De Broglie våg

En de Broglie- våg är en sannolikhetsvåg (eller en sannolikhetsamplitudvåg [1] ) som bestämmer sannolikhetstätheten för att detektera ett objekt i ett givet intervall av konfigurationsutrymmet . I enlighet med den accepterade terminologin sägs det att de Broglie-vågor är associerade med alla partiklar och reflekterar deras vågnatur .

Idén om vågor associerade inte bara med ljuskvanta, utan också med massiva partiklar, föreslogs av Louis de Broglie 1923-1924 [2] och kallas de Broglies hypotes. Även om tolkningen av den kvadratiska modulen för vågamplituden som en sannolikhetstäthet i konfigurationsutrymmet tillhör Max Born [3] , talar de av tradition och som ett erkännande av den franska fysikerns förtjänster om de Broglie-vågor .

Idén med de Broglie-vågor är användbar för ungefärliga slutsatser om skalan för manifestationen av partiklars vågegenskaper, men återspeglar inte hela den fysiska verkligheten och ligger därför inte till grund för kvantmekanikens matematiska apparat. Istället för de Broglie-vågor spelas denna roll av vågfunktionen i kvantmekaniken och av fältoperatörer i kvantfältteorin .

Våg-partikeldualitet av fotoner och massiva partiklar

Fysiken hos atomer , molekyler och deras grupper, i synnerhet kristaller, såväl som atomkärnor och elementarpartiklar, studeras inom kvantmekaniken. Kvanteffekter är signifikanta om handlingens karakteristiska värde (produkt av karakteristisk energi gånger karakteristisk tid eller karakteristisk momentum gånger karakteristiskt avstånd ) blir jämförbart med ( Plancks konstant ). Om partiklarna rör sig med hastigheter mycket mindre än ljusets hastighet i ett vakuum , så gäller icke-relativistisk kvantmekanik; vid hastigheter nära , relativistisk kvantmekanik. $\hbar$ $c$ $c$

Kärnan i kvantmekaniken är Plancks idéer om den diskreta karaktären av förändringen i atomernas energi , Einsteins om fotoner , data om kvantiseringen av vissa fysiska storheter (till exempel rörelsemängd och energi) som kännetecknar partiklarnas tillstånd. av mikrovärlden under vissa förutsättningar. Samtidigt var det fast etablerat att ljus uppvisar egenskaperna hos inte bara en ström av partiklar, utan också en våg, det vill säga det har våg-partikeldualitet .

De Broglie framförde idén att utbredningens vågnatur, etablerad för fotoner, har en universell karaktär. Det bör visas för alla partiklar med fart . Alla partiklar med en ändlig rörelsemängd , har vågegenskaper, i synnerhet är föremål för interferens och diffraktion [4] . $sid$ $sid$

Naturen hos de Broglie-vågor

De Broglie-vågor har en specifik natur som inte har någon analogi bland vågorna som studerats i klassisk fysik : kvadraten på de Broglie-vågsamplituden vid en given punkt är ett mått på sannolikheten att en partikel hittas vid den punkten. Diffraktionsmönstren som observeras i experiment är en manifestation av ett statistiskt mönster , enligt vilket partiklar faller in på vissa ställen i mottagarna - där de Broglie- vågintensiteten är störst. Partiklar finns inte på de platser där, enligt den statistiska tolkningen , kvadraten på modulen för amplituden för "sannolikhetsvågen" försvinner.

De Broglies formler

De Broglie-formeln fastställer beroendet av våglängden associerad med en rörlig partikel av materia på partikelns rörelsemängd, och den totala energin på frekvensen , i form av relativistiskt oföränderliga samband: $\lambda$ $sid$ $E$ $\nu$

\lambda ={\frac {h}{p)),

E=h\nu ,

var är Plancks konstant . $h$

En annan typ av de Broglie-formler:

{\mathbf {p}}={\frac {h}{2\pi }}{\mathbf {k}}=\hbar {\mathbf {k}},

E=\hbar \omega ,

var är vågvektorn, vars modul är vågtalet, vilket är antalet våglängder som passar in i längdenheter, är den cykliska frekvensen, är enhetsvektorn i vågens utbredningsriktning, Js. ${\mathbf {k}}={\frac {2\pi }{\lambda }}{\mathbf {n}}$ $k={\frac {2\pi }{\lambda ))$ $2\pi$ $\omega =2\pi \nu$ $\mathbf {n}$ $\hbar ={\frac {h}{2\pi }}\approx 1{,}05\cdot 10^{-34}$

