\lgolv x\rgolv$ $x$

För ett rationellt tal slutar denna expansion när den når noll för vissa . I det här fallet representeras det av en ändlig fortsatt bråkdel . En effektiv algoritm för att omvandla en vanlig bråkdel till en fortsatt bråkdel är Euklids algoritm . Den fortsatta bråkrepresentationen av ett rationellt tal är tvetydig: om algoritmen som ges här producerar en fortsatt bråkdel , så motsvarar den fortsatta bråkdelen samma tal. $x$ $x_{n}$ $n$ $x$ $x=[a_{0};a_{1},\ldots ,a_{n}]$ $[\dots ,a_{n}]$ $[\dots ,a_{n}-1,1]$

För det irrationella kommer alla kvantiteter att vara icke-noll och expansionsprocessen kan fortsätta på obestämd tid. I det här fallet representeras det av en oändlig fortsatt bråkdel . Om sekvensen består av en oändligt upprepad uppsättning av samma tal (period), så kallas den fortsatta bråkdelen periodisk. Ett tal representeras av en oändlig periodisk fortsatt bråkdel om och endast om det är en kvadratisk irrationalitet , det vill säga en irrationell rot av en andragradsekvation med heltalskoefficienter. $x$ $x_{n}$ $x$ $x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ]$ $[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ]$

Lämpliga bråk

Den n:te ("n:te") lämpliga bråkdelen för en fortsatt bråkdel kallas en finit fortsatt bråkdel , vars värde är något rationellt tal . Lämpliga bråk med jämna tal bildar en ökande sekvens, vars gräns är . På samma sätt bildar udda numrerade konvergenter en fallande sekvens, vars gräns också är lika med . Således är värdet av en fortsatt bråkdel alltid mellan värdena för angränsande konvergenter. $x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ]$ $[a_{0};a_{1},\ldots ,a_{n}]$ $p_{n}/q_{n}$ $x$ $x$

Euler härledde rekursiva formler för att beräkna täljare och nämnare för konvergenter:

p_{{-1}}=1,\quad p_{0}=a_{0},\quad p_{n}=a_{n}p_{{n-1}}+p_{{n-2}} ;

q_{{-1}}=0,\quad q_{0}=1,\quad q_{n}=a_{n}q_{{n-1}}+q_{{n-2}}.

Således är kvantiteterna och polynom i , kallade kontinuanter : $p_n$ $q_{n}$ ${\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{n))$

p_{n}=K_{n+1}(a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}),

q_{n}=K_{n}(a_{1},a_{2},\dots,a_{n}).

Sekvenserna av både täljare och nämnare av konvergenter ökar strängt. $\{p_{n}\}$ $\{q_{n}\}$

Täljare och nämnare för närliggande konvergenter är relaterade av relationen

p_{n}q_{n-1}-q_{n}p_{n-1}=(-1)^{n-1}.

(ett)

Lämpliga bråk, som kan ses från detta förhållande, är alltid irreducerbara . Låt oss skriva om relationen i formuläret

{\frac {p_{n}}{q_{n}}}-{\frac {p_{{n-1}}}{q_{{n-1}}}}={\frac {(-1) ^{{n-1}}}{q_{{n-1}}q_{n}}}.

Av detta följer [3] att

\left|x-{\frac {p_{{n-1}}}{q_{{n-1}}}}\right|<{\frac {1}{q_{{n-1}}q_{ n}}}<{\frac {1}{q_{{n-1}}^{2}}}.

Approximation av reella tal med rationella tal

Fortsatta bråk ger dig möjlighet att effektivt hitta bra rationella approximationer av reella tal. Nämligen, om ett reellt tal expanderas till en fortsatt bråkdel, kommer dess konvergenter att tillfredsställa ojämlikheten $x$

\left|x-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|<{\frac {1}{q_{n}^{2}}}.

Konsekvenser [4] :

Ett lämpligt bråk är den bästa approximationen av det ursprungliga talet bland alla bråk vars nämnare inte överstiger $p_{n}/q_{n}$ $q_{n}.$
Måttet på irrationalitet för ett irrationellt tal är minst 2.

Exempel

Låt oss utöka talet till en fortsatt bråkdel och beräkna dess konvergenter: $\pi =3{,}14159265\dots$

3,\ {\frac {22}{7)),\ {\frac {333}{106)),\ {\frac {355}{113)),\ {\frac {103993}{33102 }},\ \dots

Den andra konvergenten är den välkända arkimediska approximationen. Den fjärde lämpliga fraktionen erhölls först i det antika Kina . $22/7$ $355/113$

Egenskaper för det gyllene snittet

Följande är en nedbrytning av det gyllene snittet :

\Phi =[1;1,1,1,\dots ].

