Euler-karaktär

Euler-karaktäristiken eller Euler-Poincaré- egenskapen är ett heltalsegenskap för ett topologiskt utrymme . Euler-karaktäristiken för rymden betecknas vanligtvis med . $X$ $\chi (X)$

Definitioner

För ett ändligt cellkomplex (särskilt för ett ändligt förenklat komplex ) kan Euler-karakteristiken definieras som en alternerande summa $\chi =k_{0}-k_{1}+k_{2}-...,$

där anger antalet celler med dimension .

k_i

i

Euler-karakteristiken för ett godtyckligt topologiskt utrymme kan definieras i termer av Betti-talen som en alternerande summa: $b_n$ $\chi =b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+\,...$

Denna definition är bara meningsfull om alla Betti-tal är ändliga och försvinner för alla tillräckligt stora index.

Den sista definitionen generaliserar den föregående och generaliserar till andra homologier med godtyckliga koefficienter.

Egenskaper

Euler-egenskapen är en homotopi-invariant ; det vill säga det bevaras under homotopi-ekvivalens av topologiska utrymmen.
- I synnerhet är Euler-karaktäristiken en topologisk invariant.
Euler-karakteristiken för varje sluten grenrör med udda dimension är lika med noll [1] .
Eulerkarakteristiken för produkten av de topologiska utrymmena M och N är lika med produkten av deras Eulerkarakteristika:

\chi (M\ gånger N)=\chi (M)\cdot \chi (N).

Euler karakteristisk för polyedrar

Euler-karakteristiken för tvådimensionella topologiska polyedrar kan beräknas med formeln där Г, Р och В är antalet ytor, kanter respektive hörn. Speciellt för en enkelt ansluten polyeder är Eulers formel sann : $\chi =\Gamma -\mathrm {P} +\mathrm {B} ,$ $\Gamma -\mathrm {P} +\mathrm {B} =\chi (S^{2})=2.$

Till exempel är Euler-karakteristiken för en kub 6 − 12 + 8 = 2, och för en triangulär pyramid 4 − 6 + 4 = 2.

Gauss-Bonnet formel

För ett kompakt tvådimensionellt orienterat Riemann-grenrör (yta) utan gräns finns Gauss-Bonnet-formeln , som relaterar Euler-karaktäristiken till grenrörets Gaussiska krökning : $S$ $\chi (S)$ $K$

\int \limits _{S}K\;d\sigma =2\pi \chi (S),

var är ytarea elementet . $d\sigma$ $S$

Det finns en generalisering av Gauss-Bonnet-formeln för ett tvådimensionellt grenrör med gräns.
Det finns en generalisering av Gauss-Bonnet-formeln till en jämndimensionell Riemann-manifold , känd som Gauss-Bonnet-Chern-satsen eller den generaliserade Gauss-Bonnet-formeln .
Det finns också en diskret analog till Gauss-Bonnet-satsen, som säger att Euler-karakteristiken är lika med summan av defekter i polyedern dividerat med [2] . $2\pi$
Det finns kombinatoriska analoger av Gauss-Bonnet-formeln.

Orienterbara och icke-orienterbara ytor

Euler-karakteristiken för en sluten orienterbar yta är relaterad till dess släkte g (antalet handtag , det vill säga antalet tori i den sammankopplade summan som representerar denna yta) av relationen

\chi =2-2g.\

Euler-karakteristiken för en sluten icke-orienterbar yta är relaterad till dess icke-orienterbara genus k (antalet projektiva plan i den sammankopplade summan som representerar denna yta) genom relationen

\chi =2-k.\

Värdet för Euler-karaktäristiken

namn	Se	Euler-karaktär
Linjesegmentet		ett
Cirkel		0
En cirkel		ett
sfär		2
torus (produkt av två cirklar)		0
dubbel torus		−2
trippel torus		−4
Riktigt projektivt plan		ett
Möbiusremsa		0
Klein flaska		0
Två sfärer (bortkopplad)		2 + 2 = 4
Tre sfärer		2 + 2 + 2 = 6

Historik

År 1752 publicerade Euler [3] en formel som relaterar till antalet ytor av en tredimensionell polyeder. I originalverket ges formeln i formuläret

S+H=A+2,

där S är antalet hörn, H är antalet ytor, A är antalet kanter.

Tidigare finns denna formel i manuskripten av René Descartes , publicerade på 1700-talet.

1812 utökade Simon Lhuillier denna formel till polyedrar med "hål" (till exempel till kroppar som en tavelram). I Lhuilliers arbete läggs termen där är antalet hål (" släktet av ytan ") till till höger om Eulers formel . Bildramstest: 16 ytor, 16 hörn, 32 kanter, 1 hål: $(-2g),$ $g$ $16+16=32+2-2\cdot 1.$

År 1899 generaliserade Poincaré [4] denna formel till fallet med en N -dimensionell polytop:

\summa _{{i=0}}^{{N-1}}{(-1)}^{i}A_{i}=1+{(-1)}^{{N-1}},

där är antalet i -dimensionella ytor av en N -dimensionell polyeder. $A_{i}$

Om vi betraktar polyedern själv som sin egen unika yta av dimensionen N , kan formeln skrivas i en enklare form:

\summa _{{i=0}}^{{N}}{(-1)}^{i}A_{i}=1.

Variationer och generaliseringar

Dehn-Somervilles ekvationer är en komplett uppsättning linjära relationer för antalet ytor av olika dimensioner i en enkel polyeder.

Se även

Lista över föremål uppkallade efter Leonhard Euler

Anteckningar

↑ Richeson 2008, sid. 261
↑ Praktisk polygonal nätmodellering med diskret gaussisk-bonetsats
↑
L. Euler Demonstratio nonnullarum insignium proprietatum, quibus solida hedris planis inclusa sunt praedita . Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae 4:140-160, 1758. Presenterad för St. Petersburg Academy den 6 april 1752 . Opera Omnia 1(26): 94-108.
- Engelsk översättning: Leonhard Euler Bevis på några anmärkningsvärda egenskaper med vilka fasta ämnen omslutna av plana ansikten är utrustade . (Översatt av Christopher Francese och David Richeson)
↑ H. Poincaré, Sur la generalization d'un théorème d'Euler relatif aux polyèdres, Compt. Rämna. Acad. Sci 117 (1893), 144-145; Oeuvres, vol. XI, 6-7.

Litteratur

Dolbilin N. Tre satser om konvexa polyedrar // Kvant . - 2001. - Nr 5 . - S. 7-12 .
Lakatos I. Bevis och motbevisning. Hur satser bevisas / Per. I. N. Veselovsky. - M . : Nauka, 1967.
Shashkin Yu. A. Euler karaktäristisk . - M . : Nauka, 1984. - T. 58. - ( Populära föreläsningar om matematik ).
Yu. M. Burman Eulers karaktäristiska sommarskola "Modern Mathematics", 2012, Dubna

Ordböcker och uppslagsverk	Britannica (online)