Den totala energin inkluderar kinetisk energi och viloenergi , i form av vilket $E=E_{K}+m_{0}c^{2}$ $E_{K}$ $E_{0}=m_{0}c^{2}$

$\lambda ={\frac {h}{p}}=hc[E_{K}(E_{K}+2m_{0}c^{2})]^{-1/2},$

där hc =1240 eV×nm, och värdena är 0 för fotonen och andra masslösa partiklar, 511 keV för elektronen och 938 MeV för protonen. $m_{0}c^{2}$ $m_{e}c^{2}=$ $m_{p}c^{2}=$

Icke-relativistisk gräns

För partiklar med pre-relativistiska energier som rör sig med en hastighet ( ljusets hastighet ), gäller formeln för rörelsemängden (där är partikelns massa), för den kinetiska energin är formeln . Sedan de Broglie-våglängden $v\ll c$ $p=mv$ $m$ $W=E-mc^{2}$ $W=mv^{2}/2$

\lambda ={\frac {h}{p}}={\frac {h}{mv}}={\frac {h}{\sqrt {2mW}}}.

I synnerhet för en elektron som accelereras i ett elektriskt fält med en potentialskillnad på volt $\Delta \varphi$

\lambda ={\frac {12{,}25}{\sqrt {\Delta \varphi ))}\;\mathrm {\AA} .

Ultrarelativistisk gräns

För partiklar i det ultrarelativistiska fallet, när deras hastighet är nära ljusets hastighet, är våglängden [5] . ${\displaystyle v\rightarrow c,E\gg mc^{2))$ $\lambda ={\frac {hc}{E))$

De Broglie-formler för fyra vektorer

I den fyrdimensionella formen förbinder de Broglie-formlerna fyrvektorns energimomentum med den fyrdimensionella vågvektorn och har formen [6] : ${\displaystyle p^{\mu ))$

p^{\mu }={\begin{pmatrix}p_{0}\\p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\end{pmatrix))={\begin{pmatrix } }E/c\\p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\end{pmatrix}}=\hbar {\begin{pmatrix}\omega /c\\k_{x}\\ k_ {y}\\k_{z}\end{pmatrix}}.

Energin och rörelsemängden för något materiellt föremål är relaterade av relationen:

{\frac {E^{2}}{c^{2}}}=m^{2}c^{2}+p_{x}^{2}+p_{y}^{2} +p_{z}^{2}.

Frekvensen och vågvektorn är relaterade till ett liknande förhållande [6] :

{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}+k_{ x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2},

där är Compton-vågstalet, det reciproka av den reducerade Compton-våglängden ${\frac {mc}{\hbar ))$ ${\frac {\lambda _{C}}{2\pi }}.$

Fas och grupphastighet för de Broglie-vågor

Fashastighet för de Broglie-vågor för en fri partikel

v_{f}={\frac {\omega }{k))={\frac {E}{p))={\frac {mc^{2)){mv))={\frac { c^{2}}{v}}\simeq {\frac {c^{2}}{h}}m\lambda ={\frac {c^{2}p^{2}}{2Wh}}\ lambda.

De sista relationerna är den icke-relativistiska approximationen. Beroendet av de Broglie-vågornas fashastighet på våglängden indikerar att dessa vågor upplever dispersion . Fashastigheten för de Broglie-vågen, även om den är större än ljusets hastighet, är en av de storheter som är fundamentalt oförmögen att bära information (det är ett rent matematiskt objekt). $v_{f}$

