Differentialoperatör

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 27 september 2021; verifiering kräver 1 redigering .

En differentialoperator (allmänt sett inte kontinuerlig, inte begränsad och inte linjär) är en operator som definieras av något differentiellt uttryck och som verkar i rymden (allmänt sett vektorvärderade) av funktioner (eller sektioner av differentierbara buntar ) på differentierbara grenrör , eller i utrymmen konjugera till utrymmen av denna typ.

Ett differentiellt uttryck är en sådan kartläggning av en uppsättning i utrymmet av sektioner av ett bunt med en bas till utrymmet av sektioner av ett bunt med samma bas, så att för vilken punkt och alla sektioner , sammanträffandet av deras -strålar vid punkten antyder en slump vid samma punkt; det minsta av talen som uppfyller detta villkor för alla kallas ordningen för differentialuttrycket och ordningen för differentialoperatorn som definieras av detta uttryck. $\lambda$ ${\mathfrak P}$ $\xi$ $M$ $\eta$ $p\in M$ $f,\;g\in {\mathfrak P}$ $k$ $sid$ $\lambda f$ $g$ $k$ $p\in M$

På ett grenrör utan gräns är en differentialoperator ofta en förlängning av en operator som naturligt definieras av ett fixerat differentialuttryck på någon (öppen i en lämplig topologi) uppsättning av oändligt (eller tillräckligt många gånger) differentierbara sektioner av en given vektorbunt med bas , och medger således en naturlig generalisering till fallet med kärvar som är groddar av sektioner av differentierbara buntar. På ett grenrör med gräns definieras en differentialoperator ofta som en förlängning av en analog operator som naturligt definieras av ett differentiellt uttryck på uppsättningen av de differentierbara funktioner (eller sektioner av paketet) vars begränsningar ligger i kärnan av någon differentialoperator på (eller uppfylla några andra villkor som bestäms av dessa eller andra krav för operatörens räckvidd på begränsningar av funktioner från operatörens domän , till exempel ojämlikheter); differentialoperatorn kallas för att definiera randvillkoren för differentialoperatorn . Linjära differentialoperatorer i utrymmen som är konjugerade till funktionsrum (eller sektioner) definieras som operatorer som är konjugerade till differentialoperatorer av den form som anges ovan i dessa utrymmen. $M$ $\xi$ $M$ $M$ $\partiell M$ $L$ $\partiell M$ $l$ $\partiell M$ $l$ $L$ $l$ $L$

Exempel

Vanliga differentialoperatorer

Låta vara en reell funktion av variabler , definierade i någon rektangel ; differentiellt uttryck $F$ $k+2$ $x,\;y_{0},\;y_{1},\;\ldots ,\;y_{k}$ $\Delta =I\times J_{0}\times J_{1}\times \ldots \times J_{k}$

Du\,{\stackrel {{\mathrm {def))}{=}}F\vänster(x,\;u,\;{\frac {du}{dx)),\;\ldots ,\;{ \frac {d^{k}u}{dx^{k}}}\right)

(där funktionen vanligtvis uppfyller vissa regularitetsvillkor — mätbarhet, kontinuitet, differentierbarhet, etc.) definierar en differentialoperator på grenröret vars definitionsdomän består av alla funktioner som uppfyller villkoret för ; om den är kontinuerlig kan den betraktas som en operatör i med domän . En sådan differentialoperator kallas en allmän vanlig differentialoperator . $F$ $D$ $\Delta$ $\Omega$ $u\in C^{k}(\Delta)$ $u^{{(i)}}(x)\in J_{i}$ $i=0,\;1,\;\ldots ,\;k$ $F$ $D$ $C(I)$ $\Omega$ $D$

Om beror på , då är beställningen . En differentialoperator kallas kvasilinjär om den beror linjärt på ; linjär om linjärt beror på ; linjär med konstanta koefficienter om beror inte på och är en linjär differentialoperator. De återstående differentialoperatorerna kallas icke-linjära . En kvasilinjär differentialoperator, under vissa regularitetsförhållanden för en funktion , kan utökas till en differentialoperator från ett Sobolev-utrymme till ett annat. $F$ $y_{k}$ $D$ $k$ $D$ $F$ $y_{k}$ $F$ $y_{0},\;y_{1},\;\ldots ,\;y_{k}$ $F$ $x$ $D$ $F$

