Filter (matte)

Ett filter är en delmängd av en delvis ordnad uppsättning som uppfyller vissa villkor. Konceptet kommer från den allmänna topologin , där filter uppstår på gittret av alla delmängder av någon uppsättning ordnade av inkluderingsrelationen. Filtret är ett koncept som är dubbelt mot det ideala .

Filter introducerades av Henri Cartan 1937 [1] [2] och användes därefter av Nicola Bourbaki i deras bok Topologie Générale som ett alternativ till det liknande konceptet av ett nätverk , utvecklat 1922 av E. G. Moore och G. L. Smith.

Definition inom ramen för gitterteorin

En delmängd av ett semigitter kallas ett filter if $F$ $L$

för alla , $a,b\in F$ $a\land b\in F$
för alla och sådana att , $a\i F$ $b$ $a\leq b$ $b\in F$

Ett filter sägs vara inbyggt om . $F\neq L$

Ett egenfilter så att det inte finns några andra egenfilter som innehåller det kallas ett ultrafilter eller maxfilter .

Ett gitterfilter kallas enkelt om för allt det faktum att det följer att antingen , eller . $F$ $a,b\in L$ $a\lor b\in F$ $a\i F$ $b\in F$

Minimifiltret som innehåller det givna elementet kallas huvudfiltret som genereras av huvudelementet . $x$ $x$

Om filter, då är idealiskt . $F$ $L\backslash F$

Boolean algebra filter

Ett filter på en boolesk algebra är en delmängd för vilken villkoren [3] är uppfyllda : $M$ $D\subseteq M$

$D\neq \varnothing$ ,
$x,y\in D\Rightarrow (x\cap y)\in D$ ,
$x\in D,x\leqslant y\Högerpil y\in D$ ,
$x\in D\Rightarrow {\bar {x}}\notin D$ .

Ett filter på en boolesk algebra kallas ett ultrafilter om följande villkor är uppfyllt: $D$ $M$

$\forall x\in M:x\in D\vee {\bar {x}}\in D$ .

Ett filter på boolesk algebra kallas enkelt om det uppfyller villkoret: $D$ $M$

$\forall x,y\in M:(x\cup y)\in D\Rightarrow x\in D\vee y\in D$ .

Ett filter på en boolesk algebra sägs vara maximalt om det inte finns i något annat filter på . $D$ $M$ $M$

Filter på uppsättningar

Ett specialfall av ett filter är ett filter på en uppsättning. För varje uppsättning kan du definiera ett gitter av dess delmängder . Då definieras filtret på som en delmängd som uppfyller följande villkor [4] : $X$ $({\mathcal {P}}(X),\subseteq )$ $\mathfrak F$ $X$ ${\mathcal {P}}(X)$

${\mathfrak {F}}\neq \varnothing$
$\varnothing \notin {\mathfrak {F))$
skärningspunkten mellan två element ligger i $\mathfrak F$ $\mathfrak F$
supermängden av något element ligger i $\mathfrak F$ $\mathfrak F$

Ett vyfilter kallas ett uppsättningsgenererat filter . Ett filter som genereras av en uppsättning av ett element kallas huvudet . Huvudfiltret är ett ultrafilter. ${\mathfrak {F}}_{Z}=\{Y\in {\mathcal {P}}(X)\mid Z\subseteq Y\}$ $Z$

Filterbas

Låt vara ett filter på uppsättningen . En familj av delmängder kallas basen (basen) av filtret om något element i filtret innehåller något element av basen , det vill säga för någon som finns så att . I det här fallet sammanfaller filtret med familjen av alla möjliga superset av uppsättningar från . I synnerhet filter som har en gemensam bas är desamma. Det sägs också att basen genererar ett filter $\mathfrak F$ $X$ ${\mathfrak {B}}\subset {\mathfrak {F}}$ $\mathfrak F$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak B}$ $Y\in {\mathfrak {F}}$ $B\in {\mathfrak {B}}$ $B\subset Y$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak B}$ ${\mathfrak B}$ $\mathfrak F$

För att en familj av delmängder av en mängd ska vara basen för något filter på , är det nödvändigt och tillräckligt att följande villkor ( basaxiom ) är uppfyllda: ${\mathfrak {B}}=\{B\}$ $X$ $X$

${\mathfrak {B}}\neq \varnothing$ ;
$\varnothing \not \in {\mathfrak {B}}$ ;
för någon det finns sådan att $A,B\in {\mathfrak {B}}$ $C\in {\mathfrak {B}}$ $A\cap B\upset C$ .

