Koniska koordinater

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 25 februari 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Koniska koordinater är ett tredimensionellt ortogonalt koordinatsystem som består av koncentriska sfärer (radie r ) och två familjer av vinkelräta koner riktade längs z- och x -axlarna .

Grundläggande definitioner

De koniska koordinaterna definieras av uttrycken $(r,\mu ,\nu )$

x={\frac {r\mu \nu }{bc)),

y={\frac {r}{b}}{\sqrt {\frac {\left(\mu ^{2}-b^{2}\right)\left(\nu ^{2}- b^{2}\right)}{\left(b^{2}-c^{2}\right)}}},

z={\frac {r}{c}}{\sqrt {\frac {\left(\mu ^{2}-c^{2}\right)\left(\nu ^{2}- c^{2}\höger)}{\left(c^{2}-b^{2}\höger)}}},

medan restriktioner åläggs koordinaterna

\nu ^{2}<c^{2}<\mu ^{2}<b^{2}.

Ytor med konstant r är sfärer med radie r centrerade vid origo:

x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2},

ytor av konstanter och är ömsesidigt vinkelräta koner : $\mu$ $\nu$

{\frac {x^{2}}{\mu ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\mu ^{2}+b^{2}}}+{ \frac {z^{2}}{\mu ^{2}-c^{2}}}=0

och

{\frac {x^{2}}{\nu ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\nu ^{2}-b^{2}}}+{ \frac {z^{2}}{\nu ^{2}+c^{2}}}=0.

Skalfaktorer

Skalfaktorn för radie r är ett ( h r = 1 ), som i sfäriska koordinater. För koniska koordinater är skalfaktorerna

h_{\mu }=r{\sqrt {\frac {\mu ^{2}-\nu ^{2)){\left(b^{2}-\mu ^{2}\right) \left(\mu ^{2}-c^{2}\right)}}}

och

h_{\nu }=r{\sqrt {\frac {\mu ^{2}-\nu ^{2)){\left(b^{2}-\nu ^{2}\right) \left(c^{2}-\nu ^{2}\right)}}}.

En annan definition

Det finns en annan uppsättning koniska koordinater: [1]

${\begin{aligned}\xi &=r\cos \phi \sin \theta ,\\\psi &=r\sin \phi \sin \theta ,\\\zeta &=\theta ,\end {Justerat}}$

var finns sfäriska polära koordinater. Omvänd konvertering: $\{r,\theta ,\phi \}$

${\begin{aligned}r&={\sqrt {\xi ^{2}+\psi ^{2}}},\\\phi &={\frac {1}{\sin \zeta }} \operatörsnamn {arctg} ({\frac {\psi }{\xi )),\\\theta &=\zeta .\end{aligned))$

Litet euklidiskt avstånd mellan två punkter i givna koordinater:

{\begin{aligned}ds^{2}&=d\xi ^{2}+d\psi ^{2}+(\xi ^{2}+\psi ^{2})(1+ \operatörsnamn {arctg} ({\frac {\psi }{\xi )))^{2}\operatörsnamn {ctg} \zeta ^{2})d\zeta ^{2}+\\&+2\psi \operatörsnamn {arctg} ({\frac {\psi }{\xi )))\operatörsnamn {ctg} \zeta d\xi d\zeta -2\xi \operatörsnamn {arctg} ({\frac {\psi }{ \xi }})\operatörsnamn {ctg} \zeta d\psi d\zeta .\end{aligned}}

Om vägen mellan två punkter begränsas av ytan på en kon som ges av , då det geodetiska avståndet mellan två punkter och uttrycks som $\zeta ={\frac {\pi }{4}}$ ${\displaystyle \{\xi _{1},\psi _{1},\zeta _{1}={\frac {\pi }{4))\))$ ${\displaystyle \{\xi _{2},\psi _{2},\zeta _{2}={\frac {\pi }{4))\))$ $s_{12}^{2}=(\xi _{1}-\xi _{2})^{2}+(\psi _{1}-\psi _{2})^{2 }.$

Anteckningar

↑ Drake, Samuel Picton; Anderson, Brian D.O.; Yu, Changbin. Causal association of electromagnetic signals using the Cayley–Menger determinant (engelska) // Applied Physics Letters : journal. - 2009. - 20 juli ( vol. 95 , nr 3 ). — S. 034106 . — ISSN 0003-6951 . - doi : 10.1063/1.3180815 .

Litteratur

Morse PM, Feshbach H. Metoder för teoretisk fysik, del I (neopr.) . - New York: McGraw-Hill Education , 1953. - P. 659. - ISBN 0-07-043316-X .
Margenau H., Murphy GM Matematik i fysik och kemi (ospecificerad) . - New York: D. van Nostrand, 1956. - S. 183-184 .
Korn GA, Korn TM Matematisk handbok för vetenskapsmän och ingenjörer (engelska) . - New York: McGraw-Hill Education , 1961. - S. 179.
Sauer R., Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs (neopr.) . - New York: Springer Verlag , 1967. - S. 991-100.
Arfken G. Matematiska metoder för fysiker (obestämd) . — 2:a. - Orlando, FL: Academic Press , 1970. - s. 118-119.
Moon P., Spencer DE Koniska koordinater (r, θ, λ) // Fältteorihandbok, inklusive koordinatsystem, differentialekvationer och deras lösningar (engelska) . rättad 2:a uppl., 3:e trycket. - New York: Springer-Verlag , 1988. - S. 37-40 (tabell 1.09). — ISBN 978-0-387-18430-2 .

Länkar

Beskrivning av koniska koordinater i MathWorld

Koordinatsystem
Namn på koordinater	Abskissa Ordinera Applikation
Typer av koordinatsystem	Rättlinjigt koordinatsystem Krökt koordinatsystem
2D-koordinater	Biangulära koordinater Bicentriska koordinater Hyperboliska koordinater Polära koordinater Bipolära koordinater Paraboliska koordinater Elliptiska koordinater Tetracykliska koordinater Trilinjära koordinater
3D-koordinater	Cylindriska koordinater Sfäriska koordinater Bisfäriska koordinater Toroidformade koordinater Cylindriska paraboliska koordinater Bicylindriska koordinater Ellipsoidala koordinater Koniska koordinater Pentasfäriska koordinater Dipolärt koordinatsystem
$n$ -dimensionella koordinater	kartesiska koordinater Affina koordinater Projektiva koordinater Plücker-koordinater barycentriska koordinater
Fysiska koordinater	Rindler koordinater Födda koordinater Himmelskt koordinatsystem Geografiska koordinater Huvudortodromt koordinatsystem
Relaterade definitioner	Koordinatmetod Ursprung Koordinataxel Vektor Orth referenssystem Benchmark Lama koefficienter Metrisk tensor