Weierstrass elliptiska funktioner

Weierstrass elliptiska funktioner är en av de enklaste elliptiska funktionerna . Denna klass av funktioner (beroende på den elliptiska kurvan) är uppkallad efter Karl Weierstrass . De kallas också Weierstrass -funktioner, och en symbol (stiliserat P ) används för att beteckna dem. $\wp$ $\wp$

Definition

Låt en elliptisk kurva ges , var är ett gitter i . Då är Weierstrass-funktionen på den en meromorf funktion definierad som summan av serien $E={\mathbb {C}}/\Gamma$ $\Gamma$ $\mathbb {C}$ $\wp$

\wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+\summa _{{w\in \Gamma \setminus \{0\}}}\left({\frac {1}{(zw)^{2}}}-{\frac {1}{w^{2}}}\right).

Det kan ses att den sålunda definierade funktionen kommer att vara -periodisk på , och därför är en meromorf funktion på . $\Gamma$ $\mathbb {C}$ $E$

Serien som definierar Weierstrass-funktionen är i viss mening en "regulariserad version" av den divergerande serien - ett "naivt" försök att definiera en -periodisk funktion. Detta senare divergerar absolut (och i avsaknad av en naturlig ordning på det är det meningsfullt att bara tala om absolut konvergens) för alla z, eftersom för ett fast z och för stort w fungerar modulerna av dess termer som , och summan över en tvådimensionellt gitter divergerar. $\sum _{{w\in \Gamma }}{\frac {1}{(zw)^{2}}}$ $\Gamma$ $\Gamma$ ${\frac {1}{|w|^{2}}}$ $\sum _{{w\in \Gamma }}{\frac {1}{|w|^{2}}}$ $\Gamma$

Definitionsvarianter

Att sätta gallret som grund, , kan vi skriva $\Gamma$ $\Gamma =\{m\omega _{1}+n\omega _{2}\mid m,n\in {\mathbb {Z}}\}$

\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})={\frac {1}{z^{2))}+\summa _{{(m,n)\i {\mathbb {Z}}^{2}\setminus \{(0,0)\}}}\left({\frac {1}{(zm\omega _{1}-n\omega _{2})^{ 2))}-{\frac {1}{(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{2}}}\right).

Dessutom, eftersom Weierstrass-funktionen som en funktion av tre variabler är homogen , vilket betecknar , har vi likheten $\wp (az;a\omega _{1},a\omega _{2})=a^{{-2}}\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})$ $\tau =\omega _{2}/\omega _{1}$

\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})=\omega _{1}^{{-2}}\wp (z/\omega _{1};1,\tau ) .

Överväg därför

\wp (z;\tau )=\wp (z;1,\tau )={\frac {1}{z^{2}}}+\summa _{{(m,n)\i {\mathbb {Z}}^{2}\setminus \{(0,0)\}}}\left({\frac {1}{(zmn\tau )^{2}}}-{\frac {1}{ (m+n\tau )^{2}}}\höger).

Egenskaper

Weierstrass-funktionen är en jämn meromorf funktion på en elliptisk kurva E, med en enda andra ordningens pol vid 0. $\wp _{E}:E\mapsto \widehat {{\mathbb {C}}}$
Som en meromorf kartläggning av grad 2 definierar den en tvåarksförgrenad täckning av Riemann-sfären av torus E. Denna täckning har fyra förgreningspunkter : oändlighet och tre kritiska värden . Dessa fyra värden är bilderna av de fyra punkterna som lämnats på plats av automorfismen av kurvan E - punkten 0 och de tre halvperioderna . Således implementerar Weierstrass-funktionen en isomorfism (eller, mer precist, går ner till en isomorfism) mellan den topologiska sfären (som ärver en komplex struktur med E) och Riemann-sfären . $e_{1},e_{2},e_{3}$ $z\mapsto -z$ $\omega _{1}/2,\omega _{2}/2,(\omega _{1}+\omega _{2})/2$ $E/(z\mapsto -z)$ $\widehat {{\mathbb {C}}}$
Genom att använda expansionen och summeringen kan vi erhålla expansionen vid punkten av Weierstrass-funktionen till en Laurent-serie: ${\frac {1}{(wz)^{2}}}={\frac {1}{w^{2}}}+\summa \nolimits _{{j=1}}^{{\infty } }{\frac {j+1}{w^{{j+2))))z^{j}$ $w\in \Gamma \setminus \{0\}$ $z=0$

$\wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+\summa _{{k=2}}^{{\infty }}(2k+1)G_{{ 2k}}(\Gamma )z^{{2k-2}},$ var är Eisenstein-serien för gittret (motsvarande udda summor är lika med noll). $G_{{2k}}(\Gamma )=\summa _{{w\in \Gamma \setminus \{0\}}}w^{{-2k}}$ $\Gamma$

Koefficienterna vid och skrivs dock ofta i en annan, traditionell, normalisering relaterad (se nedan) till inbäddningen av en elliptisk kurva i : $z^{2}$ $z^{4}$ ${\mathbb {C}}P^{2}$

\wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+{\frac {1}{20}}g_{2}(\Gamma )z^{2}+{ \frac {1}{28}}g_{3}(\Gamma )z^{4}+\dots ,

var och är de modulära invarianterna för gittret : $g_{2}$ $g_{3}$ $\Gamma$

g_{2}(\Gamma )=60G_{4}(\Gamma ),\quad g_{3}(\Gamma )=140G_{6}(\Gamma ).