Två baser och kallas ekvivalenta om något element innehåller något element , och vice versa, vilket element som helst innehåller något element . ${\mathfrak B}$ ${\mathfrak B}'$ $B\in {\mathfrak {B}}$ $B'\in {\mathfrak {B))'$ $B'\in {\mathfrak {B))'$ $B\in {\mathfrak {B}}$

Ekvivalenta baser genererar samma filter. Bland alla baser som motsvarar en given bas finns det en bas som är maximal med avseende på inkludering, nämligen filtret som genereras av denna bas . Det finns alltså en naturlig en-till-en-överensstämmelse mellan klasser av ekvivalenta baser och filter. ${\mathfrak B}$ $\mathfrak F$

Jämförelse av filter

Låt setet ha två filter och . Ett filter sägs majorisera ett filter ( starkare , tunnare ) om . I det här fallet sägs filtret också vara majoriserat av filtret ( svagare , grövre ). $X$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak {F))'$ ${\mathfrak {F))'$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak {F))'$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak {F))'$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak {F}}'\supset {\mathfrak {F}}$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak {F))'$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak {F))'$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak {F))'$

De säger att basen är starkare än basen , och skriver om något element innehåller något element . Basen är starkare än basen om och endast om filtret som genereras av basen är starkare än filtret som genereras av basen . ${\mathfrak B}'$ ${\mathfrak B}$ ${\mathfrak {B}}'\geqslant {\mathfrak {B}}$ $B\in {\mathfrak {B}}$ $B'\in {\mathfrak {B))'$ ${\mathfrak B}'$ ${\mathfrak B}$ ${\mathfrak {F))'$ ${\mathfrak B}'$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak B}$

Baser och är likvärdiga om och endast om både och . ${\mathfrak B}$ ${\mathfrak B}'$ ${\mathfrak {B}}'\geqslant {\mathfrak {B}}$ ${\mathfrak {B}}\geqslant {\mathfrak {B}}'$

Filter i topologiska utrymmen

Låt vara ett topologiskt utrymme och vara ett filter på uppsättningen . En punkt kallas gränsen för ett filter om något område av punkten tillhör filtret . Beteckning: . Om är den enda filtergränsen, skriv också . $(X,{\mathcal {T))$ $\mathfrak F$ $X$ $a\in X$ $\mathfrak F$ $V(a)$ $a$ $\mathfrak F$ $a\in \lim {\mathfrak {F}}$ $a$ $a=\lim {\mathfrak {F}}$

För ett filter som genereras av basen är punkten dess gräns om och endast om någon grannskap helt innehåller någon uppsättning från . $\mathfrak F$ ${\mathfrak B}$ $a$ $V(a)$ ${\mathfrak B}$

I ett Hausdorff- topologiskt utrymme kan ett filter ha högst en gräns. Det omvända är också sant: om varje filter har högst en gräns, är utrymmet Hausdorff.

En punkt kallas en gränspunkt (kontaktpunkt, partiell gräns) för filtret om den hör till stängningen av någon uppsättning från , det vill säga för alla . På motsvarande sätt, för alla områden i punkten och för alla , . Varje gränspunkt för ett ultrafilter är dess gräns. $a\in X$ $\mathfrak F$ $a$ $\mathfrak F$ $a\in {\overline {Y}}$ $Y\in {\mathfrak {F}}$ $V(a)$ $a$ $Y\in {\mathfrak {F}}$ $V(a)\cap Y\neq \varnothing$

I ett kompakt topologiskt utrymme har vilket filter som helst en gränspunkt och vilket ultrafilter som helst har en gräns.

Exempel

Uppsättningen av alla områden av en punkt i ett topologiskt utrymme är ett filter;
Om är en oändlig mängd, då är uppsättningen av komplement av finita mängder ett filter. Ett sådant filter kallas ett slutfilter eller Fréchet-filter . $X$
Om är en oändlig uppsättning av kardinalitet , då är uppsättningen av komplement av uppsättningar av kardinalitet också ett filter. $X$ $\mathfrak m$ $<{\mathfrak {m))$

Se även

Anteckningar

↑ H. Cartan, "Théorie des filtres" Arkiverad 11 maj 2015 på Wayback Machine , CR Acad. Paris , 205 , (1937) 595-598.
↑ H. Cartan, "Filtres et ultrafiltres" Arkiverad 14 oktober 2015 på Wayback Machine , CR Acad. Paris , 205 , (1937) 777-779.
↑ Lavrov, 1975 , sid. 22.
↑ Aleksandryan, 1979 , sid. 100.

Litteratur

Aleksandryan R. A. , Mirzakhanyan E. A. Allmän topologi. - M . : Högre skola, 1979. - 336 sid.
Lavrov I. A. , Maksimova L. L. Problem i mängdlära, matematisk logik och teori för algoritmer. — M .: Nauka, 1975. — 240 sid.