Ett intressant resultat, som följer av att det fortsatta bråkuttrycket för inte använder siffror större än 1, är att det är ett av de mest "dåligt" approximerande talen. Mer exakt, Hurwitz-satsen [5] säger att vilket reellt tal som helst kan approximeras med en bråkdel på ett sådant sätt att $\Phi$ $\Phi$ $r$ $m/n$

\left|r-{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {1}{n^{2}{\sqrt {5}}}}.

Även om praktiskt taget alla reella tal har oändligt många approximationer som är mycket mindre än denna övre gräns, är approximationerna för (det vill säga talen 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, etc.) i gränsen de nå denna gräns [6] , hålla avståndet på nästan exakt från , och därigenom aldrig producera så bra approximationer som till exempel 355/113 för π. Det kan visas att alla reella tal i formen har denna egenskap , där och är heltal, och ; och även att alla andra reella tal kan approximeras mycket bättre. $r$ $m/n$ $r$ $\Phi$ $1/(n^{2}{\sqrt {5)))$ $\Phi$ $(a+b\Phi )/(c+d\Phi )$ $a,b,c$ $d$ $ad-bc=\pm 1$

Egenskaper och exempel

Vilket rationellt tal som helst kan representeras som en ändlig fortsatt bråkdel på två sätt, till exempel: $9/4=[2;3,1]=[2;4].$
Lagranges sats : Ett tal representeras som en oändlig periodisk fortsatt bråkdel om och endast om det är en irrationell lösning på en andragradsekvation med heltalskoefficienter.

Till exempel:

{\sqrt {2}}=[1;2,2,2,2,\dots ],

{\sqrt {42}}=[6;2,12,2,12,2,12\dots ],

gyllene snittet

\Phi =[1;1,1,1,\dots ].

Gauss-Kuzmins teorem : för nästan alla (förutom en uppsättning av måttet noll) reella tal, följer fördelningen av elementen i deras motsvarande fortsatta bråk Gauss-Kuzmin-statistiken ; i synnerhet finns det ett geometriskt medelvärde för alla element, och det är lika med Khinchins konstant .
Marshall Halls teorem . Om i expansionen av ett taltill en fortsatt bråkdel, med början från det andra elementet, det inte finns några stora tal, då säger de att talettillhör klassen. Vilket reellt tal som helst kan representeras som summan av två tal från klassenoch som en produkt av två tal från klassen [7] Vidare visades att vilket reellt tal som helst kan representeras som summan av tre tal från klassenoch som summan av fyra tal från klass. Antalet obligatoriska termer i denna sats kan inte reduceras - för att representera vissa tal på detta sätt räcker det inte med färre termer [8] [9] . $x$ $n$ $x$ $F(n)$ $F(4)$ $F(4).$ $F(3)$ $F(2)$

Öppna nummer

Försök har gjorts för att hitta mönster i fortsatta bråkexpansioner av kubiska irrationaliteter [10] , såväl som andra algebraiska tal med grader större än 2, och transcendentala tal [11] . För vissa transcendentala tal kan ett enkelt mönster hittas. Till exempel kan basen för den naturliga logaritmen representeras som [12]

e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,\ldots ,1,1,2n-2,1,1,2n,\ldots ] ,

och tangenten för en vinkel på 1 radian har formen [13]

\operatorname {tg} 1=[1;1,1,3,1,5,1,7,\ldots ,1,2n+1,1,2n+3,\ldots ].

Numret på ett enkelt mönster är inte synligt [14] : $\pi$

\pi =[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,1, 1,15,\prickar ]

Men för den generaliserade fortsatta fraktionen (se avsnittet Variationer och generaliseringar nedan ) kan ett tydligt mönster spåras.