Inbäddning av elliptiska kurvor i ${\mathbb {C}}P^{2}$

Weierstrass-funktionerna låter dig konstruera en inbäddning av en elliptisk kurva i , genom att presentera en ekvation som definierar bilden. Detta upprättar en överensstämmelse mellan de "algebraiska" och "topologiska" vyerna av den elliptiska kurvan - vilket gör att du kan bädda in den elliptiska kurvan i och explicit skriva ut ekvationen som definierar bilden. ${\mathbb {C}}P^{2}$ $E={\mathbb {C}}/\Gamma$ ${\mathbb {C}}P^{2}$

Betrakta nämligen mappningen som ges utanför punkten som Eftersom funktionen är meromorf sträcker sig denna mappning till en holomorf mappning från till . $F:E\to {\mathbb {C}}P^{2}$ $z=0$ $F(z)=(\wp (z),\wp '(z))\in {\mathbb {C}}^{2}.$ $\wp$ $E$ ${\mathbb {C}}P^{2}$

Bilden av denna mappning kan uttryckligen anges. Den enda polen för både funktionen och funktionen är nämligen punkten . Eftersom den är en jämn funktion är den dessutom udda och följaktligen jämn. Funktionen har en andra ordningens pol vid noll - så polerna kan tas bort genom att subtrahera en linjär kombination av potenser . Att explicit välja koefficienterna från expansionerna $\wp (z)$ $\wp '(z)$ $z=0$ $\wp (z)$ $\wp '(z)$ $(\wp '(z))^{2}$ $\wp (z)$ $(\wp')^{2}$ $\wp$

\wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+{\frac {1}{20}}g_{2}(\Gamma )z^{2}+{ \frac {1}{28}}g_{3}(\Gamma )z^{4}+\dots ,

(\wp '_{E}(z))^{2}=\left(-{\frac {2}{z^{3}}}+{\frac {1}{10}}g_{2} (\Gamma )z+{\frac {1}{7}}g_{3}(\Gamma )z^{3}+\dots \right)^{2}={\frac {4}{z^{6 ))}-{\frac {2}{5}}g_{2}(\Gamma ){\frac {1}{z^{2}}}-{\frac {4}{7}}g_{3 }(\Gamma )+\dots ,

vi ser att skillnaden

\varphi (z)=(\wp _{E}'(z))^{2}-4\wp _{E}^{3}(z)+g_{2}(E)\wp (z)

är icke-singular vid en punkt . Men det är också holomorft utanför (eftersom och är holomorft ), så det är en holomorf funktion på hela den kompakta Riemann-ytan . I kraft av maximiprincipen är det en konstant. Slutligen, från samma expansion vid noll, finner vi dess värde - det visar sig vara lika med . Slutligen övergår funktionen till den identiska nollan. Således är bilden av kartläggningen en elliptisk kurva som ges av ekvationen $z=0$ $\varphi (z)$ $z=0$ $\wp$ $\wp'$ $\varphi (z)$ $E$ $\varphi (z)$ $-g_{3}(E)$ $(\wp '(z))^{2}-4\wp ^{3}(z)+g_{2}(E)\wp (z)+g_{3}(E)$ $E$ $F$ ${\mathbb {C}}P^{2}$

y^{2}=4x^{3}-g_{2}(E)x-g_{3}(E).

Strängt taget är de "historiska" koefficienterna 60 och 140, som förbinder de modulära invarianterna och med motsvarande summor av inversa potenser och , sammankopplade med just detta : på grund av ett så traditionellt val av normalisering, i ekvationen för kurvan och är exakt koefficienten för och är den fria termen. $g_{2}$ $g_{3}$ $G_{2}(E)$ $G_{3}(E)$ $g_{2}$ $g_{3}$ $x$

Holomorfa former, periodgitter och invers avbildning

För en elliptisk kurva är det gitter som definierar den inte unikt definierat: det definieras upp till proportionalitet. Gittret motsvarar dock en-till-en till paret , där är en holomorf 1-form som inte är noll på : man kan ta projektionen på formerna på , sedan återställs den som en uppsättning av alla möjliga integraler över slingor på torus : $E$ $\Gamma$ $(E,\omega)$ $\omega$ $E$ $\omega$ $E$ $dz$ $\mathbb {C}$ $\Gamma$ $\omega$ $E$

\Gamma =\left\{\int _{{\gamma }}\omega \mid \gamma \in H_{1}(E)\right\}

Det finns en holomorf form på den elliptiska kurvan , som är bilden av kartläggningen . Det är lätt att se att det är exakt bilden av formuläret på när det visas . Detta gör att vi kan dra flera slutsatser samtidigt: $y^{2}=4x^{3}+g_{2}(E)x+g_{3}(E)$ $F=(\wp _{E},\wp '_{E})$ $\omega ={\frac {dx}{y}}$ $dz$ $E$ $F$

Den omvända mappningen till mappningen söks som en integral av formen : $F$ $\omega$

z(x,y)=\int _{{\infty }}^{{(x,y))){\frac {dx}{y}},

där integration utförs längs en bana som ligger på en elliptisk kurva . Punkten i oändligheten på kurvan väljs som början av integrationsvägen, eftersom det är F-bilden av punkten , och att ändra valet av vägen till en annan leder till en förändring i resultatet till ett element i period gitter . $F(E)$ $F(E)$ $z=0$ $\Gamma$

Den omvända mappningen till Weierstrass-funktionen ges av

\wp _{E}^{{-1}}(x)=\int _({\infty }}^{x}{\frac {dx}{\pm {\sqrt {4x^{3}+g_ {2}(E)x+g_{3}(E)}}}}.

(valet av tecknet motsvarar valet av en av de två förbilderna på den elliptiska kurvan, och en förändring i integrationsvägen leder till en förskjutning av den beräknade förbilden av elementet ). $\Gamma$

Gallret rekonstrueras som en uppsättning formintegraler över alla möjliga slutna banor på en elliptisk kurva . $\Gamma$ ${\frac {dx}{y))$ $y^{2}=4x^{3}+g_{2}(E)x+g_{3}(E)$

Lägga till punkter på en elliptisk kurva

En elliptisk kurva är (eller, mer exakt, kan göras för att vara) en abelian grupp genom addition. För en "algebraisk" representation är detta helt enkelt punkttillägg . För "geometrisk" - som inbäddad i en kurva - ges detta tillägg genom att välja en oändligt avlägsen punkt som noll och regeln "tre punkter som ligger på en rät linje summerar till noll." $E={\mathbb {C}}/\Gamma$ $\mathbb {C}$ ${\mathbb {C}}P^{2}$ $y^{2}=4x^{3}+px+q$

Det är naturligt att förvänta sig att kartläggningen konstruerad från Weierstrass-funktionen omvandlar den algebraiskt givna additionen till den geometriskt givna, vilket är fallet. Detta (eftersom kolineariteten för tre punkter ges genom att vrida determinanten till noll) motsvarar följande relation: $F=(\wp(z),\wp '(z))$

\det {\begin{bmatrix}\wp (u)&\wp '(u)&1\\\wp (v)&\wp '(v)&1\\\wp (w)&\wp '(w) &1\end{bmatrix}}=0

för någon . Med tanke på den jämna och udda pariteten kan den också skrivas som $u+v+w=0$ $\wp$ $\wp'$

\det {\begin{bmatrix}\wp (z)&\wp '(z)&1\\\wp (w)&\wp '(w)&1\\\wp (z+w)&-\wp ' (z+w)&1\end{bmatrix}}=0

Tillämpningar i holomorf dynamik

Med hjälp av Weierstrass -funktionen konstruerar vi ett exempel på Latte - ett exempel på en rationell kartläggning av Riemann-sfären i sig själv, vars Fatou -mängd är tom (och därför vars dynamik är kaotisk överallt). Med tanke på , kan vi överväga fördubblingskartan på torus : $\wp$ $\Gamma ={\mathbb {Z}}[i]=\{a+bi\mid a,b\in {\mathbb {Z}}\}$ $D$ $E={\mathbb {C}}/\Gamma$

D(z)=2z\,\mod {\mathbb {Z}}[i].

Denna kartläggning är kaotisk överallt - ett godtyckligt litet område täcker hela torusen efter ett begränsat antal iterationer.

Å andra sidan sjunker mappningen korrekt till faktorn . Därför är mappningen D av mappningen semi-adjoint till någon rationell mappning : $D$ $S^{2}=E/(z\sim -z)$ $\wp$ $R:{\mathbb {C}}P^{1}\to {\mathbb {C}}P^{1}$

\wp \circ D=R\circ \wp .

Med andra ord,

R(z)=\wp (2\wp ^{{-1}}(z)).

För en sådan kartläggning täcker bilderna av små stadsdelar också hela Riemanns sfär efter ett begränsat antal iterationer. Därför är Julia -uppsättningen respektive Fatou-uppsättningen tomma. $R$ $J(R)={\mathbb {C}}P^{1}$

Slutligen är det lätt att se att graden av mappningen är fyra (eftersom m Laurent-serien för (och följaktligen för ). $R$ $z\mapsto 2z$ $R$ $R$ $\wp$ $\wp ^{{-1}}$

Anteckningar

Länkar

Weisstein, Eric W. Weierstrass Elliptic Function (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .

Litteratur

J. Hubbard, I. Pourezza, The space of closed subgroups of , Topology 18 (1979), nr. 2, sid. 143-146. $\mathbb {R} ^{2}$
Lavrentiev M. A., Shabat B. V., Metoder för teorin om funktioner för en komplex variabel.
A. F. Beardon, Iteration of Rational Functions: Complex Analytic Dynamical Systems, Springer-Verlag, Berlin, New York, Heidelberg, 2009, ISBN 0-387-95151-2