Bygga med kompass och rätsida

Bygga med kompass och rätsida
Mediafiler på Wikimedia Commons

Konstruktioner med hjälp av en kompass och en linjal  är en del av den euklidiska geometrin , känd sedan urminnes tider .

I konstruktionsproblem antas kompasser och en linjal vara idealiska verktyg, särskilt:

• Linjalen har inga indelningar och har en sida av oändlig längd, men bara en.
• Kompassen kan ha vilken (stor eller liten) öppning som helst (den kan rita en cirkel med godtycklig radie) och behåller den sista öppningen, det vill säga den kan rita identiska cirklar var som helst.

Exempel

Bisektionsproblem . Dela det givna segmentet AB i två lika delar med hjälp av en kompass och rätlina . En av lösningarna visas i figuren:

• Med en kompass ritar vi cirklar centrerade i punkterna A och B med radien AB .
• Vi hittar skärningspunkterna P och Q för de två konstruerade cirklarna (bågarna).
• Rita ett segment eller en linje längs linjalen som går genom punkterna P och Q.
• Vi hittar den önskade mittpunkten för segmentet AB  - skärningspunkten för AB och PQ .

Formell definition

I konstruktionsuppgifter beaktas en uppsättning av följande objekt: alla punkter i planet, alla linjer i planet och alla cirklar i planet. I villkoren för problemet specificeras initialt en viss uppsättning objekt (anses som konstruerade). Det är tillåtet att lägga till (bygga) till uppsättningen av byggda objekt:

1. godtycklig punkt;
2. en godtycklig punkt på en given linje;
3. en godtycklig punkt på en given cirkel;
4. skärningspunkten för två givna linjer;
5. skärningspunkter/tangens för en given rät linje och en given cirkel;
6. skärningspunkter/tangens för två givna cirklar;
7. en godtycklig linje som går genom en given punkt;
8. en rät linje som går genom två givna punkter;
9. en godtycklig cirkel centrerad vid en given punkt;
10. en godtycklig cirkel med en radie lika med avståndet mellan två givna punkter;
11. en cirkel centrerad i en given punkt och med en radie lika med avståndet mellan två givna punkter.

Det krävs, med hjälp av ett ändligt antal av dessa operationer, att konstruera ytterligare en uppsättning objekt som står i ett givet förhållande till den ursprungliga uppsättningen.

Lösningen av konstruktionsproblemet innehåller tre väsentliga delar:

1. Beskrivning av metoden för att konstruera en given mängd.
2. Ett bevis på att uppsättningen konstruerad på det beskrivna sättet verkligen står i ett givet förhållande till originaluppsättningen. Vanligtvis görs beviset för konstruktionen som ett regelbundet bevis på en sats, med utgångspunkt i axiom och andra bevisade satser.
3. Analys av den beskrivna konstruktionsmetoden för dess tillämpbarhet på olika varianter av initiala förhållanden, såväl som för unikheten eller icke-uniken hos lösningen som erhålls med den beskrivna metoden.

Kända utmaningar

• Apollonius problem med att konstruera en cirkel som tangerar tre givna cirklar. Om ingen av de givna cirklarna ligger inuti den andra, har detta problem 8 väsentligen olika lösningar.
• Brahmaguptas problem med att konstruera en inskriven fyrhörning på dess fyra sidor.

Konstruktion av vanliga polygoner

Forntida geometrar visste hur man konstruerade vanliga n -goner för , , och .

1796 visade Gauss möjligheten att konstruera regelbundna n -goner för , där  finns olika Fermat -primtal . År 1836 bevisade Wanzel att det inte fanns några andra vanliga polygoner som kunde konstrueras med kompass och rätsida.

Olösliga problem

Följande tre bygguppgifter sattes av de gamla grekerna:

• vinkeltrisektion  - dela en godtycklig vinkel i tre lika delar;
• dubbla en kub  - konstruera en kant på en kub dubbelt så stor i volym som den givna kuben;
• Att kvadrera en cirkel  är att konstruera en kvadrat som är lika stor som den givna cirkeln.

Det var inte förrän på 1800-talet som det var rigoröst bevisat att alla dessa tre problem inte kunde lösas med enbart en kompass och rätlina. Beviset för dessa konstruktionsproblems olösbarhet uppnåddes med hjälp av algebraiska metoder baserade på Galois teori [1] . Särskilt omöjligheten att konstruera en kvadrering av en cirkel följer av transcendensen av talet π .