Faktum är att vilken derivat som helst kan representeras av en operatörs handling. Till exempel operatören

$L=\left({\frac {d}{dt))+\gamma \right)$

när det skrivs leder till ekvationen . $Lx=\phi (t)$ ${\dot {x}}(t)+\gamma x(t)=\phi (t)$

Denna operator kan generaliseras till det flerdimensionella fallet:

${\hat {L}}=\left({\frac {d}{dt}}+{\hat {\Gamma }}\right)$

Partiella differentialoperatorer

Låt domänen köra in är ett differentiellt uttryck som definieras av en reell funktion på produkten av domänen och någon öppen rektangel , här är en uppsättning partiella derivator av formen , där , och funktionen uppfyller vissa regularitetsvillkor. Differentialoperatorn som definieras av detta uttryck på utrymmet för tillräckligt differentierbara funktioner på kallas en generell partiell differentialoperator . På liknande sätt definieras 1) icke-linjära, kvasilinjära och linjära differentialoperatorer med partiella derivator och ordningen för differentialoperatorn; en differentialoperator sägs vara elliptisk , hyperbolisk eller parabolisk om den definieras av ett differentiellt uttryck av lämplig typ. Ibland anses funktioner som beror på derivator av alla ordningar (till exempel i form av en formell linjär kombination av dem); sådana differentiella uttryck, som inte definierar en differentialoperator i vanlig mening, men vissa operatorer kan associeras (till exempel i utrymmen av bakterier av analytiska funktioner), kallas en differentialoperator i oändlig ordning . $x=(x^{1},\;\ldots ,\;x^{N})$ ${\mathfrak S}$ $\mathbb{R} ^{N}$ $F=F(x,\;u,\;\ldots ,\;D^{n}(u))$ $F$ ${\mathfrak S}$ $\omega$ $D^{{(n)}}(u)$ $D^{\alpha }u={\frac {\partial ^{{\alpha _{1}+\ldots +\alpha _{N)))){(\partial x^{1})^{{\ alfa _{1))}\ldots (\partial x^{N})^{{\alpha _{N))))}$ $a_{1}+\ldots +a_{N}\leqslant n$ $F$ ${\mathfrak {S}}\ gånger \omega$ $F$

Exempel är Laplace-operatorn och d'Alembert-operatorn som liknar den i Minkowski-rymden .

Flerdimensionella operatorer

System av differentiella uttryck definierar differentialoperatorer i utrymmen av vektorfunktioner.

Inom fysiken spelas en viktig roll i formuleringen och lösningen av differentialekvationer i partiella derivator av Nabla-operatorn , som låter en skriva ner gradienten , divergensen , curl ; samt den angivna Laplacian.

Dessutom omvandlar exempelvis Cauchy-Riemanns differentialoperator, definierad av ett differentialuttryck, utrymmet av par av harmoniska funktioner på planet till sig självt. $\left\{{\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y)),\;{\frac {\partial u}{\partial y}} +{\frac {\partial v}{\partial x}}\right\}$

Notera

De tidigare exemplen kan överföras till fallet med ett komplext fält, ett lokalt kompakt helt frånkopplat fält, och (åtminstone i fallet med linjära differentialoperatorer) även till en mer allmän situation.

Generaliseringar

I definitionen av en differentialoperator och dess generaliseringar (utöver vanliga derivat), inte bara generaliserade derivator (som naturligt uppstår när man överväger utvidgningar av differentialoperatorer definierade på differentierbara funktioner) och svaga derivator (associerade med passagen till den adjoint operatorn) används ofta, men också derivator av bråk- och negativordning . Dessutom ersätts själva differentieringen av en Fouriertransform (eller annan integrerad transformation) som tillämpas på domänen och värdet av en sådan generaliserad differentialoperator på ett sådant sätt att man får en enklast möjlig representation av funktionen som motsvarar differentialoperatorn och uppnår en rimlig generalitet av problemformuleringen och goda egenskaper hos objekten som övervägs, och även konstruera en funktionell eller operationell kalkyl (fortsätter korrespondensen mellan operatorn för differentiering och operatorn för multiplikation med en oberoende variabel, utförd av Fourier-transformen) . $F$

