Isogonal kompis

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 28 juni 2018; kontroller kräver 13 redigeringar .

En isogonal konjugation är en geometrisk transformation som erhålls genom att reflektera linjerna som förbinder startpunkterna med hörnen på en given triangel , i förhållande till triangelns bisektrar .

Definition

Pekar och kallas isogonalt konjugat (föråldrade namn är isogonala, inversa [1] ) i en triangel om , , . Riktigheten av denna definition kan bevisas genom Cevas sats i sinusform, det finns också ett rent geometriskt bevis på riktigheten av denna definition. En isogonal konjugation är en transformation som associerar en punkt med dess isogonala konjugat. På hela planet, förutom linjerna som innehåller triangelns sidor, är den isogonala konjugationen en en-till-en-mappning . $P$ $P^*$ $\triangel ABC$ $\angle ABP = \angle CBP^*$ $\angle BAP = \angle CAP^*$ $\angle BCP = \angle ACP^*$

Egenskaper

En isogonal konjugation lämnar endast mitten av det inskrivna och cirklarna på plats .
En punkt isogonalt konjugerad till en punkt på den omskrivna cirkeln är i oändligheten . Riktningen som ges av denna punkt är vinkelrät mot den ursprungliga punktens Simson-linje .
Om punkterna , , är symmetriska till en punkt med avseende på triangelns sidor, är mitten av triangelns omskrivna cirkel isogonalt konjugerat med punkten . $P_a$ $P_b$ $P_c$ $P$ $P_aP_bP_c$ $P$
Om en ellips är inskriven i en triangel , är dess foci isogonalt konjugerade .

Projektionerna av två isogonalt konjugerade punkter på sidorna ligger på samma cirkel (det omvända är också sant) [2] . Mitten av denna cirkel är mittpunkten av segmentet mellan konjugerade punkter. Ett specialfall är en cirkel med nio punkter .
Det senare betyder att de subdermala cirklarna av två isogonalt konjugerade punkter sammanfaller. I synnerhet är undercirkeln av ortocentrum och mitten av den omskrivna cirkeln Eulercirkeln . Poder eller pedalcirkel är den omskrivna cirkeln av den subdermala triangeln .
Två punkter i en triangel är isogonalt konjugerade om och endast om produkterna av deras tre avstånd till triangelns tre sidor är lika [2] .

Par av isogonalt konjugerade linjer

Bilden av en linje i isogonal konjugation är en konisk omskriven om en triangel. I synnerhet är linjen i oändligheten och den omskrivna cirkeln , Euler-linjen och Enzhabek-hyperbolen , Brocard-axeln och Kiepert-hyperbolen , centrumlinjen för de inskrivna och omskrivna cirklarna och Feuerbach-hyperbolen isogonalt konjugerade .
Om en kägel är isogonalt konjugerad till en linje , så kommer de trilinjära polarna för alla punkter på att passera genom en punkt som är isogonalt konjugerad till den trilinjära polen . $\alfa$ $l$ $\alfa$ $l$
Vissa välkända kuber , såsom Thompson - kubiken, Darboux - kubiken, Neuberg -kubiken, är isogonalt självadjoint i den meningen att om alla deras punkter i triangeln är isogonalt konjugerade, erhålls kuber igen.

Par av isogonalt konjugerade punkter

Centrum för den omskrivna cirkeln och ortocentrum (se figur).
Skärningspunkt för medianer och Lemoine -punkt (skärningspunkt för simedianer).
Gergonne-punkten och mitten av den negativa homoteten av de inskrivna och omskrivna cirklarna.
Nagels punkt och mitten av den positiva homoteten av incircle och circumcircle ( Verrier point ).
Två Brocard-poäng
Apollonius punkt och Torricelli punkt .
Mitten av den inskrivna cirkeln ( incenter ) är isogonalt konjugerat med sig själv.

Koordinatnotation

I barycentriska koordinater skrivs den isogonala konjugationen som:

(x:y:z)\ \mapsto \left({\frac {a^{2}}{x}}:{\frac {b^{2}}{y}}:{\frac { c^{2}}{z}}\right)

där , , är längderna på triangelns sidor. I trilinjära koordinater har dess notation formen: $a$ $b$ $c$

(x:y:z)\ \mapsto \left({\frac {1}{x}}:{\frac {1}{y}}:{\frac {1}{z}}\right )

därför är de bekväma när man arbetar med isogonala kompisar. I andra koordinater är den isogonala konjugationen mer besvärlig.

Variationer och generaliseringar

På liknande sätt kan man definiera en isogonal konjugation med avseende på en polygon. Foci av ellipser inskrivna i en polygon kommer också att vara isogonalt konjugerade. Den isogonalt konjugerade punkten kommer dock inte att definieras för alla punkter: till exempel, i en fyrhörning, är platsen för punkter för vilka den isogonala konjugationen är definierad någon kurva av tredje ordningen; för en femhörning kommer det bara att finnas ett par isogonalt konjugerade punkter (fokus för den enda ellipsen inskriven i den), och i polygoner med ett stort antal hörn, i det allmänna fallet, kommer det inte att finnas några isogonalt konjugerade punkter.

Du kan också definiera en isogonal konjugation i en tetraeder , i trilinjära koordinater kommer det att skrivas på samma sätt som en platt isogonal konjugation [3] .

Nära besläktad med isogonal konjugation är antigonal konjugation , som nämns i artikeln Poncelets teorem .

Konsekvenser

Pascals teorem kan härledas från isogonal konjugation .

Anteckningar

↑ D. Efremov. Ny triangelgeometri. Odessa, 1902
↑ 1 2 Zetel S.I. Ny triangelgeometri. En guide för lärare. 2:a upplagan .. - M . : Uchpedgiz, 1962. - S. 97, s. 80.
↑ Isogonal konjugation i en tetraeder och dess ytor (otillgänglig länk)