Ett annat välkänt och olösligt problem med hjälp av en kompass och en linjal är konstruktionen av en triangel enligt tre givna halvledarlängder [2] . Detta problem förblir olösligt även i närvaro av ett verktyg som utför vinkeltrisektion , såsom en tomahawk . [3]

Tillåtna segment för konstruktion med hjälp av en kompass och rätlinje

Med hjälp av dessa verktyg är det möjligt att konstruera ett segment, som i längd:

1. lika med summan av längderna av flera segment;
2. lika med skillnaden i längderna för två segment;
3. numeriskt lika med produkten av längderna av två segment;
4. numeriskt lika med kvoten för divisionen av längderna av två segment;
5. numeriskt lika med kvadratroten av längden av ett givet segment (följer av möjligheten att konstruera det geometriska medelvärdet av två segment, se illustration). [fyra]

För att konstruera ett segment med en längd numeriskt lika med produkten, privat och kvadratroten av längderna av de givna segmenten, är det nödvändigt att ställa in ett enhetssegment på konstruktionsplanet (det vill säga ett segment med längden 1), annars problemet är olösligt på grund av bristande skala. Att extrahera rötter från segment med andra naturliga krafter som inte är en potens av 2 är inte möjligt med en kompass och rätlina. Så, till exempel, är det omöjligt att konstruera ett längdsegment från ett enda segment med hjälp av en kompass och en linjal . Detta faktum, i synnerhet, antyder olösligheten av kubfördubblingsproblemet. [5]

Möjliga och omöjliga konstruktioner

Ur en formell synvinkel reduceras lösningen av alla konstruktionsproblem till en grafisk lösning av någon algebraisk ekvation , och koefficienterna för denna ekvation är relaterade till längden på de givna segmenten. Därför kan vi säga att problemet med konstruktion reduceras till att hitta de verkliga rötterna till någon algebraisk ekvation.

Därför är det bekvämt att prata om konstruktionen av ett tal - en grafisk lösning på en ekvation av en viss typ.

Baserat på möjliga konstruktioner av segment är följande konstruktioner möjliga:

• Konstruktion av lösningar till linjära ekvationer .
• Konstruktion av lösningar till ekvationer Reducering till lösningar av kvadratiska ekvationer .

Med andra ord är det möjligt att bygga bara segment som är lika med aritmetiska uttryck med hjälp av kvadratroten från de ursprungliga talen (givna segmentlängder).

Lösningen måste uttryckas med kvadratrötter , inte godtyckliga radikaler. Även om en algebraisk ekvation har en lösning i radikaler , innebär detta inte möjligheten att konstruera ett segment lika med dess lösning med en kompass och en linjal. Den enklaste ekvationen: relaterad till det berömda kubfördubblingsproblemet, reducerat till denna kubiska ekvation . Som nämnts ovan kan lösningen av denna ekvation ( ) inte konstrueras med en kompass och en linjal.

Förmågan att konstruera en vanlig 17-gon följer av uttrycket för cosinus för den centrala vinkeln på dess sida:

vilket i sin tur följer av möjligheten att reducera en ekvation av formen där  är ett primtal Fermattal , med hjälp av en förändring av variabel till en andragradsekvation.

Variationer och generaliseringar

• Konstruktioner med en enda kompass. Enligt Mohr-Mascheroni-satsen kan man med hjälp av en kompass bygga vilken figur som helst som kan byggas med en kompass och en linjal. I detta fall anses en linje vara konstruerad om två punkter anges på den.
• Konstruktioner med en enda linjal. Det är uppenbart att endast projektivt invarianta konstruktioner kan utföras med hjälp av en linjal. Särskilt,
  • det är omöjligt att ens dela upp segmentet i två lika delar,
  • det är också omöjligt att hitta centrum för den givna cirkeln.

I alla fall,

• i närvaro av en tidigare ritad cirkel på planet med markerat centrum och en linjal kan man utföra samma konstruktioner som med en kompass och en linjal ( Steiner-Poncelets sats ).
• Om det finns två seriffer på linjalen, så är konstruktioner med dess hjälp likvärdiga med konstruktioner med hjälp av en kompass och en linjal ( Napoleon tog ett viktigt steg för att bevisa detta ).