Det är inte känt om ofullständiga partiella expansioner av siffror som eller [11] [15] är avgränsade från ovan . ${\sqrt[ {3}]{2}}$ $\pi$

Tillämpningar av fortsatta bråk

Kalenderteori

När du utvecklar en solkalender , är det nödvändigt att hitta en rationell approximation för antalet dagar på ett år , vilket är 365.2421988 ... Låt oss beräkna lämpliga bråkdelar för bråkdelen av detta nummer:

\frac{1}{4};\ \frac{7}{29};\ \frac{8}{33};\ \frac{31}{128};\ \frac{132}{545} \cdots

Den första bråkdelen innebär att du vart 4:e år behöver lägga till en extra dag; denna princip utgjorde grunden för den julianska kalendern . I det här fallet ackumuleras ett fel på 1 dag under 128 år. Det andra värdet (7/29) användes aldrig eftersom det skiljer sig lite från nästa, vilket är mycket mer exakt. Den tredje fraktionen (8/33), det vill säga 8 skottår under en period av 33 år, föreslogs av Omar Khayyam på 1000-talet och lade grunden till den persiska kalendern , där felet per dag ackumuleras över 4500 år (i gregorianska - över 3280 år). En mycket exakt version med en fjärde bråkdel (31/128, felet per dag ackumuleras endast i 100 000 år [16] ) främjades av den tyske astronomen Johann von Medler (1864), men han väckte inte särskilt stort intresse.

Musikteori

Inom musikteorin krävs det när man bygger ett enhetligt temperamentsystem att oktavintervallet delas upp i lika delar, och samtidigt ska intervallet för sådana delar vara så nära det femte intervallet som möjligt . Dessa krav leder till problemet med att hitta en rationell approximation för . Den tredje lämpliga fraktionen ger den likahärdade pentatonska skalan . Den fjärde konvergenten leder till den klassiska uppdelningen av oktaven i 12 lika halvtoner [17] . $2:1$ $n$ $m$ $3:2$ $\log _{2}1{,}5\approx 0{,}585$ $3/5$ $7/12$

Lösa jämförelser av första graden

Tänk på jämförelsen : , där är kända, och vi kan anta att det är coprime med . Måste hittas . $ax\equiv b{\pmod m}$ $a, \b$ $a$ $m$ $x$

Låt oss utöka det till en fortsatt bråkdel. Det kommer att vara slutgiltigt, och den sista lämpliga fraktionen . Ersätt i formel (1): ${\frac {m}{a))$ ${\frac {p_{n}}{q_{n}}}={\frac {m}{a}}$

mq_{n-1}-ap_{n-1}=(-1)^{n-1}.

Av detta följer:

ap_{n-1}\equiv (-1)^{n}{\pmod {m)),

eller

\ a(-1)^{n}p_{n-1}\equiv 1{\pmod {m)).

Slutsats: Restklassen är lösningen på den ursprungliga jämförelsen. $x\equiv (-1)^{n}p_{{n-1}}b{\pmod m}$

Andra applikationer

Bevis på siffrors irrationalitet. Till exempel, med hjälp av fortsatta bråk, bevisades irrationaliteten i värdet av Riemann zeta-funktionen ( Aperis konstant ) $\zeta (3)$
Lösning i heltal av Pells ekvation [18] : och andra ekvationer av diofantanalys $\;x^{2}-ny^{2}=1\;$
Definition av ett känt transcendentalt tal (se Liouvilles sats )
Faktoriseringsalgoritmer SQUFOF och CFRAC . _
Karakterisering av ortogonala polynom
Karakterisering av stabila polynom

Variationer och generaliseringar

Ett antal källor ger en generaliserad definition av en fortsatt bråkdel, vilket tillåter täljare i dess länkar inte bara 1, utan även andra heltal (även komplexa är tillåtna i vissa källor ) [1] :

[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\dots ]=a_{0}+{\cfrac {b_{1}}{a_{1}+{\ cfrac {b_{2}}{a_{2}+{\cfrac {b_{3}}{a_{3}+\ldots }}}}}}.

Denna generalisering ökar teorins flexibilitet, men har två nackdelar: expansionen av ett reellt tal till en fortsatt bråkdel blir tvetydig och dessutom är förekomsten av en gräns för konvergenter inte längre garanterad - gränsen kan vara oändlig eller till och med frånvarande.

För generaliserade fortsatta fraktioner har Euler-formlerna formen [19] :

p_{-1} = 1,\quad p_0 = a_0,\quad p_n = a_n p_{n-1} + b_n p_{n-2};

q_{-1} = 0,\quad q_0 = 1,\quad q_n = a_n q_{n-1} + b_n q_{n-2}.

Vart i

p_{n}q_{n-1}-q_{n}p_{n-1}=(-1)^{n-1}b_{1}b_{2}\dots b_{n}.

