Gaussisk funktion

Gaussisk funktion ( Gaussisk , Gaussisk , Gaussisk funktion ) är en verklig funktion som beskrivs med följande formel:

g\left(x\right)=ae^{-{\frac {(xb)^{2}}{2c^{2}}}}

där parametrar är godtyckliga reella tal . Introducerad av Gauss 1809 som en funktion av densiteten av normalfördelningen , och är av största vikt i denna egenskap, i detta fall uttrycks parametrarna i termer av standardavvikelse och matematiska förväntan : $a,b,c$ $\sigma$ $\mu$

a={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi ))))

... _ _

b=\mu

c=\sigma

Grafen över den Gaussiska funktionen vid och är en klockformad kurva, parametern bestämmer den maximala höjden på grafen - toppen av klockan, är ansvarig för förskjutningen av toppen från noll (vid - toppen är noll), och påverkar klockans bredd (räckvidd). $a>0$ $c\neq 0$ $a$ $b$ $b=0$ $c$

Det finns flerdimensionella generaliseringar av funktionen . Förutom tillämpningar inom sannolikhetsteori , statistik och andra många tillämpningar som en funktion av densiteten av normalfördelningen, har Gaussian ett oberoende värde i matematisk analys , matematisk fysik , signalbehandlingsteori.

Egenskaper

Egenskaperna för den Gaussiska funktionen är relaterade till dess konstruktion från en exponentiell funktion och en konkav kvadratisk funktion , logaritmen för Gauss är en konkav kvadratisk funktion.

Parametern är relaterad till sjökortsklockans halva bredd enligt följande: $c$

w=2{\sqrt {2\ln 2}}\ c\approx 2{,}35482\cdot c

Gaussfunktionen kan uttryckas i termer av halvbredden av grafens klocka enligt följande: $w$

g(x)=ae^{-{\frac {4\ln(2)(xb)^{2}}{w^{2}}}}

Böjningar är två punkter där . $g(x)$ $x=b\pm c$

Gaussfunktionen är analytisk , tenderar till noll i gränsen till båda oändligheterna :

\lim _{x\to \pm \infty }g(x)=0

Att vara sammansatt av en exponentiell funktion och aritmetiska operationer, Gaussian är elementär , men dess antiderivata är inte elementär; Gaussisk funktionsintegral:

\int \limits _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t

är (upp till en konstant faktor) felfunktionen , som är en specialfunktion . I detta fall är integralen längs hela tallinjen (på grund av egenskaperna hos exponentialfunktionen) en konstant [1] :

\int _{-\infty }^{\infty }ae^{-{(xb)^{2} \over 2c^{2}}}\,dx=ac\cdot {\sqrt {2\ pi}}

Denna integral blir enhet endast under villkoret:

a={\frac {1}{c{\sqrt {2\pi ))))

och detta ger exakt fallet när Gauss är en funktion av tätheten av normalfördelningen av en slumpmässig variabel med medelvärde och varians . $\mu=b$ $\sigma ^{2}=c^{2}$

Produkten av Gausser är en Gaussisk funktion; faltning av två Gaussfunktioner ger en Gaussfunktion, dessutom uttrycks faltningsparametern från motsvarande parametrar för Gausserna som ingår i den: . Produkten av två normalfördelningstäthetsfunktioner, som är en Gaussisk funktion, ger i allmänhet ingen normalfördelningstäthetsfunktion. $c$ ${\displaystyle c^{2}=c_{1}^{2}+c_{2}^{2))$

Multidimensionella generaliseringar

Ett exempel på en tvådimensionell version av en Gaussisk funktion:

{\displaystyle g(x,y)=A\cdot e^{\left(-\left({\frac {(x-x_{0})^{2)){2\sigma _{x}^{ 2}}}+{\frac {(y-y_{0})^{2}}{2\sigma _{y}^{2}}}\right)\right)))

här ställer in höjden på klockan, bestämmer förskjutningen av toppen av klockan från noll abskissan och är ansvarig för klockans omfattning. Volymen under en sådan yta är: $A$ $(x_0, y_0)$ $(\sigma _{x},\sigma _{y})$

V=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }g(x,y)\,dx\,dy=2\pi A\sigma _{x}\sigma _{y}

I sin mest allmänna form definieras en tvådimensionell Gauss på följande sätt:

g(x,y)=A\exp \left(-\left(a(x-x_{0})^{2}+2b(x-x_{0})(y-y_{0} )+c(y-y_{0})^{2}\right)\right)

var är matrisen:

\left[{\begin{matrix}a&b\\b&c\end{matrix}}\right]

är positivt definierad .