Grupphastigheten för de Broglie-vågen är lika med partikelns hastighet : $u$ $v$

u={\frac {d\omega }{dk}}={\frac {dE}{dp}}=v

Illustration

För en massapartikel som vilar i tröghetsreferensramen för det pseudo-euklidiska planet i Minkowski 4-utrymmet , rör sig med en hastighet relativt den villkorligt orörliga ramen längs den positiva riktningen av axeln , formeln för den kvantmekaniska amplituden för sannolikheten att upptäcka den var som helst i rymden är densamma överallt. Men fasen är en funktion av tiden: $m$ $x',ct'$ $V$ $x,ct$ $x$

ae^{(-i\omega _{0})t'}

, [7]

där: ; ${\displaystyle \omega _{0}={\frac {E_{0}}{\hbar }}={\frac {mc^{2}}{\hbar }}={\frac {2\pi \cdot c}{\lambda _{C))))$

Här: är frekvensen för fasändringen; $\omega_0$

E_{0}

är energin hos en partikel i vila;

\hbar ={\frac {h}{2\pi }}

är den reducerade Planck-konstanten:

c

är ljusets hastighet;

\lambda _{C}={\frac {h}{mc))

är Compton-våglängden för en partikel i vila med en massa [8] .

m

Figuren är märkt: . Linjerna med lika faser i detta system kommer att vara de simultanitetslinjer som dras genom punkterna på tidsaxeln parallella med den rumsliga axeln . Dessa linjer representerar en plan våg, som beskrivs av vågfunktionen ${\displaystyle \lambda _{C}=O'A_{1))$ $x'$

\psi _{(x',t')}=ae^{(-i\omega _{0})t'}=ae^{(-i/\hbar )E_{0}t'}

;

Figur 1 visar endast två linjer av lika faser dragna genom punkterna och , där faserna av sannolikhetsamplituden har samma värde som vid den punkt som tas som den initiala. För en oprimad referensram är fasen för sannolikhetsamplituden för att upptäcka en partikel vid vilken punkt som helst redan en funktion av inte bara tid, utan också rum [7] . $A_{1}$ $A_{2}$ $O'$ $x,ct$

Linjer av lika faser av systemet skär både de tidsmässiga och rumsliga axlarna av systemet , samtidigt som de delar upp var och en av dem i lika delar. $x',ct'$ $x,ct$

Fasen för sannolikhetsamplituden är en invariant storhet. Detta betyder att om i det primade systemet vid rum-tidspunkter och fasen skiljer sig med ett heltal i förhållande till fasen vid punkten , då måste faserna i det oprimade systemet vid dessa punkter skilja sig med samma antal . [8] Det följer att segmenten längs axlarna och representerar våglängder både i tid och i rymden. $C_{1}$ $B_1$ $2\pi$ $O'$ $2\pi$ $ct$ $x$

Enligt det relativistiska konceptet, med tillämpning av Lorentz-transformationerna [9] , följer det av figuren:

OC_{1}=O'A_{1}{\sqrt {1-(V/c)^{2}}}=cT=\lambda _{C}{\sqrt {1-(V/c )^{2}}}

där: är fasändringsperioden i det oprimade systemet. Från den sista jämlikheten i denna kedja av jämlikheter följer: $T$

E=\hbar \omega

där: är den cirkulära frekvensen för fasändringen i systemet ; $\omega$ $x,ct$

{\displaystyle E=mc^{2}/{\sqrt {1-(v/c)^{2))))

är den totala energin för partikeln i referensramen ;

x,ct

Här tas hänsyn till att hastigheten för en partikel är lika med rörelsehastigheten för det förberedda systemet i vilket denna partikel är i vila. $v$ $V$

Från triangeln , med hänsyn till det och med hänsyn till det , får vi: $OB_{1}C_{1}$ $\operatorname {tg\alpha } ={\frac {V}{c}}$ $v=V$

B_{1}O={\frac {\lambda _{C}{\sqrt {1-(v/c)^{2)))){\operatörsnamn {tg\alpha } }}={\ frac {h}{p}}=\lambda

där: är de Broglie-våglängden; $\lambda$

sid

är partikelns rörelsemängd.

