Linjär ekvation

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 22 november 2021; kontroller kräver 5 redigeringar .

En linjär ekvation är en algebraisk ekvation vars totala grad av dess ingående polynom är 1. En linjär ekvation kan representeras som:

i allmän form: ; $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}+b=0$
i kanonisk form: , $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}=-b$

där är variabla (eller okända) storheter (även känd som rötter till en linjär ekvation), och är konstanter eller koefficienter, som är reella tal . Koefficienter kan kvalificera sig som parametrar i en ekvation och kan vara vilket uttryck som helst, så länge de inte själva innehåller variabler. För att ekvationen ska vara meningsfull får koefficienterna inte vara noll. Dessutom kan en linjär ekvation erhållas genom att likställa ett linjärt polynom med noll över något fält, från vilket koefficienterna tas för polynomet. $x_{1},\ldots ,x_{n}$ ${\displaystyle b,a_{1},\ldots ,a_{n))$ $a_{1},\ldots ,a_{n}$

Att lösa en ekvation är att hitta sådana värden på variabler som, när de substitueras, skulle ge korrekt likhet. Om det bara finns en variabel så finns det bara en lösning för den linjära ekvationen (förutsatt att ). Ofta kallas liknande ekvationer med en "okänd" "linjära ekvationer". Om det finns två variabler kan vilken lösning som helst illustreras och verifieras med hjälp av ett rektangulärt koordinatsystem i tvådimensionellt (euklidiskt) rymd . Lösningen av en linjär ekvation avbildas som en vertikal linje i ett rektangulärt koordinatsystem för denna ekvation, men samma linje kan vara en illustration av lösningen av en annan ekvation. Varje linje kan betraktas som mängden av alla lösningar av en linjär ekvation i två variabler, varför sådana ekvationer kallas linjära. Generellt sett bildar uppsättningen av lösningar till en linjär ekvation med n variabler ett hyperplan (ett delrum med dimension n-1 ) i ett euklidiskt utrymme med dimension n . $a_1\ne0$

Linjära ekvationer används inom absolut alla områden av matematik och deras tillämpningar inom fysik och teknik, delvis för att ickelinjära system ofta kan "approximeras" och förenklas med linjära ekvationer. En uppsättning i form av två eller flera linjära ekvationer, för vilka en specifik lösning måste hittas, är ett system av linjära algebraiska ekvationer .

Enkel variabel ekvation

Matematisk beskrivning

Ekvationen har formen: dess lösning reduceras till formen: i det allmänna fallet, när a ≠ 0 . I det här fallet kallas variabeln x "okänd" . Om a = 0 är två alternativ möjliga. Om b också är lika med noll finns det oändligt många lösningar, eftersom vilket tal som helst är en lösning. Men om b ≠ 0 , då kan ekvationen inte ha rötter, eftersom . I det senare fallet är en sådan ekvation inkonsekvent $ax+b=0,$ $x=-{\frac {b}{a}}$ $\inte \exists x\i {\mathbb R}:0\cdot x=-b\neq 0$ (dvs du kan inte välja en variabel för att göra likheten sann) [1] .

Lösningsexempel

En linjär ekvation ges som resultatet av att multiplicera två tal; en av faktorerna är känd, den andra är okänd, men resultatet är känt.

3\cdot x=24

I det här fallet, för att hitta den okända faktorn måste resultatet av multiplikationen 24 divideras med den kända faktorn 3 . Resultatet av divisionsoperationen blir 8 som roten till denna ekvation. $x$

x={\frac {24}{3}}=8

En linjär ekvation av typen

0\cdot x=7,

har ingen lösning, eftersom resultatet av att multiplicera ett tal med 0 alltid ger 0. Samtidigt, en ekvation av formen

0\cdot x=0

har oändligt många lösningar. Därför kan det för honom vara vilket nummer som helst. $x$

Ekvation med två variabler

Beskrivning i allmänna och kanoniska former

Om det finns två variabler i ekvationen kan den linjära ekvationen representeras i den allmänna formen: , där variablerna är x och y , och koefficienterna är a , b och c . I kanonisk form har denna ekvation formen för A = a , B = b och C = – c [2] . $axe+by+c=0$ $Ax+By=C,$

Lösningen eller rötterna till en sådan ekvation kallas ett sådant värdepar av variabler , vilket gör det till en identitet . En linjär ekvation med två variabler har ett oändligt antal sådana lösningar (rötter) . $(x;y)$

Det finns andra former av en linjär ekvation, till vilken den kan reduceras med enkla algebraiska transformationer (att lägga till samma värde i ekvationen, multiplicera eller dividera med samma tal som inte är lika med noll, etc.)

Exempel

Givet en linjär ekvation:

3\cdot x+4\cdot y=12

För att bestämma mängden av alla lösningar kan du omvandla ekvationen till en funktion beroende på . I så fall kommer det att göra det $y$ $t$

x=t

och kl

y=(12-3\cdot t)/4

t\in \mathbb {R}

Så här visas grafen för denna funktion, inklusive alla par x och y , vilket gör ekvationen till rätt likhet:

f(x)=(12-3\cdot x)/4=-(3/4)\cdot x+3

Linjär funktion

Om b ≠ 0 , så kan ekvationen reduceras till en sådan form att värdet på y beror på x . Ekvationen kan sedan representeras i form av en linjär funktion , där (eller omedelbart ). Grafen för funktionen i detta fall (det vill säga en geometrisk modell eller illustration för denna ekvation) är en rät linje av typen , där k är lutningen (aka ), och m = är koordinaten för skärningspunkten för graf med y -axeln . $axe+by+c=0$ $y=kx+m$ $k=-{\frac {a}{b));\ m=-{\frac {c}{b}}$ $y=-{\frac {a}{b}}x-{\frac {c}{b}}.$ $y=kx+m$ $-{\frac {a}{b))$ $-{\frac {c}{b))$

I matematisk analys är linjära funktioner de funktioner vars graf är exakt rak. I linjär algebra är en linjär funktion en funktion som visar summan av summan av bilder av termer. I linjär algebra är alltså en funktion linjär om c = 0 och dess graf går genom origo. För att undvika förvirring kallas funktioner vars grafer är godtyckliga linjer affin.