Sådana frågor om teorin om differentialekvationer som existens, unikhet, regelbundenhet, kontinuerligt beroende av lösningar på initialdata eller den högra sidan, den explicita formen av lösningen av en differentialekvation definierad av ett givet differentialuttryck, tolkas naturligt. i termer av operatorteori som ett problem med en differentialoperator definierad av ett givet differentialuttryck i lämpliga funktionsutrymmen, nämligen som problem med kärnan, bild, studie av strukturen av domänen för en given differentialoperator eller dess förlängning, kontinuitet av inversoperatorn till den givna differentialoperatorn, och explicit konstruktion av denna inversoperator. Frågor om approximation av lösningar och konstruktion av approximativa lösningar av differentialekvationer finner också en naturlig generalisering och förbättring av problem på motsvarande differentialoperatorer, nämligen om valet av sådana naturliga topologier inom definitionsområdet och värdeområdet så att Operatören (under förutsättning att lösningarna är unika) realiserar en homeomorfism av definitionsdomänen och intervallen i dessa topologier (denna teori är relaterad till teorin om interpolation och skalor av funktionsrum, särskilt i fallen med linjära och kvaslinjära differentialoperatorer ), eller i valet av differentialoperatorer som ligger nära den givna i en eller annan mening (vilket tillåter, med hjälp av olika topologier i de uppställda differentialoperatorerna, motivera metoder för approximering av ekvationer, inklusive regulariseringsmetoden, straffmetoden och vissa iterativa regleringsmetoder). Teorin om differentialoperatorer gör det möjligt att tillämpa klassiska metoder för operatorteorin, till exempel teorin om helt kontinuerliga operatorer, metoden för kontraktionsavbildningar i olika existens- och unikhetssatser för lösningar till differentialekvationer, i teorin om bifurkation av lösningar , och i icke-linjära egenvärdesproblem. Det visar sig ofta vara möjligt att använda närvaron i funktionsrum, där en differentialoperator definieras, av en naturlig ordningsstruktur (särskilt för att tillämpa teorin om monotona operatorer), för att använda metoderna för linjär analys (teorin) om dualitet, teorin om konvexa mängder, teorin om adjunkta operatorer, teorin om dissipativa operatorer), variationsmetoder och teorin om extrema problem, såväl som förekomsten av några ytterligare strukturer i definitionsdomänen för värdedomänen (till exempel komplex, symplektisk, etc.) för att klargöra strukturen för värdedomänen och differentialoperatorns kärna, det vill säga för att få information om klassen av lösningar för motsvarande ekvationer. Ett antal problem relaterade till differentiella uttryck leder till behovet av att studera differentiella ojämlikheter som naturligt är relaterade till flervärdiga differentialoperatorer. $L$ $L$

Således tillåter teorin om differentialoperatorer oss att lösa ett antal svårigheter i den klassiska teorin om differentialekvationer. Användningen av olika förlängningar av vanliga differentialoperatorer leder till konceptet med en generaliserad lösning av motsvarande differentialekvation (som i vissa fall, relaterad till t.ex. elliptiska problem, visar sig nödvändigtvis vara klassisk), och användningen av en linjär struktur tillåter oss att introducera begreppet svaga lösningar av differentialekvationer. När man väljer en lämplig förlängning av en differentialoperator definierad av ett differentiellt uttryck, spelas en viktig roll av a priori uppskattningar för lösningar relaterade till den specifika formen av den senare, som gör det möjligt att indikera sådana funktionella utrymmen som i dessa utrymmen av differentialoperatorer är kontinuerlig eller begränsad.