Uttrycket för fasen för sannolikhetsamplituden för de Broglie-vågen i systemet kan erhållas med hjälp av Lorentz-transformationen för tid i övergången från ett primerat system till ett oprimat: $x,ct$

t'={\frac {t-(V/c^{2})x}{\sqrt {1-(V/c)^{2))))

;

Om vi ersätter med uttrycket för amplituden i den primerade referensramen får vi: $t'$ $t$

ae^{(-i/\hbar )E_{0}t'}=ae^{-{(i/\hbar )\left[\left(E_{0}t/{\sqrt {1- (V/c)^{2}}}\höger)-\vänster(E_{0}Vx/{c^{2}{\sqrt {1-(V/c)^{2}}}}\höger )\höger]}}

;

Identifiera partikelns totala energi och dess rörelsemängd med uttrycket för fasen som erhålls under transformationen, med hänsyn till att , de Broglie-vågamplitudformeln kan skrivas enligt följande: ${\displaystyle E=E_{0}/{\sqrt {1-(v/c)^{2))))$ ${\displaystyle p=E_{0}v/c^{2}{\sqrt {1-(v/c^{2))))$ $v=V$

ae^{-{(i/\hbar )\left[Et-px\right]}}

; [7]

Vågens fashastighet, det vill säga hastigheten med vilken punkterna i en våg med konstant fas rör sig (till exempel i figur 1, rörelsen för fasen med samma namn från punkt till punkt ) bestäms direkt från triangeln : $B_1$ $C_{1}$ $OB_{1}C_{1}$

v_{f}={\frac {c^{2}}{v}}

;

Den monokromatiska de Broglie-vågen kännetecknas av relationerna och . Det vill säga att ett sådant vågobjekt har en väldefinierad impuls och ett helt obestämt lägesområde. [10] Detta är vad som finns i påståendet när det sägs att det finns samma amplitud för sannolikheten att hitta en partikel på alla punkter i rymden. $\Delta x=\infty$ $\Delta p=0$

Fenomenet med korpuskulär vågdualism är inneboende i alla typer av materia, men i varierande grad. En partikel med massan r som rör sig med en hastighet av m/s motsvarar en de Broglie-våg med en våglängd cm. Sådana våglängder ligger utanför det område som är tillgängligt för observation. Därför, i mekaniken hos makroskopiska kroppar, är vågegenskaper obetydliga och tas inte med i beräkningen. [åtta] $m=10^{-5}$ $v=1$ $\lambda =6{,}6\cdot 10^{-22}$

Beroende av våglängd på partikelhastighet

Mekanismen för att ändra de Broglie-våglängden beroende på förändringen i partikelhastighet är som följer.

Med en ökning av rörelsehastigheten för ett primerat system, vilket är lämpligt för en partikel i vila i det, vänder koordinataxlarna för detta system, som saxblad, som roterar i förhållande till origo , mot läget för bisektrisen av kvadrant som bildas av de positiva riktningarna för axlarna i det oprimade systemet. [9] Punkten (Figur 1) för skärningspunkten mellan tidsaxeln och den invarianta (enhets)hyperbolen [9] , som bestämmer längden i det primerade systemet, närmar sig på obestämd tid kvadrantens bisektris och tar oändliga positiva värden av koordinataxlarna och . I det här fallet tenderar linjen av simultanitet (linje med lika faser) som dras genom denna punkt mot läget för bisekturen, och skärningspunkten för denna linje med axeln tenderar mot början O. Det vill säga vid våglängd , och partikelmomentum . $O'$ $A_{1}$ $ct'$ ${\displaystyle \lambda _{C}^{2}=c^{2}t^{2}-x^{2))$ $\lambda_C$ $x$ $ct$ $B_1$ $x$ $v=V\rightarrow c$ $\lambda \rightarrow 0$ $p=mv/{\sqrt {1-(v/c)^{2))}\högerpil \infty$

Med en minskning av rörelsehastigheten för den egna referensramen, rör sig partiklar - koordinataxlarna för detta system, återigen, som saxblad, isär i förhållande till kvadranthalveringslinjens position. Lutningsvinkeln för axeln mot axeln och axeln mot axeln tenderar mot noll. Skärningspunkten för enhetshyperbeln med tidsaxeln för det primerade systemet närmar sig punkten . I det här fallet tenderar linjen med lika faser i det streckade systemet, ritad genom punkten , att vara parallell med axeln , och skärningspunkten för denna linje med axeln tenderar till oändlighet mot axelns negativa värden . Detta betyder att när våglängden är , och rörelsemängden av partikeln är . I detta begränsande fall kommer sannolikhetsamplitudens fas redan att endast vara en funktion av tiden. Och vågparametern kommer att vara Comptons våglängd . $\alfa$ $ct'$ $ct$ $x'$ $x$ $A_{1}$ $A$ $A_{1}$ $x$ $B_1$ $x$ $x$ $v=V\rightarrow 0$ $\lambda \högerpil \infty$ $p\rightarrow 0$ $\lambda _{C}=OA$