Ett specialfall där allt kallas Hirzebruchs fortsatta fraktion [20] . $b_{n}=-1$

Det sades ovan att expansionen av ett tal till ett klassiskt fortsatt bråktal inte innehåller något synligt mönster. För en generaliserad fortsatt fraktion äger Braunker-formeln [21] rum : $\pi$

{\frac {\pi }{4}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+ {\cfrac {5^{2}}{2+{\cfrac {7^{2}}{2+{\cfrac {9^{2}}{2+\ddots }}}}}}}} }}}

En annan generaliseringsriktning består i att konstruera och tillämpa apparaten för fortsatta bråk inte för tal, utan för polynom - det faktum att polynomens delbarhet i dess egenskaper är nära delbarheten av heltal [22] . Varje polynom eller bråkrationell funktion kan expanderas till en fortsatt bråkdel [23] :

{\cfrac {b_{1}}{a_{1}+{\cfrac {b_{2}x}{a_{2}+{\cfrac {b_{3}x}{a_{3}+ \ldots }}}}}}.

Exempel: få nedbrytningen för funktionen : ${\displaystyle f(x)={\frac {1-x}{1-5x+6x^{2))))$

f(x)={\cfrac {1}{1-{\cfrac {4x}{1-{\cfrac {2x}{-4+6x)))))))

Du kan upprätta en överensstämmelse mellan fortsatta bråk och vinklar på gitter i planet. I detta avseende finns det olika varianter av "flerdimensionella fortsatta fraktioner" [24] .

Historisk bakgrund

Forntida matematiker kunde representera förhållanden av inkommensurable kvantiteter i form av en kedja av på varandra följande lämpliga förhållanden, erhålla denna kedja med hjälp av Euclid-algoritmen . Tydligen är det så här Archimedes fick uppskattningen - detta är den 12:e lämpliga bråkdelen för eller en tredjedel av den 4:e lämpliga bråkdelen för . ${\sqrt {3}}\approx {\frac {1351}{780}}$ $\sqrt{3}$ ${\sqrt {27}}$

På 400-talet använde den indiske matematikern Aryabhata en liknande "förädlingsmetod" för att lösa obestämda första- och andragradsekvationer. Med hjälp av samma teknik erhölls troligen den välkända approximationen för talet (355/113). På 1500-talet extraherade Rafael Bombelli kvadratrötter med hjälp av fortsatta bråk (se hans algoritm ). $\pi$

Början av den moderna teorin om fortsatta fraktioner lades 1613 av Pietro Antonio Cataldi . Han noterade deras huvudegenskap (positionen mellan lämpliga bråk) och införde en beteckning som påminner om den moderna. Senare utvidgades hans teori av John Vallis , som föreslog termen "fortsatt fraktion" . Motsvarande term " fortsatt skott " dök upp i slutet av 1700-talet.

Dessa fraktioner användes främst för den rationella approximationen av reella tal; till exempel använde Christian Huygens dem för att designa kugghjulen till sitt planetarium . Huygens visste redan att konvergenter alltid är irreducerbara och att de representerar den bästa rationella approximationen till det ursprungliga talet.

På 1700-talet fullbordades teorin om fortsatta bråk i allmänna termer av Leonhard Euler och Joseph Louis Lagrange .

