Differentieringsbar funktion

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 4 februari 2021; kontroller kräver 2 redigeringar .

En differentierbar (vid en punkt) funktion är en funktion som har en differential (vid en given punkt). En funktion som kan differentieras på någon uppsättning är en funktion som kan differentieras vid varje punkt i den givna uppsättningen. Differentieringsbarhet är ett av de grundläggande begreppen inom matematik och har ett betydande antal tillämpningar både inom matematiken själv och inom andra naturvetenskaper.

Ökningen av en funktion som är differentierbar vid en given punkt kan representeras som en linjär funktion av ökningen av argumentet upp till värden av en högre storleksordning. Detta innebär att för tillräckligt små områden av en given punkt kan funktionen ersättas med en linjär (funktionens förändringshastighet kan anses vara oförändrad). Den linjära delen av ökningen av en funktion kallas dess differential (vid en given punkt).

En nödvändig men inte tillräcklig förutsättning för differentierbarhet är kontinuiteten i funktionen . I fallet med en funktion av en reell variabel är differentiabilitet ekvivalent med förekomsten av en derivata . När det gäller en funktion av flera reella variabler är ett nödvändigt (men inte tillräckligt) villkor för differentiabilitet att det finns partiella derivator med avseende på alla variabler. För att en funktion av flera variabler ska vara differentierbar vid en punkt, är det tillräckligt att de partiella derivatorna finns i någon omgivning av den aktuella punkten och är kontinuerliga vid den givna punkten. [ett]

När det gäller en funktion av en komplex variabel kallas differentiabilitet i en punkt ofta för monogenitet och skiljer sig väsentligt från differentiabilitetsbegreppet i det verkliga fallet. Nyckelrollen i detta spelas av det så kallade Cauchy-Riemann-tillståndet . En funktion som är monogen i närheten av en punkt kallas holomorf vid den punkten. [2] [3]

I funktionell analys finns det en generalisering av begreppet differentiering till fallet med kartläggningar av oändligt dimensionella rum - derivator av Gateau och Fréchet .

En generalisering av begreppet differentierbar funktion är begreppet subdifferentiera , superdifferentiera och kvasidifferentiera funktioner.

Enstaka variabelfunktioner

En funktion av en variabel är differentierbar vid en punkt i dess domän om det finns en konstant sådan att $f\colon M\subset \mathbb {R} \mapsto \mathbb {R}$ $x_{0}$ $M$ $a$

f(x)=f(x_{0})+a(x-x_{0})+o(x-x_{0}),\ \quad x\to x_{0},

medan talet oundvikligen är lika med derivatan $a$

a=f'(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{ 0}}}.

En funktion av en variabel är differentierbar vid en punkt om och endast om den har en finit derivata vid den punkten. $x_{0}$

Grafen för en funktion är en kurva i ett plan , medan grafen för en linjär funktion $y=f(x)$ $Oxy$

y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})

ger en tangent till denna kurva ritad vid punkten . $x_{0}$

Till exempel är en funktion definierad och differentierbar vid vilken verklig punkt som helst, eftersom den kan representeras som $f(x) = x^2$

{\displaystyle f(x)=f(x_{0})+2x_{0}(x-x_{0})+(x-x_{0})^{2))

Samtidigt är dess derivata , och ekvationen för tangentlinjen som dras vid punkten har formen: . $f'(x_{0})=2x_{0}$ $x_{0}$ $y=x_{0}^{2}+2x_{0}(x-x_{0})$

Elementära funktioner kan vara kontinuerliga någon gång, men inte differentierbara vid det. Till exempel är en funktion kontinuerlig på hela den reella axeln, men dess derivata upplever ett hopp när den passerar genom en punkt där denna funktion inte är differentierbar. Vid denna tidpunkt är det också omöjligt att rita en tangent till grafen för funktionen. Funktionen är också kontinuerlig på hela den reella axeln och dess graf har tangenter i alla punkter, men tangenten som ritas i punkten är en vertikal linje och därför är derivatan av funktionen oändligt stor i punkten , och själva funktionen är inte differentierbar vid denna tidpunkt. $f(x)=|x|$ $x=0$ $y={\sqrt[{3}]{x}}$ $x=0$ $y={\sqrt[{3}]{x}}$ $x=0$

Grafer över elementära funktioner lär ut att en godtycklig funktion är differentierbar överallt utom för exceptionella och isolerade värden i argumentet. Det första försöket till ett analytiskt bevis för detta påstående beror på Ampère [4] , och därför kallas det Ampère-förmodan. Detta påstående är dock inte sant i klassen av analytiskt representerbara funktioner, till exempel är Dirichlet-funktionen inte ens kontinuerlig vid någon punkt [5] . Det är också omöjligt att betrakta en godtycklig kontinuerlig funktion differentierbar, till exempel är Weierstrass-funktionen definierad och kontinuerlig på hela den reella axeln, men är inte differentierbar i någon av dess punkter [6] . I synnerhet betyder detta att det är omöjligt att dra en tangentlinje till dess graf vid någon punkt. Emellertid kan Amperes gissningar betraktas som en icke-strikt formulering av följande Lebesgues sats : vilken monoton funktion som helst har en viss finit derivata överallt, utom kanske för någon uppsättning värden på måttet noll. [7] $f(x)$ $x$