Variant av den Gaussiska funktionen i det dimensionella euklidiska rummet : $n$

g(x)=\exp(-x^{T}Ax)

där är en kolumnvektor av komponenter, är en positiv-definierad matris av storlek och är transponeringsoperationen på . $x=(x_{1},\dots ,x_{n})$ $n$ $A$ $n\ gånger n$ ${\displaystyle x^{T))$ $x$

Integralen av en sådan gaussisk funktion över hela rymden : $\mathbb {R} ^{n}$

\int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp(-x^{T}Ax)\,dx={\sqrt {\frac {\pi ^{n}}{\det A }}}

Det är möjligt att definiera en -dimensionell version med ett skift: $n$

g(x)=\exp(-x^{T}Ax+s^{T}x)

var är skiftvektorn och matrisen är symmetrisk ( ) och positiv definitiv. $s=(s_{1},\dots ,s_{n})$ $A$ $A^{T}=A$

Super Gaussisk funktion

Den supergaussiska funktionen är en generalisering av den Gaussiska funktionen där exponentargumentet höjs till: $P$

sg(x)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{o})^{2}}{2\sigma _{x}^{2}}}\ höger)^{P}\right)

som har använts för att beskriva egenskaperna hos gaussiska strålar [2] . I det tvådimensionella fallet kan den supergaussiska funktionen betraktas med olika krafter i argumenten och [3] : ${\displaystyle P_{x))$ ${\displaystyle P_{y))$

sg(x,y)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{o})^{2}}{2\sigma _{x}^{2}} }\right)^{P_{x}}-\left({\frac {(y-y_{o})^{2}}{2\sigma _{y}^{2}}}\right)^ {P_{y}}\right)

Applikationer

Den huvudsakliga tillämpningen av gaussiska funktioner och multivariata generaliseringar är i rollen som sannolikhetstäthetsfunktionen för normalfördelningen och den multivariata normalfördelningen . Funktionen har en oberoende betydelse för ett antal ekvationer av matematisk fysik , i synnerhet Gaussians är Greens funktioner för ekvationen av homogen och isotrop diffusion (respektive värmeekvationen ), och Weierstrass-transformationen är en operation av faltning av en generaliserad funktion som uttrycker ekvationens initiala villkor, med Gaussisk funktion. Gauss är också vågfunktionen för grundtillståndet för en kvantharmonisk oscillator .

Inom beräkningskemi används de så kallade Gaussiska orbitaler för att bestämma molekylära orbitaler , som är linjära kombinationer av Gaussiska funktioner.

Gaussiska funktioner och deras diskreta motsvarigheter (såsom den diskreta Gaussiska kärnan ) används i digital signalbehandling , bildbehandling , ljudsyntes [4] ; i synnerhet, Gauss-filtret och Gauss-oskärpan definieras i termer av Gauss . Gaussiska funktioner deltar också i definitionen av vissa typer av artificiella neurala nätverk .

Anteckningar

↑ Campos, 2014 , sid. 1-2.
↑ A. Parent, M. Morin, P. Lavigne. Utbredning av super-Gaussiska fältfördelningar // Optisk och kvantelektronik. - 1992. - Nr 9 . - P. S1071-S1079.
↑ GLAD handbok för optiska mjukvarukommandon, inträde på GAUSSIAN-kommando . Tillämpad optikforskning (15 december 2016). Arkiverad från originalet den 10 juni 2017. (obestämd)
↑ C. R. Popa. Strömläge Analog icke-linjär funktion Synthesizer strukturer . - Springer Schweiz, 2013. - S. 59. - 198 sid. - ISBN 983-3-319-01035-9.

Litteratur

LMBC Campos. 1.1. Utvärdering av integraler av Gaussiska funktioner // Generaliserad kalkyl med tillämpningar på materia och krafter. - Boca Raton: CRC Press, 2014. - 823 sid. — ISBN 978-1-4200-7115-3 .

Länkar

Weisstein, Eric W. Gaussian Function (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
Integrera The Bell Curve / MathPages