Attraktion

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 5 juli 2022; verifiering kräver 1 redigering .

Attraktion ( eng.  attrahera  - attrahera, attrahera) - en kompakt delmängd av fasutrymmet i ett dynamiskt system , där alla banor från någon stadsdel tenderar till det med tiden som tenderar mot oändligheten. En attraktion kan vara en attraktiv fast punkt (till exempel i problemet med en pendel med friktion mot luft), en periodisk bana (till exempel självexciterade svängningar i en positiv återkopplingsslinga) eller något begränsat område med instabila banor inuti (som en konstig attraktion).

Det finns olika formaliseringar av begreppet aspiration, vilket leder till olika definitioner av attraktionen, som definierar respektive potentiellt olika uppsättningar (ofta kapslade i varandra). De vanligaste definitionerna är den maximala attraktionen (ofta i dess lilla grannskap, se nedan), Milnor-atttraktorn och den ickevandrande uppsättningen .

Klassificering

Attraktioner klassificeras enligt:

  1. Formaliseringar av begreppet aspiration: man skiljer mellan den maximala attraktionen, den icke-vandrande uppsättningen, Milnor-attraktionen, Birkhoff-centret, den statistiska och den minimala attraktionen.
  2. Regelbundenhet hos själva atttraktorn: atttraktorer är indelade i regelbundna (attraherande fast punkt, lockande periodisk bana, mångfaldig ) och konstiga (oregelbundna - ofta fraktala och / eller arrangerade i någon sektion som en Cantor-uppsättning ; dynamiken på dem är vanligtvis kaotisk ).
  3. Lokalitet (" attraherande set ") och globalitet (här - termen "minimal" i betydelsen "odelbar").

Det finns också välkända "namngivna" exempel på atttraktorer: Lorentz , Plykin , Smale-Williams solenoid , heteroclinic attractor ( Bowens exempel ).

Egenskaper och relaterade definitioner

Under alla definitioner antas atttraktorn vara en sluten och (helt) invariant uppsättning.

Begreppet Sinai-Ruelle-Bowen-måttet är också nära besläktat med begreppet en attraktion : ett invariant mått på det, till vilket tidsmedelvärdena för en typisk (i betydelsen av Lebesgue-måttet) startpunkt eller tidsmedelvärden av iterationer av Lebesgue-måttet tenderar. Ett sådant mått finns dock inte alltid (vilket illustreras i synnerhet av Bowens exempel ).

Typer av definitionsformalisering

Eftersom hela fasutrymmet i alla fall bevaras av dynamik kan en formell definition av en attraktion ges utifrån filosofin att "en attraktion är den minsta uppsättning som allting tenderar mot" - med andra ord, kasta ut allt som kan vara kastas ut ur fasutrymmet.

Maximal attraktion

Låt ett dynamiskt system ges ett område , som strikt översätts till sig själv av dynamiken:

Då är systemets maximala attraktion i begränsningen till U skärningspunkten mellan alla dess bilder under verkan av dynamiken:

Samma definition kan tillämpas på flöden: i detta fall är det nödvändigt att kräva att vektorfältet som definierar flödet på gränsen för regionen riktas strikt inuti det.

Denna definition används ofta för att karakterisera en uppsättning som en "naturlig" attraktion ("är den maximala attraktionsfaktorn i dess grannskap"). Det används också i partiella differentialekvationer [1] .

Denna definition har två nackdelar. Först, för dess tillämpning är det nödvändigt att hitta en absorberande region. För det andra, om ett sådant område valdes utan framgång - säg att det innehöll en frånstötande fast punkt med sin avstötningspool - kommer det att finnas "extra" punkter i den maximala attraktionen, som faktiskt inte kan placeras flera gånger i rad, men nuvarande val av området för detta "känns inte."

Milnor attraktion

Per definition är Milnor-attraktorn i ett dynamiskt system den minsta (genom inkludering) slutna uppsättningen som innehåller ω-gränsuppsättningarna för nästan alla initiala punkter med avseende på Lebesgue-måttet. Detta är med andra ord den minsta uppsättningen som en typisk utgångspunkts bana tenderar mot.

Ickevandrande set

En punkt x i ett dynamiskt system kallas vandra om iterationer av några av dess grannskap U aldrig korsar detta område:

Med andra ord, en punkt vandrar om den har ett område som vilken bana som helst bara kan korsa en gång. Uppsättningen av alla icke-vandrande punkter kallas den icke- vandrande uppsättningen.

Statistisk attraktion

En statistisk attraktionsfaktor definieras som den stängda uppsättningen med minst inkludering , i närheten av vilken nästan alla punkter spenderar nästan hela tiden: för alla dess grannskap , för nästan alla (i betydelsen av Lebesgue-måttet) punkt , har vi

Minimal attraktion

Den minimala attraktionsfaktorn definieras som den minsta (med avseende på inkludering) slutna uppsättning , i närheten av vilken nästan hela Lebesgue-åtgärden tillbringar nästan hela tiden: för något av dess grannskap ,

Exempel på felmatchningar

Lokalitet, minimalitet och globalitet

Regelbundna och konstiga attraktioner

Vanliga atttraktorer

Attraktiv fast punkt

(exempel: pendel med friktion)

Begränsa cykel

(exempel: mikrofon+högtalare, Van der Pol oscillator )

Konstiga attraktioner

(exempel: Lorenz - atttraktor, Rössler-atttraktor , Smale-Williams-solenoid; kommentar om fjärilseffekten och dynamiskt kaos .)

