Alexanders prebassats

Alexander Subbase Theorem [ 1] är ett teorem för allmän topologi som fastställer ett kriterium för kompaktheten i ett topologiskt utrymme.

Ett utrymme kallas kompakt om det tillåter en ändlig undertäckning från var och en av sina täckningar genom öppna uppsättningar. Alexanders teorem begränsar avsevärt klassen av beläggningar som bara behöver övervägas för att fastställa kompakthet.

Formuleringen av satsen använder begreppet en prebas för en topologi - en familj av öppna delmängder vars ändliga skärningspunkter utgör basen för en topologi .

Teorem (J. Alexander, 1939 [2] ). Ett topologiskt utrymme är kompakt om och endast om valet av ett ändligt undertäcke tillåter varje hölje som består av element av någon underbas av dess topologi.

Bevis. Behovet av detta kompaktitetskriterium är uppenbart, eftersom alla element i prebasen är öppna uppsättningar. Tillräcklighet bevisas genom motsägelse. Låt utrymmet X vara icke-kompakt, även om varje täckning som består av element från prebasen av dess topologi tillåter ett ändligt undertäcke. Låt vara basen för topologin för utrymmet X som bildas av denna prebas. Vart och ett av dess element är en finit skärningspunkt mellan elementen i prebasen. ${\mathfrak {P}}$ ${\mathfrak {B}}$

Mängden av alla möjliga täckningar av utrymmet X (det vill säga sammansatt av baselement ) som inte tillåter en ändlig undertäckning är induktivt ordnad och icke-tom, därför gäller Zorns lemma för den . Följaktligen finns det en maximal (icke-expanderbar) sådan täckning. Elementen av prebasen som finns i den bildar inte ett täcke av utrymmet X, därför täcks en punkt av elementet i basen , men locket innehåller inte något av prebasens element . ${\mathfrak {B}}$ ${\mathfrak {B}}$ ${\mathfrak {P}}$ $P_{1}\cap P_{2}\cap \ldots \cap P_{n}$ $P_{1},P_{2},\ldots ,P_{n}$

Vidare används den övervägda maximala täckningen. Efter att ha lagt till uppsättningen till den kan vi extrahera det sista underomslaget. Genom att kombinera alla dessa underomslag, släppa uppsättningar från dem och lägga till mängden , får vi ett ändligt täcke av utrymmet X, som är ett undertäcke av det ursprungliga omslaget. En motsägelse (det ursprungliga omslaget tillät inte ändliga underomslag) bevisar satsen. $Pi}$ $P_{1},P_{2},\ldots ,P_{n}$ $P_{1}\cap P_{2}\cap \ldots \cap P_{n}$

Ett enkelt bevis för Alexanders teorem kan erhållas med hjälp av följande kompaktitetskriterium: ett topologiskt utrymme är kompakt om och endast om varje ultrafilter i uppsättningen har minst en gräns $X$ $X$ [3] .

Alexanders teorem är gitterteoretisk (eftersom den är formulerad i termer av egenskaperna hos en familj av öppna delmängder av ett topologiskt utrymme som är ett komplett distributivt gitter) och tillåter olika generaliseringar till speciella klasser av partiellt ordnade mängder [4] [5] [6] .

Anteckningar

↑ Ofta även kallad Alexanders (för-bas) lemma .
↑ Alexander JW beställde uppsättningar, komplex och problemet med komprimering. — Proc. Nat. Acad. sci. USA 25 (1939), sid. 296-298. ( originalartikel ).
↑ Diagram över ett sådant bevis. Låta vara en underbas av utrymmet så att varje täckning av utrymmet av dess element innehåller en ändlig undertäckning. Låt vara ett ultrafilter på , som inte har några gränser. Sedan har varje punkt ett kvarter som tillhör familjen och inte tillhör . Därför finns det en täckning av utrymmet av element i familjen , varav inget hör till ultrafiltret . Från detta omslag kan man välja ett ändligt underomslag . Då , men inget element i den finita familjen tillhör filtret , vilket motsäger dess maximalitet. ${\mathfrak {P}}$ $X$ $X$ ${\mathcal {F}}$ $X$ $x\i X$ ${\mathfrak {P}}$ ${\mathcal {F}}$ $X$ ${\mathfrak {P}}$ ${\mathcal {F}}$ ${\mathfrak {A}}$ $X=\bigcup {\mathfrak {A}}\in {\mathcal {F}}$ ${\mathfrak {A}}$ ${\mathcal {F}}$
↑ Abian A. En partiell ordningsgeneralisering av Alexanders subbassats Arkiverad 19 januari 2022 på Wayback Machine . — Rand. Circ. Matta. Palermo 38 (1989), sid. 271-276.
↑ Erné M. Semidistributivity, prime ideals and the subbase lemma Arkiverad 19 januari 2022 på Wayback Machine . — Rand. Circ. Matta. Palermo 41 (1991) nr. 2, sid. 241-250.
↑ Roy och Mukherjee introducerade en speciell typ av kompakthet definierad i termer av Choquet-gitter (grillar) och bevisade analoger till Alexanders prebas och Tikhonovs kompakthetsteorem för den: se B. Roy, MN Mukherjee. På en typ av kompakthet via grillar Arkiverad 19 februari 2014 på Wayback Machine . — Matem. Vesn. 59 (2007), nr. 3, sid. 113-120.

Litteratur

Engelking, R. Allmän topologi / Per. från engelska. - M . : Mir, 1986. - Uppgift 3.12.2 (s. 331)