Chi distribution

chi distribution
Sannolikhetstäthet
distributionsfunktion
alternativ	$k>0\,$ (grader av frihet)
Bärare	$x\in [0,\infty )$
Sannolikhetstäthet	${\frac {1}{2^{(k/2)-1}\Gamma (k/2)))\;x^{k-1}e^{-x^{2}/2 }$
distributionsfunktion	$P(k/2,x^{2}/2)\,$
Förväntat värde	$\mu ={\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)))$
Median	handla om ${\displaystyle {\sqrt {k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3))))$
Mode	${\sqrt {k-1}}\,$ om $k\geq 1$
Dispersion	$\sigma ^{2}=k-\mu ^{2}\,$
Asymmetrikoefficient	$\gamma _{1}={\frac {\mu }{\sigma ^{3))}\,(1-2\sigma ^{2})$
Kurtos koefficient	${\frac {2}{\sigma ^{2}}}(1-\mu \sigma \gamma _{1}-\sigma ^{2})$
Differentialentropi	$\ln(\Gamma (k/2))+\,$ ${\frac {1}{2}}(k\!-\!\ln(2)\!-\!(k\!-\!1)\psi _{0}(k/2) )$
Genererande funktion av moment	Se i text
karakteristisk funktion	Se i text

Chi-fördelning är en kontinuerlig sannolikhetsfördelning av en slumpvariabel som är kvadratroten ur summan av kvadraterna av oberoende normala slumpvariabler. Det är relaterat till chi-kvadratfördelningen och är fördelningen av kvadratroten av en slumpvariabel fördelad enligt lagen . $\chi ^{2}$

Om de är oberoende, normalfördelade stokastiska variabler med noll matematisk förväntan (medelvärde) och varians lika med 1, då ${\displaystyle Z_{1},\ldots ,Z_{k))$

{\displaystyle Y={\sqrt {\sum _{i=1}^{k}Z_{i}^{2))))

fördelas enligt chilagen. Följaktligen, om uppskattningen av standardavvikelsen divideras med , där är medelvärdet av chi-fördelningen, kommer en opartisk uppskattning av standardavvikelsen för normalfördelningen att erhållas. Chi-fördelningen har en parameter - , som anger antalet frihetsgrader (det vill säga antalet ). $s$ $\mu _{1}/{\sqrt {n-1))$ ${\displaystyle \mu _{1))$ $k$ $Z_{i}$

De mest kända exemplen är Rayleigh-fördelningen (antalet frihetsgrader är två) och Maxwell-Boltzmann-statistiken (antalet frihetsgrader är tre).

Definition

Sannolikhetstäthet

Sannolikhetstätheten för chi-fördelningen är

f(x;k)={\begin{cases}{\dfrac {x^{k-1}e^{-x^{2}/2}}{2^{k/2-1} \Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}},&x\geqslant 0;\\0,&x<0.\end{cases}}

var är gammafunktionen . $\Gamma(z)$

Distributionsfunktion

Distributionsfunktionen är:

F(x;k)=P(k/2,x^{2}/2)\,

var är den reguljära gammafunktionen . $P(k,x)$

Genererar funktioner

Momentens genererande funktion är:

M(t)=M\left({\frac {k}{2)),{\frac {1}{2)),{\frac {t^{2}}{2}}\right )+t{\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)))M\left({\frac {k+1} {2)),{\frac {3}{2)),{\frac {t^{2}}{2}}\right),

var är den degenererade Kummer hypergeometriska funktionen . Den karakteristiska funktionen är: $M(a,b,z)$

\varphi (t;k)=M\left({\frac {k}{2)),{\frac {1}{2)),{\frac {-t^{2)){2 }}\right)+it{\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)))M\left({\frac { k+1}{2)),{\frac {3}{2)),{\frac {-t^{2}}{2}}\right).

Egenskaper

Moments

Momenten beräknas med formeln:

\mu _{j}=2^{j/2}{\frac {\Gamma ((k+j)/2)}{\Gamma (k/2)))

var är gammafunktionen . De första sex momenten ges av följande formler: $\Gamma(z)$

\mu _{1}={\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k\!+\!1)/2)}{\Gamma (k/2)} }

\mu _{2}=k\,

\mu _{3}=2{\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k\!+\!3)/2)}{\Gamma (k/2) }}=(k+1)\mu _{1}

\mu _{4}=k(k+2)\,

\mu _{5}=4{\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k\!+\!5)/2)}{\Gamma (k/2) }}=(k+1)(k+3)\mu _{1}

\mu _{6}=k(k+2)(k+4)\,

där högerhandsuttrycken erhålls med hjälp av återfallsrelationen för gammafunktionen:

\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)\,

Även från dessa uttryck kan följande formler erhållas:

Genomsnitt : $\mu ={\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)))$

Varians : - från uttrycken för de två första ögonblicken. $\sigma ^{2}=k-\mu ^{2}\,$

Asymmetrikoefficient : $\gamma _{1}={\frac {\mu }{\sigma ^{3))}\,(1-2\sigma ^{2})$

Kurtos koefficient : $\gamma _{2}={\frac {2}{\sigma ^{2))}(1-\mu \sigma \gamma _{1}-\sigma ^{2})$

Entropi

Differentialentropin ges av formeln:

S=\ln(\Gamma (k/2))+{\frac {1}{2))(k\!-\!\ln(2)\!-\!(k\!-\ !1)\psi ^{0}(k/2))

var är polygammafunktionen . $\psi ^{0}(z)$

Relation med andra distributioner

Om , då ( chi-kvadratfördelning ) ${\displaystyle X\sim \chi _{k))$ ${\displaystyle X^{2}\sim \chi _{k}^{2))$
$\lim _{k\to \infty }{\tfrac {\chi _{k}-\mu _{k)){\sigma _{k))}{\xrightarrow {d))\ N( 0,1)\,$ ( normalfördelning )
Om , då $X\sim N(0,1)\,$ $|X|\sim \chi _{1}\,$
Om , då ( seminormalfördelning ) för någon $X\sim \chi _{1}\,$ $\sigma X\sim HN(\sigma )\,$ $\sigma >0\,$
$\chi _{2}\sim \mathrm {Rayleigh} (1)\,$ ( Rayleigh distribution )
$\chi _{3}\sim \mathrm {Maxwell} (1)\,$ ( Maxwell distribution )
$\|{\boldsymbol {N}}_{i=1,\ldots ,k}{(0,1)}\|_{2}\sim \chi _{k}$ ( den andra normen för standard normala slumpvariabler är en chi-fördelning med frihetsgrader) $k$ $k$
Chi-fördelningen är ett specialfall av gammafördelningen , Nakagami -fördelningen och den icke-centrala chi-fördelningen .

Typer av chi- och chi-kvadratfördelningar

namn	Statistik
chi-kvadratfördelning	$\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}$
icke-central chi-kvadratfördelning	$\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}$
chi distribution	${\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i)){\sigma _{i))}\right) ^{2}}}$
icke-central chi-distribution	${\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}$

Se även

Nakagami distribution

Litteratur

Martha L. Abell, James P. Braselton, John Arthur Rafter, John A. Rafter, Statistics with Mathematica (1999), 237f.
Jan W. Gooch, Encyclopedic Dictionary of Polymers vol. 1 (2010), bilaga E, sid. 972 .

Länkar

http://mathworld.wolfram.com/ChiDistribution.html