Kontinuum kinematik

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 29 september 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Kinematik för ett kontinuerligt medium (från annan grekisk κίνημα - rörelse) är ett avsnitt av kinematik som studerar rörelsen hos ett kontinuerligt medium (modeller av en deformerbar kropp, vätska eller gas), utan att gå in på orsakerna som orsakar det. På grund av rörelsens relativitet är det obligatoriskt att ange den referensram i förhållande till vilken rörelsen beskrivs.

Kontinuummodellen

Modellen arbetar med konceptet med en elementär volym , som är liten jämfört med problemets karakteristiska storlek, men i vilken det finns många partiklar (atomer, molekyler, etc.) som interagerar med varandra. Den genomsnittliga fria vägen (det genomsnittliga avståndet som en partikel färdas mellan kollisioner) bör vara mycket mindre än den karakteristiska storleken . En sådan modell kan beskrivas av partiklar av ett kontinuerligt medium - elementära volymer av ett kontinuerligt medium där egenskaperna hos ett kontinuerligt medium (en uppsättning partiklar av föremålet i fråga) kan anses vara konstanta. $dV$ $dV$

Lagrangian och Eulers tillvägagångssätt för att beskriva kontinuum

För att identifiera partiklarna i ett kontinuerligt medium är det nödvändigt att numrera dem. På grund av rymdens tredimensionalitet används tre variabler . Sådana identifieringsparametrar för partiklarna i mediet kallas lagrangiska (eller material) koordinater . Som lagrangiska koordinater kan man välja till exempel de kartesiska koordinaterna för partiklar någon gång i tiden . Allmänt sett kan metoden att "numrera" partiklarna i mediet vara godtycklig. $(\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3})$ $\tau$

Koordinaterna för miljöns punkter i det rumsliga koordinatsystemet kallas Euler (eller rumsliga) koordinater . Lösningen på problemet med kinematik för ett kontinuerligt medium är att fastställa koordinaterna för en materialpartikel när som helst, det vill säga att hitta funktioner eller funktioner som associerar varje partikel med dess position i tiden. $(x_1,x_2,x_3)$ $(x_1,x_2,x_3)$ $(\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3})$ ${\displaystyle x_{i}=f(t,\xi _{j}|_{j=1,2,3}){\Big |}_{i=1,2,3))$ ${\displaystyle \xi _{i}=g(t,x_{j}|_{j=1,2,3}){\Big |}_{i=1,2,3))$

Vilken funktion som helst som beskriver egenskaperna hos partiklar i ett kontinuerligt medium ( densitet , temperatur , acceleration , etc.) kan definieras som en funktion av lagrangiska koordinater ( lagrangiska tillvägagångssätt ) eller en funktion av Eulerkoordinater ( euleriska tillvägagångssätt ). $\rho (t,\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3})$ $\rho (t,x_{1},x_{2},x_{3})=\lim _{\Delta V\to 0}{\frac {\Delta M(\cdot )}{\Delta V}}$

För alla funktioner i Euler-variabler , $f(t,x_{1},x_{2},x_{3})$

{\displaystyle {\frac {df}{dt))={\frac {\partial f}{\partial t))+v_{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{1))} +v_{2}{\frac {\partial f}{\partial x_{2))}+v_{3}{\frac {\partial f}{\partial x_{3))))

En partikels bana är platsen för dess positioner hela tiden. En partikels bana bestäms av rörelselagen

En strömlinje vid en tidpunkt är en kurva vars tangentriktning vid varje punkt sammanfaller med riktningen för hastighetsvektorn för ett kontinuerligt medium vid den tidpunkten. Strömlinjerna bestäms från ekvationerna $\tau$ ${\vec {v}}(t,x_{1},x_{2},x_{3})$

{\frac {dx_{1}}{v_{1}(\tau ,x_{i})}}={\frac {dx_{2}}{v_{2}(\tau ,x_{i })}}={\frac {dx_{3}}{v_{3}(\tau ,x_{i})}}{\Bigg |}_{i=1,2,3}

Cauchy-Helmholtz formel

Cauchy-Helmholtz-formeln relaterar hastigheten för partiklarna i mediet vid en punkt som ligger i ett litet grannskap av någon punkt om hastigheten för partiklarna vid punkten är känd . $A$ $O(x_{1},x_{2},x_{3})$ $O$

{\vec {v}}_{A}={\vec {v}}_{O}+{\hat {E}}\,{\vec {r}}+{\frac {1} {2}}(\nabla \times {\vec {v}})\times {\vec {r}}

där är töjningshastighetens tensor , a är den lilla töjningstensorn , och är virvelvektorn. ${\hat {E}}=(e_{ij})$ ${\hat {\varepsilon }}=(e_{ij}\,dt)$ ${\frac {1}{2}}\nabla \times {\vec {v}}={\vec {\omega }}$

Bevis

Punkten representeras som $A$

A(x_{1}+\Delta x_{1},x_{2}+\Delta x_{2},x_{3}+\Delta x_{3})

I en linjär approximation

v_{i}(t,{\vec {x}}_{O}+\Delta {\vec {x}})-v_{i}(t,{\vec {x}}_{O })={\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{1}}}\Delta x_{1}+{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{2}}} \Delta x_{2}+{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{3}}}\Delta x_{3}{\Bigg |}_{i=1,2,3}

, eller via nabla-operatören : .

