Gränsgrupp

En gränsgrupp är ett matematiskt begrepp som används för att klassificera, enligt symmetrier , mönster på tvådimensionella ytor som upprepas i samma riktning. Sådana mönster finns ofta inom arkitektur och dekorativ konst . Matematisk studie av sådana mönster visar att det finns exakt sju typer av symmetri.

Gränsgrupper är tvådimensionella linjära skiftgrupper som upprepas i endast en riktning. De är relaterade till mer komplexa prydnadsgrupper , som klassificerar mönster som upprepas i två riktningar, och kristallografiska grupper , som klassificerar mönster som upprepas i tre riktningar.

Allmän beskrivning

Sju grupper av gränser

p1: T (endast parallell translation i horisontell riktning) p1m1: TV (parallell översättning med symmetri kring den vertikala axeln) p11m: THG (parallell translation, horisontell axelsymmetri och glidsymmetri) p11g: TG (parallell translation och glidsymmetri) p2: TR (parallell translation och rotation med ) $180^{{\cirkel ))$ p2mg: TRVG (parallell translation och rotation med , vertikal axelsymmetri och glidsymmetri) $180^{{\cirkel ))$ p2mm: TRHVG (parallell translation, rotation med , horisontell symmetri, vertikal symmetri och glidsymmetri) $180^{{\cirkel ))$

Formellt är en kantgrupp en klass av oändliga diskreta symmetrigrupper av mönster på ett band (en oändligt bred rektangel), och därför är det en klass av grupper av rörelser på ett plan eller band. Trottoargruppens symmetrigrupp innehåller nödvändigtvis parallella översättningar och kan innehålla betesymmetrier , reflektioner längs bandaxeln, reflektioner över bandaxeln och rotationer på . Det finns sju kantstensgrupper, de visas i tabellen nedan. Många författare listar frisgrupperna i en annan ordning [1] [2] . $180^{{\cirkel ))$

De faktiska symmetrigrupperna inom en gränsgrupp kännetecknas av det minsta parallella translationsavståndet och, för gränsgrupper med vertikal symmetri eller rotation med (grupp 2, 5, 6 och 7), platsen för symmetriaxeln eller rotationscentrum. När det gäller symmetrigrupper på ett plan är ytterligare parametrar riktningen för translationsvektorn och, för kantgrupper med en horisontell symmetriaxel, glidsymmetrin eller rotation med (grupp 3-7), reflektionens position axel eller rotationscentrum. Det finns alltså två frihetsgrader för grupp 1, tre för grupperna 2, 3, 4 och fyra för grupperna 5, 6 och 7. $180^{{\cirkel ))$ $180^{{\cirkel ))$

För två av de sju trottoargrupperna (grupp 1 och 4) genereras symmetrigrupperna av ett enda element , för fyra grupper (grupperna 2, 3, 5 och 6) genereras de av två generatorer, och för grupp 7, symmetrigrupperna kräver tre generatorer. Symmetrigruppen i gränsgrupperna 1, 2, 3 eller 5 är en undergrupp till symmetrigruppen för den sista gränsgruppen med samma parallella translationsavstånd. Symmetrigruppen i gränsgrupperna 4 och 6 är en undergrupp till den sista gränsgruppens symmetrigrupp med halva parallella translationsavståndet. Den sista gruppen av tapeter innehåller symmetrigruppen för det enklaste periodiska mönstret på en remsa (eller ett plan) - en sekvens av punkter. Alla plantransformationer som lämnar detta mönster intakt kan dekomponeras i parallell translation ( x , y ) → ( n + x , y ) och eventuellt reflektion kring den horisontella axeln ( x , y ) → ( x ,− y ) eller vertikala axlar ( x , y ) → (− x , y ) förutsatt att axlarna är valda i mitten av två närliggande punkter, eller rotation med en vinkel , ( x , y ) → (− x ,− y ). Trottoargruppen innehåller alltså den "största" symmetrigruppen, som består av alla dessa transformationer. $180^{{\cirkel ))$

Diskrethetskravet införs för att utesluta grupper som innehåller alla transformationer och grupper som innehåller godtyckligt små parallella översättningar (till exempel grupper av horisontell översättning över vilket rationellt avstånd som helst).

Kravet på oändlighet införs för att utesluta grupper som inte har parallell översättning:

grupp med endast identisk rörelse (isomorf till C 1 , trivial grupp av ordning 1).
grupp bestående av identisk rörelse och reflektion kring en horisontell axel (isomorf till C 2 , cyklisk grupp av ordning 2).
grupper som består av identisk rörelse och reflektion kring en vertikal axel
grupper som består av identisk rörelse och rotation runt en punkt på den horisontella axeln $180^{{\cirkel ))$
grupper som består av identisk rörelse och reflektion kring den vertikala axeln, reflektion kring den horisontella axeln och rotation kring skärningspunkten för dessa axlar (isomorf till Klein-fyrgruppen ) $180^{{\cirkel ))$

Beskrivning av de sju grupperna av gränser

Det finns sju olika undergrupper (upp till skala) i den diskreta gränsgruppen som genereras av translation, reflektion (längs gränsaxeln) och rotation med . Var och en av dessa undergrupper är en gränssymmetrigrupp och enkla gränser visas i fig. 1. Sju olika grupper motsvarar sju oändliga serier av axiella symmetrigrupper i tredimensionellt utrymme , med [3] . $180^{{\cirkel ))$ $n=\infty$

Gränsgrupper betecknas med Hermann-Mogen notation , internationell kristallografisk notation [4] , orbifold notation , Coxeter notation och Schoenflies symboler :