Funktioner för flera variabler

En funktion av variabler är differentierbar vid en punkt i dess domän om det finns konstanter för någon punkt $f\colon M\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $x=(x^{1},\ldots ,x^{n})$ $x_{0}=(x_{0}^{1},\ldots ,x_{0}^{n})$ $M$ $a=(a^{1},\ldots,a^{n})$ $x=(x^{1},\ldots,x^{n})\in M$

f(x)=f(x_{0})+\sum _{i=1}^{n}a^{i}(x^{i}-x_{0}^{i})+ o(\|x-x_{0}\|),\ \quad x\to x_{0},

var . $\|x-x_{0}\|^{2}=\summa _{i=1}^{n}(x^{i}-x_{0}^{i})^{2}$

I den här posten, funktionen

$A(x-x_{0})=\sum _{i=1}^{n}a^{i}(x^{i}-x_{0}^{i})$

är funktionens differential vid punkten , och talen är partiella derivator av funktionen vid punkten , dvs. $f(x)$ $x_{0}$ ${\displaystyle a^{1},\ldots,a^{n))$ $f(x)$ $x_{0}$

a^{i}={\frac {\partial f}{\partial x^{i))}(x_{0})=\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f (x_{0}+he_{i})-f(x_{0})}{h}},

där är en vektor, vars alla komponenter, förutom den -th, är lika med noll, och den -th komponenten är lika med 1. $e_{i}\in \mathbb {R} ^{n}$ $i$ $i$

Varje funktion som är differentierbar vid en punkt har alla partiella derivator vid den punkten, men inte varje funktion som har alla partiella derivator är differentierbar. Dessutom garanterar förekomsten av partiella derivat vid någon tidpunkt inte ens kontinuiteten i funktionen vid denna tidpunkt. Som ett sådant exempel kan vi betrakta en funktion av två variabler lika med för och för . Vid origo finns båda partiella derivator (lika med noll), men funktionen är inte kontinuerlig. $f(x,y)$ $0$ $xy=0$ $ett$ $xy\neq 0$

Denna omständighet skulle kunna bli ett allvarligt hinder för hela differentialkalkylen av funktioner för flera variabler, om det inte var tydligt att kontinuiteten för partiella derivator vid en punkt är tillräcklig för att funktionen ska vara differentierbar vid denna punkt. [ett]

Exempel på typer av punkter där funktionen är icke-differentieringsbar

Funktionen kommer att vara icke-differentieringsbar vid punkten , till exempel i följande fall: $f(x)$ $x_{0}$

En punkt är en diskontinuitetspunkt , till exempel är signumfunktionen icke -differentieringsbar vid noll. $x_{0}$

Funktionen har en hörnpunkt vid till exempel, funktionen är icke-differentieringsbar vid noll. $x_{0}$ $|x|$

Funktionen har en vertikal tangent, det vill säga är till exempel icke-differentieringsbar vid noll. $\lim _{x\to x_{0}}f^{'}\left(x\right)=\pm \infty$ ${\sqrt[ {3}]{x}}$

Funktionen skärps vid till exempel, den är icke-differentierar vid noll. $x_{0}$ $x^{\frac {2}{3}}$

Dessa fall uttömmer dock inte alla situationer där funktionen är icke-differentieringsbar. Så till exempel hör funktionen inte till något av dessa fall, men är ändå icke-differentieringsbar vid noll. $x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)$

Visar

En mappning sägs vara differentierbar vid en punkt i dess definitionsdomän om det finns en linjär mappning beroende på punkten så att ${\displaystyle f\colon M\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m))$ $x_{0}$ $M$ ${\displaystyle A\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m))$ $x_{0}$

f(x)=f(x_{0})+A(x-x_{0})+o(\|x-x_{0}\|),\ \quad x\to x_{0} ,

det vill säga genom att utöka tecknet "o" liten if

\lim \limits _{x\till x_{0}}{\frac {\|f(x)-f(x_{0})-A(x-x_{0})\|}{\ |x-x_{0}\|}}=0

Den linjära mappningen är differentialen för mappningen vid en punkt . ${\displaystyle A\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m))$ $f(x)$ $x_{0}$

Om mappningen ges av en uppsättning funktioner ${\displaystyle f\colon M\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m))$

f_{i}\colon M\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,\ \quad i=1,\ldots ,m,

då är dess differentiabilitet vid en punkt ekvivalent med differentierbarheten för alla funktioner vid en given punkt, och matrisen för dess differential är Jacobi-matrisen som består av partiella derivator av dessa funktioner vid punkten . $x_{0}$ $A$ $x_{0}$

Se även

Pompejus exempel är ett exempel på en differentierbar funktion vars derivata försvinner på en tät mängd. I synnerhet är derivatan av en sådan funktion diskontinuerlig vid vilken punkt som helst där den inte är lika med 0.

Anteckningar

↑ 1 2 Zorich V. A., Matematisk analys - Valfri upplaga, volym 1 kapitel VIII.
↑ Bitsadze A. V. Grunderna i teorin om analytiska funktioner för en komplex variabel - M., Nauka, 1969.
↑ Shabat B.V., Introduktion till komplex analys - M., Nauka, 1969.
↑ Ampère, AM // Ecole Politechnique, 6 (1806), fasc. 13.
↑ Pascal E. Esercizii critici di calcolo differenziale e integrale. Ed. 2. Milano, 1909. S. 1-3.
↑ Weierstrass K. Werke. bd. 2. Berlin, 1895. Abh. 6.
↑ Fig. F., S.-Nagy B. Föreläsningar om funktionsanalys. M.: Mir, 1979. S. 15.

Courant R. Kurs för differential- och integralkalkyl. - M. - L. : GNTI, 1931. - T. 2. - S. 60-69.
Zorich V. A. Matematisk analys. - M . : Fazis, 1997. - T. 1.