Kvaternion grupp

I gruppteorin är en quaternion-grupp en icke- abelian grupp av åttonde ordningen , isomorf till en uppsättning av åtta quaternions med multiplikationsoperationen. Det betecknas ofta med bokstaven Q eller Q 8 , och bestäms av gruppens uppgift

Q=\langle -1,i,j,k\mid (-1)^{2}=1,\;i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk= -1\rangle ,

där 1 är identitetselementet, och elementet −1 pendlar med de andra elementen i gruppen.

The Earl of Cayley

Q 8 - gruppen har samma ordning som den dihedriska gruppen D 4 , men har en annan struktur, vilket kan ses i Cayley-graferna och cykeldiagrammen:

Earl of Cayley		cykel graf
Q 8 Röda pilar indikerar höger multiplikation med i , och gröna pilar indikerar höger multiplikation med j .	D 4 Dihedral grupp	Q8 _	Dih 4

Den dihedriska gruppen D 4 erhålls från split quaternions på samma sätt som Q 8 från quaternions.

Cayleys bord

Cayley- tabell (multiplikationstabell) för Q [1] :

Q×Q	ett	−1	i	− jag	j	− j	k	− k
ett	ett	−1	i	− jag	j	− j	k	− k
−1	−1	ett	− jag	i	− j	j	− k	k
i	i	− jag	−1	ett	k	− k	− j	j
− jag	− jag	i	ett	−1	− k	k	j	− j
j	j	− j	− k	k	−1	ett	i	− jag
− j	− j	j	k	− k	ett	−1	− jag	i
k	k	− k	j	− j	− jag	i	−1	ett
− k	− k	k	− j	j	i	− jag	ett	−1

Multiplikationen av sex imaginära enheter {± i , ± j , ± k } fungerar som en vektorprodukt av enhetsvektorer i det tredimensionella euklidiska rummet .

{\begin{alignedat}{2}ij&=k,&ji&=-k,\\jk&=i,&kj&=-i,\\ki&=j,&ik&=-j.\end{alignedat))

Egenskaper

Kvaterniongruppen har den ovanliga egenskapen att vara Hamiltonian - vilken undergrupp som helst av gruppen Q är en normal undergrupp och själva gruppen är inte abelisk. [2] Alla Hamiltonska grupper innehåller en kopia av Q . [3]

Man kan konstruera ett fyrdimensionellt vektorrum med bas {1, i , j , k } och förvandla det till en associativ algebra genom att använda basvektormultiplikationstabellen ovan och fortsätta driften av multiplikation med distributivitet . Den resulterande algebra kommer att vara kroppen av quaternions . Observera att detta inte är detsamma som gruppalgebra Q (som har dimension 8). Omvänt kan man börja med kvaternioner och definiera en kvartjongrupp som en multiplikativ undergrupp bestående av åtta element {1, −1, i , − i , j , − j , k , − k }. Ett komplext fyrdimensionellt vektorrum med samma bas kallas en biquaternionalgebra .

Observera att i , j och k har ordning 4 i Q och vilka två som helst genererar hela gruppen. En annan Q - gruppuppgift [4] som visar detta:

\langle x,y\mid x^{4}=1,x^{2}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle .

Du kan till exempel ta i = x , j = y och k = xy .

Mitten och kommutatorn i gruppen Q är undergruppen {±1}. Faktorgruppen Q /{±1} är isomorf till Klein fyra-gruppen V . Gruppen av inre automorfismer i gruppen Q är isomorf till kvotgruppen Q med avseende på centrum, och är därför också isomorf till Klein-fyrgruppen. Den fullständiga automorfismgruppen i gruppen Q är isomorf till S 4 , den symmetriska gruppen med fyra bokstäver. Den yttre automorfismgruppen av Q är S 4 / V , som är isomorf till S 3 .

Matrisrepresentation

Kvaterniongruppen kan representeras som en undergrupp av den fullständiga linjära gruppen GL2 ( C ) . Prestanda

Q=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}\to {\mathrm {GL}}_{{2}}({\mathbf {C}})

definieras av matriser [5]

1\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}

i\mapsto {\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}

j\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}

k\mapsto {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}

Eftersom alla ovanstående matriser har enhetsdeterminanter, definierar de en representation av gruppen Q i den speciella linjära gruppen SL2 ( C ) .