En konstig atttraktor är en attraherande uppsättning instabila banor i fasrummet i ett dissipativt dynamiskt system [2] . Till skillnad från en atttraktor är det inte ett grenrör , det vill säga det är inte en kurva eller en yta. Strukturen hos den konstiga atttraktorn är fraktal . Banan för en sådan attraktion är icke-periodisk (den stänger inte) och driftsättet är instabilt (små avvikelser från läget ökar). Huvudkriteriet för slumpmässigheten hos en attraktion är den exponentiella tillväxten av små störningar i tiden. Konsekvensen av detta är "blandning" i systemet, icke-periodicitet i tiden för någon av systemets koordinater , ett kontinuerligt effektspektrum och en tidsavtagande autokorrelationsfunktion .

Dynamiken på konstiga atttraktorer är ofta kaotisk : att förutsäga en bana som har hamnat i en attraktion är svårt, eftersom en liten felaktighet i initialdata efter en tid kan leda till en stark diskrepans mellan prognosen och den verkliga banan. Oförutsägbarheten av banan i deterministiska dynamiska system kallas dynamiskt kaos , vilket skiljer den från det stokastiska kaos som uppstår i stokastiska dynamiska system . Detta fenomen kallas också fjärilseffekten , vilket innebär möjligheten att omvandla svaga turbulenta luftströmmar orsakade av flaxandet av en fjärils vingar vid en punkt på planeten till en kraftfull tromb på dess andra sida på grund av deras multipla förstärkning i atmosfären över vissa tid. Men i själva verket skapar fliken på en fjärils vinge vanligtvis inte en tromb, eftersom det i praktiken finns en sådan tendens att så små fluktuationer i genomsnitt inte förändrar dynamiken i så komplexa system som planetens atmosfär, och Lorentz sa själv om detta: "Men generellt hävdar jag att under årens lopp varken ökar eller minskar mindre chocker förekomsten av olika väderhändelser, såsom orkaner. Allt de kan göra är att ändra ordningen i vilken dessa fenomen uppstår." Och detta är kanske en viktig och överraskande sak, utan vilken det skulle vara svårt, för att inte säga omöjligt, att studera kaotisk dynamik (dynamik som är känslig för de minsta förändringarna i systemets initiala förhållanden).

Bland de märkliga attraktionerna finns de vars Hausdorff-dimension skiljer sig från den topologiska dimensionen och är fraktionerad. En av de mest kända bland sådana attraktioner är Lorenz-atttraktorn .

Nominella exempel

Lorentz attraktion

Systemet av differentialekvationer som skapar Lorentz-attraktorn har formen:

med följande parametervärden: , , . Lorenz-atttraktorn är inte klassisk. Han är inte heller konstig i Smale bemärkelse . [3]

Smale-Williams solenoid

Smale-Williams-solenoiden  är ett exempel på ett reversibelt dynamiskt system som liknar banornas beteende som fördubblingskartläggningen på en cirkel. Mer exakt definieras detta dynamiska system på den solida torusen , och i en iteration av den fördubblas vinkelkoordinaten; varav den exponentiella divergensen av banor och den kaotiska dynamiken uppstår automatiskt. Den maximala attraktionen i detta system kallas också en solenoid (där namnet faktiskt kommer ifrån): den är arrangerad som en (oräknelig) förening av "trådar" lindade längs en solid torus .

Plykin attraktion

Plykin-atttraktorn är ett exempel på ett dynamiskt system på en disk vars maximala attraktion är hyperbolisk . I synnerhet är detta exempel strukturellt stabilt eftersom det uppfyller Smales axiom A.

Bowens exempel, eller den heterokliniska attraktionsfaktorn

Hénos attraktion

https://web.archive.org/web/20101227004521/http://ibiblio.org/e-notes/Chaos/ru/strange_r.htm

Hypoteser

Palis gissning [4]

  • Det finns en sådan metriskt tät delmängd D av rymden T att Milnor-attraktorn i vilket dynamiskt system som helst från mängden D endast kan dekomponeras i ett ändligt antal transitiva komponenter;
  • De transitiva komponenterna i atttraktorn har ett SRB-mått ;
  • De transitiva komponenterna i atttraktorn är stokastiskt stabila i sina attraktionsbassänger;
  • För ett typiskt system av en typisk familj av endimensionell dynamik representerar attraktionskomponenterna antingen attraherande periodiska banor eller har ett absolut kontinuerligt invariant mått. [5]

Ruelles hypoteser

Se även

Anteckningar

  1. ↑ Yu. S. Iljasjenko. Global analys av fasporträttet för Kuramoto-Sivashinsky-ekvationen, Journal of Dynamics and Differential Equations, Vol. 4, nr 4, 1992
  2. ↑ Gaponov-Grekhov A.V. , Rabinovich M.I. Icke-linjär fysik. Stokasticitet och strukturer // XX-talets fysik: utveckling och framtidsutsikter. - M., Nauka, 1984. - sid. 237
  3. ↑ Konstiga attraktioner. Sammanfattning av artiklar. Moskva. 1981 Översättning från engelska, redigerad av Y. G. SINAI och L. P. SHILNIKOV
  4. ↑ Seminarier: V. A. Kleptsyn, Attraktorer av dynamiska system . www.mathnet.ru Hämtad: 17 augusti 2018.
  5. ↑ Saltykov, Petr Sergeevich. Nya egenskaper hos atttraktorer och oföränderliga uppsättningar av dynamiska system . - 2011. Arkiverad den 17 augusti 2018.

Referenser och litteratur