Fem elementformel (sfärisk geometri)

Formeln för fem element i sfärisk trigonometri uttrycker förhållandet mellan de fem elementen i en sfärisk triangel [1] .

Beskrivning

Hela den grundläggande uppsättningen formler för de fem elementen för olika vinklar och sidor i en triangel kan delas in i två grupper:

• Formler som relaterar tre sidor och två vinklar, även kända som formler för en sidas sinus och en vinkels cosinus . Här är en av dem [2] :

• Formler som relaterar tre vinklar och två sidor, även kända som formler för en vinkels sinus till en sidas cosinus . En av dem ser ut så här:

I formeln för en sidas sinus till en vinkels cosinus uttrycks sidan och vinkeln intill den i termer av de andra två sidorna och vinkeln mellan dem. För varje sida kan en av de två intilliggande vinklarna tas, så det finns sex sådana formler totalt.

I formeln för en vinkels sinus till en sidas cosinus uttrycks sidan och vinkeln intill den i termer av de två andra vinklarna och sidan intill dem. Det finns också sex sådana formler.

Varje formel för en vinkels sinus med en sidas cosinus är dubbel med en av formlerna för en sidas sinus med en vinkels cosinus, eftersom vinklarna och sidorna i en sfärisk triangel kompletteras till en utvecklad vinkel av sidorna och vinklarna för motsvarande polära triangel . Därför räcker det att bara bevisa formlerna för en sidas sinus och en vinkels cosinus. Dessutom erhålls de två formlerna för sinus för en sida till cosinus för en inkluderad vinkel och sinus för samma sida till cosinus för en annan inkluderad vinkel på exakt samma sätt. Och från dessa två formler erhålls de återstående fyra formlerna för sidans sinus till vinkelns cosinus med hjälp av en cirkulär permutation av bokstäverna:

Det räcker alltså att bevisa en av formlerna för en sidas sinus till en vinkels cosinus.

Bevis

Beviset kommer att utföras med hjälp av projektioner [1] . Figuren visar en sfärisk triangel ABC på en sfär med radien R centrerad på O. BP är vinkelrät mot storcirkelns plan som går genom sidan b , BM är vinkelrät mot OC , BN är vinkelrät mot OA . Med motsatsen till tre vinkelräta satsen är PM vinkelrät till OC , PN är vinkelrät till OA . Observera att vinkeln MPN är b, dessutom är BM = R sin a, BN = R sin c och OM = R cos a. Därefter projicerar vi den streckade linjen NOMP på linjen som innehåller NP .

Vi ersätter de fyra sista uttrycken med det första och får:

Applikation

Genom att tillämpa formeln för fem element tillsammans med några andra formler för sfärisk trigonometri kan man till exempel få formler för omvandling mellan himmelska koordinatsystem : horisontell , ekvatorial, ekliptik och galaktisk [3] .

Historik

Formeln för fem element härleddes av Leonhard Euler på 1700-talet [4] .

Anteckningar

1. ↑ 1 2 Stepanov N.N. Formler för fem element // Sfärisk trigonometri . - M. - L .: OGIZ , 1948. - S.  32 -35. — 154 sid.
2. ↑ Spherical Trigonometry Arkiverad 28 februari 2021 på Wayback Machine på MathWorlds webbplats
3. ↑ Tsesevich V.P. Vad och hur man observerar på himlen. - 6:e uppl. - M . : Nauka , 1984. - S. 68-74. — 304 sid.
4. ↑ Sfärisk trigonometri // Stora sovjetiska encyklopedin  : [i 30 volymer]  / kap. ed. A. M. Prokhorov . - 3:e uppl. - M .  : Soviet Encyclopedia, 1969-1978.