Associerad familj

Den associerade familjen (eller Bonnet -familjen ) av en minimal yta är en enparameterfamilj av minimala ytor som delar samma Weierstrass-data [1] . Det vill säga om ytan har en representation

x_{k}(\zeta )=\Re \left\{\int _{0}^{\zeta}\varphi _{k}(z)\,dz\right\}+c_{k} ,\qquad k=1,2,3

familjen beskrivs med formeln

x_{k}(\zeta ,\theta )=\Re \left\{e^{i\theta}\int _{0}^{\zeta }\varphi _{k}(z)\, dz\right\}+c_{k},\qquad \theta \in [0,2\pi ]

När ytan kallas den konjugerade ytan [2] . $\theta =\pi /2$ $\theta=0$

Transformationen kan ses som en lokal rotation av de huvudsakliga krökningsriktningarna . Ytnormalerna för en fixpunkt förblir oförändrade när . Själva punkten rör sig längs en ellips . $\zeta$ $\theta$

Några exempel på associerade ytfamiljer är familjerna av katenoider och helikoider , familjerna Schwartz P , Schwartz D och gyroidea samt familjerna av den första och andra Scherk -ytan . Ennepers yta är konjugerad med sig själv - den förblir oförändrad när . $\theta$

Konjugerade ytor har följande egenskap: varje rak linje på ytan reflekteras till en plan geodetisk linje på den konjugerade ytan och vice versa. Om en del av ytan begränsas av en rät linje, så är den konjugerade delen avgränsad av en platt symmetrilinje. Detta är användbart när man konstruerar minimala ytor genom att passera till det dubbla utrymmet: begränsning av plan är ekvivalent med begränsning av polygon [3] .

Det finns analoger till associerade familjer av minimala ytor i utrymmen av högre dimension och för grenrör [4] .

Anteckningar

↑ Weierstrass data kan läsas i boken Karcher G., Simon L., Fujimoto H., Hildebrandt S., Hoffman D. Weierstrass data // Minimal Surfaces / Ed. Osserman R. - M. : FIZMATLIT, 2003. - S. 82-85. — ISBN 5-9221-0380-6 .
↑ Matthias Weber, Classical Minimal Surfaces in Euclidean Space by Examples, in Global Theory of Minimal Surfaces: Proceedings of the Clay Mathematics Institute 2001 Summer School, Mathematical Sciences Research Institute, Berkeley, Kalifornien, 25 juni–27 juli 2001. American Mathematical Soc ., 2005 [1] Arkiverad 12 juli 2019 på Wayback Machine
↑ Hermann Karcher, Konrad Polthier, "Construction of Triply Periodic Minimal Surfaces", Phil. Trans. R. Soc. Lond. A 16 september 1996 vol. 354 nr. 1715 2077–2104 [2] Arkiverad 21 januari 2022 på Wayback Machine
↑ J.-H. Eschenburg, The Associated Family, Matematica Contemporanea, Vol 31, 1–12 2006 [3] Arkiverad 5 mars 2016 på Wayback Machine

Litteratur

Minsta ytor
Associerad familj Bura Catalana katenoid Chena-Guckstatter Costa Ennepera Helicoid Henneberg k -noid Richmond Riemann Pylonsadel Sherka Tre gånger periodisk Gyroid Lidinoid Neovius Schwartz