Gränsgrupper

IUC	Kok - seter	Shen- fleece * Grupp	Diagram § Orbifold	Exempel på Conways notation [5]	Beskrivning
p1	[∞] +	C ∞ Z ∞	∞∞	FFFFFFFF hopp (hoppa på ett ben)	(T) Endast parallell överföring: Denna grupp skapas av en enda generator, som överför det kortaste avståndet för ett givet periodiskt mönster.
sid 11g	[∞ + ,2 + ]	S ∞ Z ∞	∞×	FℲ FℲ FℲ FℲ FℲ steg	(TG) Glidsymmetri och translation: Denna grupp skapas av en generator (glidsymmetri), parallell translation är resultatet av två glidsymmetrier.
p1m1	[∞]	C∞v Dih∞ _ _	*∞∞	Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ sida (gå åt sidan)	(TV) Reflektion kring den vertikala axeln och translation: Gruppen är densamma som den icke-triviala gruppen i det endimensionella fallet. Gruppen är uppbyggd med hjälp av parallell translation och reflektion kring den vertikala axeln.
p2	[∞,2] +	D∞ Dih∞ _ _	22∞	SSSSSSSS spinning hop	(TR) Översättning och rotation av : Gruppen skapas av två generatorer - translation och rotation av . $180^{{\cirkel ))$ $180^{{\cirkel ))$
p2mg	[∞,2 + ]	D∞d Dih∞ _ _	2*∞	V Λ V Λ V Λ V Λ spinnande sida	(TRVG) Reflektion kring den vertikala axeln, blicksymmetri, translation och rotation genom : Parallell translation erhålls här som ett resultat av två blicksymmetrier, så att gruppen genereras av en blicksymmetri och antingen en rotation eller en vertikal symmetri. $180^{{\cirkel ))$
p11m	[∞ + ,2]	C ∞h Z ∞ ×Dih 1	∞*	BBBBBBBB hopp (hopp)	(THG) Translation, reflektion kring den horisontella axeln, glidsymmetri: Denna grupp genereras av translation och reflektion kring den horisontella axeln. Glidande symmetri erhålls som translation + reflektion.
p2mm	[∞,2]	D ∞h Dih ∞ ×Dih 1	*22∞	HHHHHHHH spinninghopp	(TRHVG) Reflektioner om de vertikala och horisontella axlarna, parallell translation och rotation av : Tre generatorer behövs för denna grupp. En av generatorerna består av translation och reflektion kring båda axlarna. $180^{{\cirkel ))$

* Schoenflies-notationen för punktgruppen utökas här för fallet med en oändlig uppsättning ekvivalenta dihedriska punktsymmetrier § Diagrammet visar ett grundläggande område markerat med gult. Reflexionsaxlarna visas i blått, glidaxlarna visas med gröna prickade linjer och rotationspunkterna visas i gröna fyrkanter.

Som vi kan se, fram till isomorfism , finns det fyra grupper, två abeliska och två icke-abelska.

Gittertyper: sned och rektangulär

Grupper kan klassificeras efter typen av deras tvådimensionella gitter [6] . Ett lutande gitter betyder att den andra riktningen inte nödvändigtvis är ortogonal mot repetitionsriktningen.

Gallertyp	Grupper
Lutande	p1, p2
Rektangulär	p1m1, p11m, p11g, p2mm, p2mg

Webbdemonstrationer och programvara

Det finns mjukvarugrafikverktyg som skapar 2D-mönster med hjälp av kantgrupper. Vanligtvis uppdateras hela mönstret automatiskt när man redigerar ett fragment.

Kali Arkiverad 29 november 2017 på Wayback Machine , En gratis applikation för tapeter, bårder och andra mönster.
Kali Arkiverad 21 november 2020 på Wayback Machine , en gratis nedladdning av Kali för Windows och Mac Classic.
Tess Arkiverad 28 december 2017 på Wayback Machine , Ett program för plattformsoberoende ( nagware ) som stöder tapeter, bårder och Heesch- plattor .
FriezingWorkz Arkiverad 22 januari 2007 på Wayback Machine , en gratis stack (Hypercard-applikation) för HyperCard för Classic Mac-plattformen som stöder gränsgrupper.

Anteckningar

↑ Coxeter, 1969 , sid. 47–49.
↑ Cederberg, 2001 , sid. 117–118, 165–171.
↑ Fisher, Mellor, 2007 .
↑ Radaelli .
↑ Frieze Patterns Conway gav namnen efter banornas natur.
↑ Hitzer, Ichikawa, 2008 .

Litteratur

Coxeter HSM Introduktion till geometri. - New York: John Wiley & Sons, 1969. - s. 47-49. — ISBN 0-471-50458-0 .
Judith N. Cederberg. A Course in Modern Geometries, 2nd ed. - New York: Springer-Verlag, 2001. - s. 117-118, 165-171. — ISBN 0-387-98972-2 .
Fisher GL, Mellor B. Tredimensionella ändliga punktgrupper och pärlornas symmetri // Journal for Mathematics and the Arts. – 2007.
Paolo G. Radaelli. Grunderna för kristallografisk symmetri.
Hitzer ESM, Ichikawa D. Representation av kristallografiska subperiodiska grupper genom geometrisk algebra // Electronic Proc. av AGACSE. - Leipzig, Tyskland, 2008. - Utgåva. 3, 17–19 aug. 2008 .

Länkar

Frismönster arkiverade 20 juni 2017 på Wayback Machine på cut-the-knot
Illuminations: Frieze Patterns Arkiverad 21 oktober 2017 på Wayback Machine