Burnsides teorem

Burnsides sats är en klassisk sats i teorin om ändliga grupper .

Teoremet bevisades av William Burnside i början av 1900-talet. [1] Burnsides teorem har länge varit den mest kända tillämpningen av representationsteori på gruppteori . Ett bevis utan att använda grupptecken hittades av Goldsmith långt senare. [2]

Formulering

Låt gruppen ha ordning , var och är primtal . Då är det tillåtet . $G$ ${\displaystyle p^{a}\cdot q^{b))$ $sid$ $q$ $G$

Anteckningar

Det följer av satsen att varje icke-abelsk ändlig enkel grupp har en ordning som är delbar med tre distinkta primtal.
- I synnerhet har den minsta icke-Abeliska ändliga enkla gruppen , den alternerande gruppen, ordning . $A_{5}$ ${\displaystyle 60=5\cdot 3\cdot 2^{2))$

Schema för Burnsides bevis

Med hjälp av matematisk induktion räcker det att bevisa att en enkel grupp av en given ordning är abelian [3] . $G$
Enligt Sylows teorem har en grupp antingen ett icke-trivialt centrum eller en storlekskonjugationsklass för vissa . I det första fallet, eftersom centret är en normal undergrupp av gruppen , måste det sammanfalla med centret och därför vara abelianskt. Detta betyder att det andra fallet är sant: det finns ett element i gruppen så att konjugationsklassen för elementet har storlek . $G$ $p^{r}$ $r\geqslant 1$ $G$ $x$ $G$ $x$ $p^{r}>1$
Genom att använda ortogonalitetsegenskaperna för grupptecken och egenskaperna hos algebraiska tal kan man bevisa förekomsten av ett icke-trivialt irreducerbart grupptecken så att . $\chi$ $G$ $|\chi (x)|=\chi (1)$
Det följer av gruppens enkelhet att varje komplex irreducerbar representation av ett tecken är sann (eller exakt), och följaktligen följer att den tillhör gruppens centrum , vilket motsäger det faktum att storleken på konjugationsklassen är större än 1. $G$ $\chi$ $x$ $G$

Variationer och generaliseringar

Det minsta primtalet i expansionen av ordningen för en olöslig finit grupp går in i expansionen till en potens av minst 2.

Anteckningar

↑ Burnside, W. (1904), On Groups of Order p α q β , Proc. London Math. soc. (nr s2-1(1)): 388–392, doi : 10.1112/plms/s2-1.1.388 , < https://zenodo.org/record/1433459/files/article.pdf >
↑ Goldschmidt, David M. (1970), A group theoretical proof of the p a q b theorem for udda primtal , Math. Z. T. 113: 373–375 , DOI 10.1007/bf01110506
↑ Skornyakov L. A. Element i algebra. — M.: Nauka, 1986. — S. 228-229. – Upplaga 21 000 exemplar.

Litteratur

James, Gordon; och Liebeck, Martin (2001). Representationer och karaktärer av grupper (2:a upplagan). Cambridge University Press . ISBN 0-521-00392-X . Kapitel 31
Fraleigh, John B. (2002) En första kurs i abstrakt algebra (7:e upplagan). Addison Wesley . ISBN 0-201-33596-4 .

Länkar

R. Borcherds (engelska) , Representation theory: Burnside's theorem on YouTube