Se även

Anteckningar

↑ 1 2 Fortsättning bråk // Matematisk uppslagsverk (i 5 volymer) . - M . : Soviet Encyclopedia , 1985. - T. 5.
↑ Arnold, 2000 , sid. 12.
↑ Vinogradov, 1952 , sid. arton.
↑ Vinogradov, 1952 , sid. 22, stycke 2.
↑ Hardy, G.H.; Wright, EM Theorem 193 // En introduktion till teorin om tal . — Femte. — Oxford, 1979.
↑ Davenport, 1965 , sid. 93-95.
↑ M. Hall, Om summan och produkten av fortsatta bråk, Annals of Math. 48 (1947) 966-993.
↑ B. Diviš, Om summor av fortsatta bråk, Acta Arith. 22 (1973) 157-173.
↑ TW Cusick och R.A. Lee, Summor av uppsättningar av fortsatta bråk, Proc. amer. Matematik. soc. 30 (1971) 241-246.
^ Calculations in Algebra and Number Theory, 1976 , H. M. Stark. En förklaring av några av de exotiska fortsatta fraktionerna som hittats av Brillhart, sid. 155-156.
↑ 1 2 P. Shiu. Beräkning av fortsatta bråk utan ingångsvärden . — 1995.
↑ OEIS -sekvens A003417 : fortsatt fraktionsexpansion av e .
↑ OEIS -sekvens A093178 : fortsatt fraktionsexpansion . $\operatörsnamn{tg}\,1$
↑ OEIS -sekvens A001203 : fortsatt fraktionsexpansion . $\pi$
↑ OEIS -sekvens A002945 : fortsatt fraktionsexpansion . ${\sqrt[ {3}]{2}}$
↑ Faktum är att på grund av den gradvisa avmattningen av jordens rotation, och följaktligen den gradvisa minskningen av antalet dagar på ett år, skulle en sådan kalender ha ackumulerat ett verkligt fel på en dag efter 4000 år.
↑ Shilov G. E. Enkel gamma. Musikvågsenhet . — Populära föreläsningar i matematik . - M. : Fizmatgiz , 1963. - S. 14-15. — 20 s.
↑ Bugaenko V. O. Pell Ekvationer _ _ _
↑ Fundamentals of Computational Mathematics, 1963 , sid. 57.
↑ E. Yu. Smirnov. Friser och fortsatta fraktioner . MCNMO (17 mars 2020). Hämtad 17 april 2020. Arkiverad från originalet 21 april 2021. (obestämd)
↑ John Wallis , Arithmetica Infinitorum (Oxford, England: Leon Lichfield, 1656), sida 182 . Arkiverad 24 april 2021 på Wayback Machine . Brouncker uttryckte, som en fortsatt bråkdel, förhållandet mellan arean av en cirkel och arean av den omskrivna kvadraten (dvs. 4/ π ). Det fortsatta bråket visas överst på sidan 182 (ungefär) som: ☐ = 1 1/2 9/2 25/2 49/2 81/2 &c, där kvadraten betecknar förhållandet som söks. (Notera: På föregående sida namnger Wallis Brounker som: "Dom. Guliel. Vicecon, & Barone Brouncher " (Lord William Viscount och Baron Brounker).)
↑ Khovansky A. N. Tillämpningar av fortsatta bråk och deras generaliseringar på frågor om ungefärlig analys (kapitel 1 och 2). — M .: Gostekhizdat, 1956.
↑ Fundamentals of Computational Mathematics, 1963 , sid. 70-73.
↑ Karpenkov, 2013 .

Litteratur

Arnold V. I. Fortsatt fraktioner . - M. : MTsNMO , 2000. - T. 14. - 40 sid. - ( Bibliotek "Matematisk utbildning" ).
Beskin NM Fortsättning fraktioner // Kvant . - 1970. - T. 1 . - S. 16-26.62 .
Beskin NM Oändliga fortsättningsfraktioner // Kvant . - 1970. - T. 8 . - S. 10-20 .
Bodnar D.I. Förgrening fortsatte fraktioner. - K . : Nauka, 1986. - 174 sid.
Bukhshtab A. A. Talteori . - M . : Utbildning, 1966. - 384 sid.
Vinogradov I.M. Grunderna i talteorin . - M. - L. : GITTL, 1952. - 180 sid.
Beräkningar i algebra och tallära / Per. från engelska. E. G. Belagi, red. B.B. Venkova och D.K. Faddeeva. - M .: Mir , 1976. - (Matematik. Nytt inom utländsk vetenskap).
Gladkovsky S. N. Analys av villkorligt periodiska fortsatta fraktioner, del 1 . - Gentle, 2009. - 138 sid.
Demidovich B. P., Maron I. A. Fundamentals of Computational Mathematics. - Ed. 2:a. - M. : Fizmatlit, 1963. - S. 53-73. — 660 sid.
Depman I. Ya. Aritmetikens historia. En guide för lärare . - Andra upplagan. - M . : Utbildning, 1965. - S. 253-254.
Davenport G. Högre aritmetik. En introduktion till talteori . — M .: Nauka, 1965.
Siziy SV Föreläsningar om talteori . - Jekaterinburg: Ural State University uppkallad efter. A. M. Gorky , 1999.
Skorobogatko V. Ya. Teorin om förgrenade fortsatta bråk och dess tillämpning i beräkningsmatematik. — M .: Nauka, 1983. — 312 sid.
Khinchin A. Ya. Fortsättning fraktioner . — M .: GIFML, 1960.
Khovansky AN Tillämpning av fortsatta bråk och deras generaliseringar på frågor om ungefärlig analys. — M.: Gostekhizdat, 1956. — 204 sid.
Brezinski C. Historia om fortsatta fraktioner och Padé approximanter. NY: Springer, 1980.
Karpenkov O. Geometry of Continued Fractions. - Springer, 2013. - ISBN 978-3-642-39367-9 .

Ordböcker och uppslagsverk	Stor dansk Stor katalanska Stor ryss runt världen Litet Brockhaus och Efron Ny Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	J9U : 987007548245805171 LCCN : sh85051149 NDL : 00569391 NKC : ph441076