Geometrisk känsla

Vilket par som helst ( x , y ) som är en lösning på ekvationen kan reflekteras i ett rektangulärt koordinatsystem som en punkt i det tvådimensionella rummet. I detta fall bildar alla lösningar till ekvationen en linje, förutsatt att a och b är icke-noll. Det omvända är också sant, att varje linje är en uppsättning lösningar till en linjär ekvation. Själva frasen "linjär ekvation" har sina rötter i förhållandet mellan räta linjer och ekvationer: en linjär ekvation med två variabler är en ekvation, vars alla lösningar representeras grafiskt av en linje. $axe+by+c=0$

I fallet b ≠ 0 är linjen den x - funktionsgraf som beskrivs ovan. Om b = 0 kommer linjen att vara vertikal, parallell med y - axeln, för en ekvation som inte är en graf för x- funktionen . Följaktligen, om a ≠ 0 , är linjen en graf för funktionen y , och om a \u003d 0 , då en horisontell linje parallell med x-axeln för ekvationen $x=-{\frac {c}{a)),$ $y=-{\frac {c}{b)).$

En ekvation med tre eller fler variabler

En linjär ekvation som innehåller mer än två variabler kan vara av formen . Koefficienten b , ibland kallad a 0 , är en fri term . Koefficienter kan i detta fall kallas alla variabler av typ a i förutsatt i > 0 . I ekvationer med tre okända betecknas de senare med bokstäverna och . $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}+b=0.$ $x,\;y$ $z$

Lösningen av en sådan ekvation är en sådan n -tupel, ersättningen av varje element i vilket med motsvarande variabel skulle omvandla ekvationen till en sann likhet. För att ekvationen ska vara meningsfull måste minst en koefficient för variabeln vara lik noll. Om alla koefficienter för variablerna är lika med noll, kommer antingen ekvationen att vara inkonsekvent (för b ≠ 0 ) eftersom den inte har några lösningar, eller så kommer vilken n -tuppel som helst att vara en lösning på denna ekvation. Alla n -tupler som är en lösning på en linjär ekvation med n variabler är koordinaterna för punkter i koordinatsystemet för det ( n − 1) -dimensionella hyperplanet i det n -dimensionella euklidiska rymden (eller affint rymd om koefficienterna är komplexa tal eller tillhör något område). I fallet med tre variabler blir detta hyperplan ett plan (enligt ett av euklidisk geometris axiom ).

Om i en linjär ekvation a j ≠ 0 , så finns det en lösning på denna ekvation för x j Om koefficienterna är reella tal, så definieras en reellt värderad funktion för n reella variabler på detta sätt $x_{j}=-{\frac {b}{a_{j}}}-\sum _{i\in \{1,\ldots ,n\},i\neq j}{\frac { a_{i}}{a_{j}}}x_{i}.$ .

Exempel

Givet en linjär ekvation med tre okända:

3\cdot x_{1}+2\cdot x_{2}+x_{3}=7

Lösningen på denna ekvation blir planet , som innehåller tre punkter av typen:

{\displaystyle x_{1}=t_{1},\;x_{2}=t_{2},\;x_{3}=7-3\cdot t_{1}-2\cdot t_{2))

kl .

t_{1},t_{2}\in \mathbb {R}

Se även

Linjär ekvation över en ring
Algebraisk ekvation
Linjär ojämlikhet

Anteckningar

↑ Ekvationen är inkonsekvent Arkiverad 19 januari 2018 på Wayback Machine (ryska)
↑ Barnett, Ziegler, Byleen, 2008 , sid. femton.

Litteratur

R.A. Barnett, M.R. Ziegler, K.E. Byleen. Högskolematematik för företag, ekonomi, biovetenskap och samhällsvetenskap. — 11:e. - Upper Saddle River, NJ: Pearson, 2008. - ISBN 0-13-157225-3 .
Ron Larson, Robert Hostetler. Precalculus: En kortfattad kurs . - Houghton Mifflin, 2007. - ISBN 978-0-618-62719-6 .
W. A. Wilson, J. I. Tracey. Analytisk geometri . — reviderad. — DC Heath, 1925.
Manfred Leppig. Lernstufen Mathematik. - Girardet, 1981. - S. 61-74. — ISBN 3-7736-2005-5 .
Bronshtein I. N., Semendyaev K. A. Handbok i matematik för ingenjörer och studenter vid högre utbildningsinstitutioner . - ed. 13:e. — M .: Nauka, 1986. — 544 sid.
Helmuth Preckur. Lineare Algebra och Analytische Geometrie. - München: Mentor Verlag (Mentor-Lernhilfe Band 50), 1983. - S. 72-85, 106-114. — ISBN 3-580-64500-5 .

Länkar

Hazewinkel, Michiel, red. (2001), Linjär ekvation , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4

Algebraiska ekvationer
Linjär ekvation Andragradsekvation kubikekvation Ekvation av fjärde graden Ekvation av femte graden Sjätte gradens ekvation Ekvation för sjunde graden