Sammanfattning av resultaten av båda begränsningsfallen, när produkten av partikelns våglängd och rörelsemängd tar formen av typosäkerheter och det kan hävdas: , vilket bekräftas i de Broglie-relationen: . $(0\cdot \infty )$ $(\infty \cdot 0)$ $\lambda \cdot p=const$ $\lambda ={\frac {h}{p))$

Experimentell verifiering

De Broglie-hypotesen förklarar ett antal experiment som är oförklarliga inom ramen för klassisk fysik [11] :

Davisson-Jermer experiment på elektrondiffraktion på nickelkristaller.
J. P. Thomsons erfarenhet av elektrondiffraktion med metallfolie .
Ramsauer-effekt av en onormal minskning av tvärsnittet för spridning av lågenergielektroner av argonatomer.
Neutrondiffraktion på kristaller ( experiment av G. Halban , P. Preiswerk och D. Mitchell).

Vågegenskaper visas inte i makroskopiska kroppar. De Broglie-våglängderna för sådana kroppar är så små att det är omöjligt att detektera vågegenskaper. Emellertid kan kvanteffekter också observeras i makroskopisk skala, supraledning och superfluiditet är särskilt slående exempel på detta .

Se även

Anteckningar

↑ Feynman R, Layton R, Sands M , Feynman-föreläsningarna i fysik. Problem. 3–4, 1976 , sid. 221-222, 412.
^ Louis de Broglie "The Reinterpretation of Wave Mechanics" Funds of Physics, Vol. 1 nr. 1 (1970) (inte tillgänglig länk)
↑ M. Född. Reflektioner och minnen av en fysiker: Samling av artiklar / Ed. ed. E. I. Chudinov. - M. : Nauka, 1977. - S. 16. - 280 sid.
↑ Yu. M. Shirokov , N. P. Yudin, Nuclear Physics. - M .: Nauka, 1972. - S. 17-18
↑ De Broglie vinkar - artikel från Physical Encyclopedia
↑ 1 2 Pauli V. Allmänna principer för vågmekanik. - M.: OGIZ, 1947. - S. 14
↑ 1 2 3 Feynman Richard Phillips. Volym 3. Quantum Mechanics Arkiverad 2 mars 2021 på Wayback Machine Ch. 5. 1 §, 2 §.
↑ 1 2 3 Wichman E. Kvantfysik. - M .: Nauka, 1977. - S. 156-157, 185, 187-188. — 415 sid.
↑ 1 2 3 Ugarov V. A. Special relativitetsteori. - M.: Nauka, 1977, - S. 60 - 62, 64 - 65, 121 - 124. - 384 sid.
↑ G. A. Zisman, O. M. Todes. Allmän fysikkurs, volym III. - M .: Nauka, 1972. - S. 282-283. — 496 sid.
↑ Martinson L.K., Smirnov E.V. Avsnitt 2.2. Experimentell bekräftelse av de Broglie-hypotesen // Kvantfysik . - M . : MSTU im. N. E. Bauman , 2004. - V. 5. - 496 sid. - 3000 exemplar. — ISBN 5-7038-2797-3 . Arkiverad kopia (inte tillgänglig länk) . Datum för åtkomst: 25 december 2009. Arkiverad från originalet den 26 april 2009. (obestämd)

Litteratur

Feynman R., Layton R., Sands M. Feynman Föreläsningar i fysik. Problem. 3–4. - 3:e uppl. - M . : Mir, 1976. - 496 sid.
www.e-libra.su/read/464761-tom-3-kvantovaya-mehanika.html# - Feynman Richard Phillips. Volym 3. Kvantmekanik läs online. Ch. 5. 1 §, 2 §.

Länkar

De Broglie vågor / föreläsning "Elements of quantum mechanics"
De Broglie ratio // "Elements"

Ordböcker och uppslagsverk	Stor katalanska Stor ryss Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	GND : 4169089-8