Det finns också en viktig åtgärd av gruppen Q på åtta icke-nollelement i ett tvådimensionellt vektorrum över ett ändligt fält F 3 . Prestanda

Q=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}\to {\mathrm {GL}}(2,3)

bestäms av matriser

1\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}

i\mapsto {\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}

j\mapsto {\begin{pmatrix}-1&1\\1&1\end{pmatrix}}

k\mapsto {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}

där {−1,0,1} är tre element i fältet F 3 . Eftersom determinanten för alla matriser över fältet F 3 är lika med ett, är detta en representation av gruppen Q i den speciella linjära gruppen SL(2, 3). Dessutom har gruppen SL(2, 3) ordning 24, och Q är en normal undergrupp till gruppen SL(2, 3) från index 3.

Galois-gruppen

Som Richard Dean visade 1981 kan kvaterniongruppen ges som Galoisgruppen Gal( T / Q ), där Q är det rationella talfältet och T är polynomets nedbrytningsfält

x^{8}-72x^{6}+180x^{4}-144x^{2}+36

över Q. _

Beviset använder grundsatsen i Galois-teorin , såväl som två satser om cykliska förlängningar av grad 4. [6]

Generaliserad quaternion grupp

En grupp kallas en generaliserad quaternion-grupp (eller dicyklisk grupp ) om den har en uppgift [4]

\langle x,y\mid x^{2n}=y^{4}=1,x^{n}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1} \rangle .

för något heltal n ≥ 2. Denna grupp betecknas Q 4 n och har ordningen 4 n . [7] Coxeter hänvisade till dessa dicykliska grupper som <2,2,n>, och betraktade dem som ett specialfall av den binära polyedriska gruppen <l,m,n> associerad med de polyedriska grupperna (p, q,r) och dihedrisk grupp (2,2,n). Den vanliga kvartjongruppen motsvarar fallet n = 2. Den generaliserade kvartjongruppen är isomorf till undergruppen av GL 2 ( C ) som genereras av elementen

\left({\begin{array}{cc}\omega _{n}&0\\0&\overline {\omega }_{n}\end{array}}\right)

och

\left({\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}}\right)

där ω n = e iπ/ n [4] . Det är också isomorft för gruppen som genereras [8] av kvarterna x = e iπ/ n och y = j.

Brouwer-Suzuki-satsen säger att grupper för vilka Sylow 2-undergrupper är generaliserade kvartjoner inte kan vara enkla.

Se även

Anteckningar

↑ Se även en tabell Arkiverad 28 april 2018 på Wayback Machine på Wolfram Alphas webbplats
↑ Se Hall (1999), sid. 190 Arkiverad 6 augusti 2021 på Wayback Machine
↑ Kurosh A.G. Gruppteori. - M . : Nauka, 1967. - S. 57.
↑ 1 2 3 Johnson, 1980 , sid. 44-45.
↑ Artin, 1991 .
↑ Dean, Richard (1981). "Ett rationellt polynom vars grupp är kvaternionerna". The American Mathematical Monthly 88(1): 42–45. .
↑ Vissa författare (till exempel Rotman, 1995 , s. 87, 351) kallar denna grupp för en dicyklisk grupp och lämnar namnet generaliserad kvartjongrupp för fallet när n är en potens av två.
↑ Brown, 1982 , sid. 98.

Litteratur

Michael Artin. Algebra. - Prentice Hall, 1991. - ISBN 978-0-13-004763-2 .
Kenneth S. Brown. Kohomologi av grupper. - Springer-Verlag, 1982. - ISBN 978-0-387-90688-1 .
Henri Cartan, Samuel Eilenberg. Homologisk algebra . - Princeton University Press, 1999. - ISBN 978-0-691-04991-5 .
Richard A. Dean. Ett rationellt polynom vars grupp är quaternionerna // American Mathematical Monthly . - 1981. - S. 88:42–5 .
D. Gorenstein. Finita grupper. - New York: Chelsea, 1980. - ISBN 978-0-8284-0301-6 .
David L Johnson Ämnen i teorin för grupppresentationer. - Cambridge University Press , 1980. - ISBN 978-0-521-23108-4 .
Joseph J. Rotman. En introduktion till gruppteori. - 4. - Springer-Verlag, 1995. - ISBN 978-0-387-94285-8 .
P.R. Girard. Kvaterniongruppen och modern fysik // European Journal of Physics. - 1984. - S. 5:25–32 .
Marshall Hall. Teorin om grupper. - 2. - AMS Bookstore, 1999. - ISBN 0-8218-1967-4 .
Alexander G. Kurosh. Teori om grupper. - AMS Bokhandel, 1979. - ISBN 0-8284-0107-1 .

Externa länkar

Weisstein, Eric W. Quaternion-gruppen (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .