Wigner D-matris

$D$ Wigner-matrisen är matrisen för den irreducerbara representationen av SU(2) - och SO(3) -grupperna . Den komplexa konjugationen av -matrisen är en egenfunktion av Hamiltonian av sfäriska och symmetriska stela rotatorer. Matrisen introducerades 1927 av Eugene Wigner . $D$

Definition av Wigner D- matrisen

Låt , , vara generatorer av Lie-algebran och . Inom kvantmekaniken är dessa tre operatorer komponenter i en vektoroperator som kallas vinkelmomentum . Exempel är rörelsemängden hos en elektron i en atom , elektronspinningen och rörelsemängden hos en stel rotator. I samtliga fall uppfyller de tre operatorerna följande kommuteringsrelationer $J_{x}$ $J_{y}$ $J_{z}$ ${\mathrm {SU}}(2)$ ${\mathrm {SO}}(3)$

[J_{x},\;J_{y}]=iJ_{z},\quad [J_{z},\;J_{x}]=iJ_{y},\quad [J_{y} ,\;J_{z}]=iJ_{x},

där är ett rent imaginärt tal och Plancks konstant har satts lika med ett. Operatör $i$ $\hbar$

{\displaystyle J^{2}=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2))

är Casimir-operatör för (eller , i förekommande fall). Den kan diagonaliseras tillsammans med (Valet av denna operatör bestäms av konventionen), som pendlar med . Det vill säga det kan visas att det finns en komplett uppsättning kets med ${\mathrm {SU}}(2)$ ${\mathrm {SO}}(3)$ $J_{z}$ $J^{2}$

J^{2}|jm\rangle =j(j+1)|jm\rangle ,\quad J_{z}|jm\rangle =m|jm\rangle ,

var och . För kvanttalet är ett heltal. $j=0,\ 1/2,\ 1,\ 3/2,\ 2,\ \ldots$ $m=-j,\ -j+1,\ldots ,\ j$ ${\mathrm {SO}}(3)$ $j$

Rotationsoperatorn kan skrivas som

{\mathcal {R}}(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma )=e^{-i\gamma J_{z}}e^{-i\beta J_{y}}e ^{-i\alpha J_{z}},

var är Euler-vinklarna . $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$

$D$ -Wigner-matris är en kvadratisk matris av dimension med ett gemensamt element $2j+1$

D_{m'm}^{j}(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma )\equiv \langle jm'|{\mathcal {R))(\alpha ,\beta ,\gamma )|jm\rangle =e^{-im'\gamma }d_{m'm}^{j}(\beta )e^{-im\alpha }.

Matris med gemensamt element

d_{m'm}^{j}(\beta )=\langle jm'|e^{-i\beta J_{y}}|jm\rangle

känd som den lilla Wigner-matrisen. $d$

Lista över d -matriselement

för $j=1/2$

$d_{1/2,\;1/2}^{1/2}=\cos(\theta /2)$
$d_{1/2,\;-1/2}^{1/2}=-\sin(\theta /2)$

för $j=1$

$d_{1,\;1}^{1}={\frac {1+\cos \theta }{2}}$
${\displaystyle d_{1,\;0}^{1}={\frac {-\sin \theta }{\sqrt {2))))$
$d_{1,\;-1}^{1}={\frac {1-\cos \theta }{2))$
$d_{0,\;0}^{1}=\cos \theta$

för $j=3/2$

$d_{3/2,\;3/2}^{3/2}={\frac {1+\cos \theta }{2))\cos {\frac {\theta }{2))$
$d_{3/2,\;1/2}^{3/2}=-{\sqrt {3}}{\frac {1+\cos \theta }{2}}\sin {\frac {\theta }{2))$
$d_{3/2,\;-1/2}^{3/2}={\sqrt {3}}{\frac {1-\cos \theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2))$
$d_{3/2,\;-3/2}^{3/2}=-{\frac {1-\cos \theta }{2))\sin {\frac {\theta }{2 }}$
$d_{1/2,\;1/2}^{3/2}={\frac {3\cos \theta -1}{2))\cos {\frac {\theta }{2} }$
$d_{1/2,\;-1/2}^{3/2}=-{\frac {3\cos \theta +1}{2))\sin {\frac {\theta }{ 2}}$

för [1] $j=2$

$d_{2,\;2}^{2}={\frac {1}{4}}\left(1+\cos \theta \right)^{2}$
$d_{2,\;1}^{2}=-{\frac {1}{2}}\sin \theta \left(1+\cos \theta \right)$
$d_{2,\;0}^{2}={\sqrt {\frac {3}{8))}\sin ^{2}\theta$
$d_{2,\;-1}^{2}=-{\frac {1}{2}}\sin \theta \left(1-\cos \theta \right)$
$d_{2,\;-2}^{2}={\frac {1}{4}}\left(1-\cos \theta \right)^{2}$
$d_{1,\;1}^{2}={\frac {1}{2}}\left(2\cos ^{2}\theta +\cos \theta -1\right)$
$d_{1,\;0}^{2}=-{\sqrt {\frac {3}{8))}\sin 2\theta$
$d_{1,\;-1}^{2}={\frac {1}{2}}\left(-2\cos ^{2}\theta +\cos \theta +1\right)$
$d_{0,\;0}^{2}={\frac {1}{2}}\left(3\cos ^{2}\theta -1\right)$

Elementen i Wigner-matrisen med inversa sänkningar hittas av följande relation: $d$

d_{m',\;m}^{j}=(-1)^{mm'}d_{m,\;m'}^{j}=d_{-m,\;-m' }^{j}

Se även

Clebsch-Gordan koefficienter

Anteckningar

↑ Edén, M. Datorsimuleringar i solid-state NMR. I. Spin dynamics theory (engelska) // Concepts Magn. Reson. : journal. - 2003. - Vol. 17A , nr. 1 . - S. 117-154 . - doi : 10.1002/cmr.a.10061 .