• Konstruktioner med begränsade verktyg. I problem av detta slag anses verktyg (i motsats till den klassiska formuleringen av problemet) inte vara idealiska, utan begränsade: en rät linje genom två punkter kan ritas med hjälp av en linjal endast om avståndet mellan dessa punkter inte överstiger en viss värde; radien för cirklar som ritas med en kompass kan begränsas uppifrån, under eller både ovan och under.
• Konstruktioner med platt origami , se Fujitas regler
• Konstruktioner med hjälp av gångjärnsmekanismer  är konstruktioner på ett plan och i rymden med hjälp av enkla stänger som är förbundna i ändarna med gångjärn. På så sätt kan du bygga vilket algebraiskt tal som helst [6] .

Intressanta fakta

• Det centrala mönstret på Irans nationella flagga beskrivs juridiskt som en konstruktion som använder en kompass och linjal [7] .

Se även

• Programvarupaket för dynamisk geometri låter dig utföra virtuella konstruktioner med hjälp av en kompass och linjal på en datorskärm.

Anteckningar

1. ↑ Kirichenko, 2005 , sid. ett.
2. ↑ Vem och när bevisade omöjligheten att konstruera en triangel från tre bisektrar? Arkiverad 18 oktober 2009 på Wayback Machine . Fjärrkonsultationsställe för matematik MCNMO .
3. ↑ Är det möjligt att bygga en triangel med tre bisektorer, om det, förutom en kompass och en rätlinje, är tillåtet att använda en trisektorarkivkopia av 26 augusti 2015 på Wayback Machine . Fjärrkonsultationsställe för matematik MCNMO .
4. ↑ Kirichenko, 2005 , sid. fyra.
5. ↑ Kirichenko, 2005 , sid. 9.
6. ↑ Maehara, Hiroshi (1991), Distances in a rigid unit-distance graph in the plane , Discrete Applied Mathematics vol. 31 (2): 193–200 , DOI 10.1016/0166-218X(91)90070-D  .
7. ↑ Iranian Flag Standard Arkiverad 21 juni 2012 på Wayback Machine  (pers.)

Litteratur

• Adler A. Teori om geometriska konstruktioner / Översatt från tyska av G. M. Fikhtengolts. - Tredje upplagan. - L . : Uchpedgiz, 1940. - 232 sid.
• Alexandrov I. I. Samling av geometriska problem för konstruktion . — Artonde upplagan. - M . : Uchpedgiz, 1950. - 176 sid.
• Argunov B. I., Balk M. B. Geometriska konstruktioner på planet. Manual för studenter vid pedagogiska institutioner . - Andra upplagan. - M . : Uchpedgiz, 1957. - 268 sid.
• Voronets A. M. En kompasss geometri . - M. - L. : ONTI, 1934. - 40 sid. — (Popular Library in Mathematics, redigerad av L. A. Lyusternik).
• Geiler V. A. Olösliga konstruktionsproblem  // SOZH . - 1999. - Nr 12 . - S. 115-118 .
• Kirichenko V. A. Konstruktioner med kompasser och linjal och Galois teori  // Sommarskola "Modern Mathematics". - Dubna, 2005.
• Manin Yu. I. Bok IV. Geometri // Encyclopedia of elementary mathematics . - M. : Fizmatgiz, 1963. - 568 sid.
• Petersen Yu Metoder och teorier för att lösa geometriska konstruktionsproblem . - M . : E. Lissners och Yu. Romans tryckeri, 1892. - 114 sid.
• Prasolov VV Tre klassiska konstruktionsproblem. Dubbla en kub, tresektion av en vinkel, kvadrera en cirkel . — M .: Nauka, 1992. — 80 sid. - ( Populära föreläsningar om matematik ).
• Geometriska konstruktioner // Handbok i matematik (för mellanstadier) / Tsypkin A. G., ed. Stepanova S. A. - 3:e uppl. — M.: Nauka, Ch. upplagan av Phys.-Math. Litteratur, 1983. - S. 200-213. — 480 s.
• Steiner J. Geometriska konstruktioner utförda med en rak linje och en fast cirkel . - M . : Uchpedgiz, 1939. - 80 sid.
• Valbar kurs i matematik. 7-9 / Jämf. I. L. Nikolskaya. - M . : Education , 1991. - S. 80. - 383 sid. — ISBN 5-09-001287-3 .

Länkar

• Regelbundna polygonkonstruktioner av Dr. Matematik på Matematikforumet 
• Konstruktion med kompassen endast vid klippning 
• Vinkeltrisektion av Hippokrates vid cut- the -knoten 
• Weisstein, Eric W. Angle Trisection  (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .

Ordböcker och uppslagsverk	Stor norsk Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	GND : 4792645-4