Men teorin om differentialoperatorer kommer att göra det möjligt att ställa upp och lösa ett antal fundamentalt nya problem i jämförelse med de klassiska problemen i teorin om differentialekvationer. För icke-linjära operatörer är det sålunda av intresse att studera strukturen för uppsättningen av dess fasta punkter och operatörens verkan i deras närområde, såväl som klassificeringen av dessa singularpunkter och frågan om singularpunktens stabilitet typ under störning av en given differentialoperator; för linjära differentialoperatorer, förutom ovanstående problem, är problemen med att beskriva och studera spektrumet av differentialoperatorer, konstruera dess upplösning, beräkna indexet, beskriva strukturen av invarianta delrum för en given differentialoperator, konstruera en harmonisk analys associerad med en given differentialoperator (särskilt expansioner i termer av egenvärden), funktioner, som kräver en preliminär studie av fullständigheten av systemet av egenfunktioner och associerade funktioner), studiet av linjära och icke-linjära störningar av en given differentialoperator . Dessa problem är av särskilt intresse för elliptiska differentialoperatorer som genereras av symmetriska differentialuttryck i samband med teorin om självtillgränsande operatorer i ett Hilbert-rum (särskilt med spektralsatsen för sådana operatorer och teorin om förlängningar av symmetriska operatorer). Teorin om ett antal problem med hyperboliska och paraboliska (inte nödvändigtvis linjära) differentialoperatorer är kopplad till teorin om transformationsgrupper och semigrupper av lokalt konvexa rum.

Den kanske mest studerade (förutom linjära) klassen av differentialoperatorer, som också har en bred praktisk tillämpning, är differentialoperatorer som inte förändras alls eller ändras enligt en väldefinierad lag när de agerar inom deras definitionsdomän, och följaktligen, på det differentiella uttrycket av vissa transformationer som utgör gruppen (eller en halvgrupp). Sådana, till exempel, är invarianta differentialoperatorer nära besläktade med representationer av gruppen ; den kovarianta derivatan eller, mer allmänt, pulverisering är en differentialoperator på utrymmen med differentierbara tensorfält (här gruppen av alla diffeomorfismer), en lång rad operatorer inom teoretisk fysik, och så vidare. Funktionella geometriska metoder är också användbara i studie av differentialoperatorer med så kallad dold symmetri. $G$ $G$ $G$

Teorin om differentialekvationer, som är en integrerad del av den allmänna teorin om operatorer, har nyligen spelat en allt viktigare roll inte bara i teorin om differentialekvationer, utan även i modern analys i allmänhet, och inte bara som ett viktigt konkret exempel av obegränsade operatorer (detta gäller särskilt för teorin om linjära differentialekvationer).operatorer), men också som en representationsapparat och ett sätt att studera objekt av olika karaktär: till exempel erhålls vilken generaliserad funktion (och till och med hyperfunktion) som helst av verkan av någon generaliserad differentialoperator på en kontinuerlig funktion. Slutligen, rollen och inflytandet av teorin om differentialoperatorer inom andra grenar av matematiken växer kontinuerligt - till exempel kopplar en av lösningarna till det så kallade indexproblemet de topologiska egenskaperna hos en mångfald med närvaron av en viss klass av differentialoperatorer på den, vilket gör att man kan dra en slutsats om egenskaperna hos elliptiska komplex på detta grenrör.

Exempel

I differentialgeometri har operatorerna för den yttre derivatan och Lie-derivatan en geometrisk betydelse och definieras internt.
I allmänhet algebra gör idén om differentiering det möjligt att generalisera differentialoperatorer utan att tillgripa matematisk analys. Sådana konstruktioner används ofta i algebraisk geometri och kommutativ algebra (till exempel när man introducerar jets ).

Se även

Differentialintegral

Litteratur

Dunford N., Schwartz J. Linjära operatörer.
- Volym 1. Allmän teori. — M.: IL, 1962.
- Volym 2. Spektralteori. Självtillslutande operatörer i ett Hilbert-utrymme. — M.: Mir, 1966.
- Volym 3. Spektraloperatorer. — M.: Mir, 1974.
Naimark M. A. Linjära differentialoperatorer. - 2:a uppl. — M.: Nauka, 1969.
Palamodov VP Linjära differentialoperatorer med konstanta koefficienter. — M.: Nauka, 1967.

Differentialkalkyl

Main

privata vyer

Differentialoperatorer
( i olika koordinater )

Första beställning	Nabla-operatör Lutning Divergens Rotor Helmholtzian
andra beställning	Elliptisk operatör Laplace-operatör Laplace vektor operatör D'Alembert operatör Laplace-Beltrami operatör
högre order	Hypoelliptisk operatör

Relaterade ämnen