\Delta v_{i}(t,{\vec {x}}_{O})={\vec {r}}\cdot \nabla v_{i}{\Big |}_{i=1 ,2,3}

\left({\vec {r}}={\overrightarrow {OA}}\right)

Att flytta en punkt har relativt formen , från ovan eller koordinatmässigt $A$ $O$ $d{\vec {r}}=({\vec {v}}_{A}-{\vec {v}}_{O})dt$ $d{\vec {r}}=({\vec {r}}\nabla ){\vec {v}}\,dt$

dr_{i}=\summa _{j=1,2,3}\left({\frac {\partial v_{i)){\partial r_{j))}\cdot r_{j}\ höger)dt{\Bigg |}_{i=1,2,3}

Kan skrivas om

dr_{i}=\sum _{j}(e_{ij}r_{j}+f_{ij}r_{j})dt

var

e_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v_{i}}{\partial r_{j}}}+{\frac {\partial v_{ j}}{\partial r_{i}}}}\right)

, a .

f_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v_{i}}{r_{j}}}-{\frac {\partial v_{j} }{\partial r_{i}}}}\right)

Efter konvertering

\sum _{j}f_{ij}r_{j}=\left[{\frac {1}{2))(\nabla \times {\vec {v)))\times {\vec { r}}\right]_{i}{\Bigg |}_{i=1,2,3}

Det visar sig att Cauchy-Helmholtz formel:

d{\vec {r}}={\hat {E}}\,{\vec {r}}\,dt+\left({\frac {1}{2}}(\nabla \times { \vec {v)))\ gånger {\vec {r}}\right)dt

Således, , eller för hastigheter: . $d{\vec {r}}_{A}=d{\vec {r}}_{O}+{\hat {E}}\,{\vec {r}}\,dt+\left ({\frac {1}{2}}(\nabla \times {\vec {v)))\times {\vec {r}}\right)dt$ ${\vec {v}}_{A}={\vec {v}}_{O}+{\hat {E}}\,{\vec {r}}+{\frac {1} {2}}(\nabla \times {\vec {v}})\times {\vec {r}}$

Ren deformation

Fallet med ren deformation uppstår i frånvaro av den roterande delen av rörelsen . I huvudkoordinatsystemet (i motsvarande huvudaxlar) är det sant: $(\nabla \times {\vec {v}}=0)$

{\hat {\varepsilon }}={\begin{pmatrix}\varepsilon _{1}&0&0\\0&\varepsilon _{2}&0\\0&0&\varepsilon _{3}\end{pmatrix}}

Enligt Cauchy-Helmholtz formel . $d{\vec {r}}=\varepsilon _{1}r_{1}{\vec {e}}_{1}+\varepsilon _{2}r_{2}{\vec {e} }_{2}+\varepsilon _{3}r_{3}{\vec {e}}_{3}$

I fallet med ren deformation passerar punkterna på en liten partikel av ett kontinuerligt medium, som för tillfället ligger på sfären av radie , bortom i en ellipsoid , som kallas deformationsellipsoiden . Punkterna på en partikel av ett kontinuerligt medium som ligger på deformationens huvudaxlar kommer att finnas kvar efter deformationen på samma axlar och upplever endast en förskjutning längs dem. $t$ $a$ $\left(\xi _{1}^{2}+\xi _{2}^{2}+\xi _{3}^{2}=a^{2}\right)$ $dt$

Längden på ellipsoidens huvudaxlar beskrivs med rötter . ${\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3))$ $a^{2}={\frac {R^{2}}{1-2e_{1}\,dt)),\;b^{2}={\frac {R^{2}} {1-2e_{2}\,dt)),\;c^{2}={\frac {R^{2}}{1-2e_{3}\,dt}}$

Homogen deformation

I fallet när , som bestämmer den rena deformationen och rotationen av partikeln är konstanta, kallas deformationen homogen. ${\hat {E)),\;{\vec {\omega }}$

För enhetlig deformation:

Punkter på mediet som ligger på ett plan eller på en rät linje kvarstår efter deformation, respektive på ett visst plan eller på en rät linje;
Riktningarna för huvuddeformationsaxlarna för någon punkt på mediet kommer att vara desamma;
Om det vid någon tidpunkt är likadant på alla punkter i mediet, så är det i detta ögonblick likadant på alla punkter i mediet. ${\hat {E}}$ $\vec\omega$

Konsistensvillkor

Per definition har dessa tensorer endast 6 distinkta komponenter. Dessa 6 komponenter är fortfarande inte oberoende, eftersom de uttrycks i termer av tre hastighetskomponenter . På grund av beroende uppfyller de relationerna, som kallas Saint-Venant-kompatibilitetsvillkoren: ${\displaystyle e_{ij}=e_{ji))$ $(v_{1},v_{2},v_{3})$

{\frac {\partial ^{2}e_{ij)){\partial x_{k}\partial x_{l))}={\frac {\partial ^{2}e_{kl)){ \partial x_{i}\partial x_{j))}={\frac {\partial ^{2}e_{kj)){\partial x_{i}\partial x_{l))}={\frac { \partial ^{2}e_{il}}{\partial x_{k}\partial x_{j}}}{\Bigg |}_{i,j,k,l=1,2,3}

Av dessa 81 ekvationer är endast 6 oberoende.

Litteratur

Föreläsningar om kontinuummekanik, M. E. Eglit, Föreläsning 1, 7-11
Kontinuummekanik, L. I. Sedov, volym 1, kapitel 2