Produkt (kategoriteori)

Produkten av två eller flera objekt är en generalisering inom kategoriteorin av sådana begrepp som den kartesiska produkten av mängder , den direkta produkten av grupper och produkten av topologiska rum . Produkten av en familj av objekt är på sätt och vis det mest allmänna objektet som har morfismer till alla objekt i familjen.

Definition

Låt vara en indexerad familj av (inte nödvändigtvis distinkta) objekt i kategorin . Ett kategoriobjekt , tillsammans med en familj av morfismer , är en produkt av en familj av objekt om det för något objekt och någon familj av morfismer finns en unik morfism för vilken följande diagram är: $\{X_i\}_{i \in I}$ $C$ $X$ $C$ $\pi_i\kolon X \till X_i$ $\{X_i\}_{i \in I}$ $Y\in C$ $f_i\kolon\, Y \till X_i$ $f\kolon\, Y\till X$

är kommutativ för varje (dvs. ). Morfismer kallas kanoniska projektioner . $i\i jag$ $\pi_i \circ f = f_i$ $\pi _{i}$

Ovanstående definition motsvarar följande:

Ett objekt tillsammans med en familj av projektioner är en produkt av en familj av objekt om och endast om kartläggningen för något objekt $X$ $\{\pi_i\}_{i \in I}$ $\{X_i\}_{i \in I}$ $Y\in C$

\mathrm{Hom}_{C}(Y,X) \rightarrow \prod_{i\in I} \mathrm{Hom}_{C}(Y,X_i),\; f\mapsto \prod_{i\in I} (\pi_i \circ f)

bijektivt .

Produkten av två objekt betecknas vanligtvis med , och diagrammet har formen $X_1 \ gånger X_2$

Morfism betecknas ibland med . $f$ $\lang f_1,f_2 \rang$

Det unika i resultatet av operationen kan alternativt uttryckas som en jämlikhet som gäller för alla . [ett] $\lang -,- \rang$ $\lang \pi_1 \circ h,\pi_2 \circ h \rang = h$ $h$

Exempel

I kategorin set är kategorin produkt densamma som den kartesiska produkten .
I kategorin topologiska rum motsvarar en produkt av rum ett rum vars stöd är den kartesiska produkten av faktorernas stöd, och topologin definieras som produkten av deras topologier.
I kategorin grupper definieras produkten av grupper som deras direkta produkt .
I kategorin projektiva sorter kan den kategoriska produkten definieras med Segre-inbäddningen .
En delvis ordnad mängd kan betraktas som en kategori där en morfism från till existerar om och endast om (per definition) när (desutom kan det inte finnas mer än en morfism mellan två objekt). I det här fallet är produkten av en familj av linjärt ordnade objekt deras största nedre gräns, och samprodukten är deras minsta övre gräns. $a$ $b$ $a\geqslant b$

Egenskaper

Om en produkt av objekt existerar, så är den unik upp till en isomorfism .
Kommutativitet : $a \ gånger b \ simeq b \ gånger a.$
Associativitet : $(a\ gånger b)\ gånger c \ simeq a\ gånger (b\ gånger c)$
Om det finns ett terminalobjekt i kategorin , då $\ ett$ $a \timeq 1 \simeq 1 \times a \simeq a.$
Ovanstående egenskaper liknar formellt de för en kommutativ monoid . Mer exakt, en kategori där produkten av två objekt definieras och det finns ett terminalobjekt är en symmetrisk monoidal kategori .

Distributivitet

I allmänhet finns det en kanonisk morfism där plus betecknar en biprodukt av objekt. Detta följer av förekomsten av kanoniska projektioner och inbäddningar och från kommutativiteten i följande diagram: $X\ gånger Y+X\ gånger Z\ till X\ gånger (Y+Z)$

Universalitetsegenskapen för garanterar förekomsten av den erforderliga morfismen. En kategori kallas distributiv om denna morfism i den är en isomorfism . $X\ gånger (Y+Z)$

Transformationsmatris

Vilken morfism som helst

f \colon \bigoplus_{i\in I} a_i \to \bigotimes_{j\in J} b_j

genererar en uppsättning morfismer

f_{ij} \colon a_i \to b_j

ges av regeln och kallas transformationsmatrisen . Omvänt specificerar vilken transformationsmatris som helst en unik motsvarande morfism . Om det finns ett nollobjekt i kategorin, så finns det för två godtyckliga objekt en kanonisk nollmorfism : I detta fall är transformationsmatrisen , given av regeln $f_{ij} = \pi_j \circ f \circ \imath_i$ $f_{ij} \colon a_i \to b_j$ $\scriptstyle f \colon \bigoplus_{i\in I} a_i \to \bigotimes_{j\in J} b_j.$ $0,$ $x,y$ $0_{xy}:x\till 0\till y.$ $\scriptstyle f \colon \bigoplus_{i\in I} a_i \to \bigotimes_{i\in I} a_i$

f_{ij} = \left\{ \begin{matrix} 0_{a_ja_i},~ i\ne j \\ \mathrm{id}_{a_i},~ i=j \end{matrix} \right.

kallas identitetsmatrisen .

Exempel

I kategorin ändliga dimensionella vektorrum är samprodukten av utrymmen densamma som deras produkt och är deras direkta summa . I det här fallet sammanfaller de kategoriska och vanliga definitionerna av transformationsmatrisen, eftersom vilket ändligt dimensionellt utrymme som helst kan delas upp i en direkt summa av endimensionella, såväl som till en direkt produkt av endimensionella. Skillnaden är att i den kategoriska definitionen är matriselementen transformationer av ett endimensionellt utrymme till ett endimensionellt utrymme, medan i den vanliga definitionen väljs baser i dessa endimensionella utrymmen och endast koordinaten för bilden av basvektorn för förbildsutrymmet i basen av bildutrymmet kan specificeras. $\mathcal{V}ect_f$

Se även

En samprodukt är ett koncept som är dubbelt till en produkt.
Kartesisk sluten kategori

Anteckningar

↑ Lambek J., Scott PJ Introduktion till kategorisk logik av högre ordning. - Cambridge University Press, 1988. - S. 304.

Litteratur

Bucur I., Deleanu A. Introduktion till teorin om kategorier och funktioner = Introduktion till teorin om kategorier och funktioner. - M .: Mir , 1972. - S. 39. - 259 sid.
McLane S. Kategorier för den arbetande matematikern. - M .: Fizmatlit, 2004 [1998].
Zharinov VV Några algebro-geometriska metoder i matematisk fysik . - S. 8. - 82 sid.