Integrerade transformationer

Ett av de mest kraftfulla sätten att lösa differentialekvationer, både vanliga och särskilt i partiella derivator , är metoden för integraltransformationer . Fourier, Laplace, Hankel och andra transformationer används för att lösa problem i teorin om elasticitet , värmeledningsförmåga , elektrodynamik och andra delar av matematisk fysik . Användningen av integraltransformationer gör det möjligt att reducera en differential-, integral- eller integrodifferentialekvation till en algebraisk , och även, i fallet med en partiell differentialekvation, att reducera dimensionen av .

Integraltransformationer ges av formeln

Tf(u)=\int \limits _{{S}}K(t,u)\,f(t)\,dt

där funktionerna kallas originalet respektive bilden , och är element i något funktionsutrymme , medan funktionen kallas kärnan i integraltransformationen. $f,Tf$ $L$ $K$

De flesta integrerade transformationer är reversibla, det vill säga från en känd bild kan originalet återställas, ofta också genom en integral transformation:

f(t)=\int \limits _{{S'}}K^{{-1}}(u,t)\,(Tf(u))\,du.

Även om egenskaperna hos integraltransformationer är ganska omfattande, har de ganska mycket gemensamt. Till exempel är varje integraltransformation en linjär operator .

Transformationstabell (endimensionellt fall)

Om integraltransformationen och dess inversion ges av formlerna

Tf(u)=\int \limits _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}K(t,u)\,f(t)\,dt

f(t)=\int \limits _{{u_{1}}}^{{u_{2}}}K^{{-1}}(u,t)\,(Tf(u))\, du

sedan:

Tabell över integrerade transformationer (endimensionellt fall)

omvandling	Beteckning	$K$	t1 _	t2 _	$K^{{-1}}$	u 1	u 2
Fouriertransform	${\mathcal {F}}$	${\frac {e^{{-iut}}}{{\sqrt {2\pi }}}}$	$-\infty$	$\infty$	${\frac {e^{{+iut}}}{{\sqrt {2\pi }}}}$	$-\infty$	$\infty$
Sinus Fourier Transform	${\mathcal {F}}_{s}$	${\frac {{\sqrt {2}}\sin {(ut)}}({\sqrt {\pi }}}}$	$0$	$\infty$	${\frac {{\sqrt {2}}\sin {(ut)}}({\sqrt {\pi }}}}$	$0$	$\infty$
Cosinus Fourier Transform	${\mathcal {F}}_{c}$	${\frac {{\sqrt {2}}\cos {(ut)}}({\sqrt {\pi }}}}$	$0$	$\infty$	${\frac {{\sqrt {2}}\cos {(ut)}}({\sqrt {\pi }}}}$	$0$	$\infty$
Hartley transformation	${\mathcal {H}}$	${\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{{\sqrt {2\pi ))))$	$-\infty$	$\infty$	${\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{{\sqrt {2\pi ))))$	$-\infty$	$\infty$
Mellin transform	${\mathcal {M}}$	$t^{u-1}$	$0$	$\infty$	${\frac {t^{-u}}{2\pi i}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
Bilateral Laplace-transform	${\mathcal {B}}$	$e^{-ut}$	$-\infty$	$\infty$	${\frac {e^{{+ut}}}{2\pi i}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
Laplace transformation	$\mathcal{L}$	$e^{-ut}$	$0$	$\infty$	${\frac {e^{{+ut}}}{2\pi i}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
Weierstrass transformation	${\mathcal {W}}$	${\frac {e^{-(ut)^{2}/4}}{\sqrt {4\pi }}}$	$-\infty$	$\infty$	${\frac {e^{{+(ut)^{2}/4))}{i{\sqrt {4\pi ))))$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
Hankel transformation		$t\,J_{\nu}(ut)$	$0$	$\infty$	$u\,J_{\nu}(ut)$	$0$	$\infty$
Abel integral transformation		${\frac {2t}{{\sqrt {t^{2}-u^{2))))}$	$u$	$\infty$	${\frac {-1}{\pi {\sqrt {u^{2}\!-\!t^{2))))}{\frac {d}{du))$	$t$	$\infty$
Hilbert förvandla	${\mathcal {H}}il$	${\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{ut}}$	$-\infty$	$\infty$	$-{\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{ut}}$	$-\infty$	$\infty$
Poisson kärna		${\frac {1-r^{2}}{1-2r\cos \theta +r^{2}}}$	$0$	$2\pi$
Identisk transformation		$\delta (ut)$	$t_{1}<u$	$t_{2}>u$	$\delta (tu)$	$u_{1}\!<\!t$	$u_{2}\!>\!t$

Lista över integraltransformationer

Litteratur

Ditkin V. A. , Prudnikov A. P. Integraltransformationer och operationell kalkyl. —M.: Fizmagiz, 1961.

Se även

Diskreta transformationer

Länkar

Tabeller över integraltransformationer på EqWorld: THE WORLD OF MATEMATIC EQATIONS.

Integrerade transformationer
Abel förvandla Bessel förvandlas Bushman förvandla Gegenbauer transformation Hilbert förvandla Kontorovich-Lebedev förvandling Laplace transformation Meyer förvandla Mehler-Fock förvandling Mellin transform Nerain transformation Radonomvandling Stieltjes förvandlas Fouriertransform Hankel transformation Hartley transformation