Lokalt fält

Ett lokalt fält är en specifik typ av fält med en topologi , som ofta visas som kompletteringar av fält.

Definition

Ett lokalt kompakt topologiskt fält med icke- diskret topologi kallas lokal .

Typer

Det finns två huvudtyper av lokala fält: de där det absoluta värdet är Archimedean och de där det inte är det. De förra kallas arkimediska lokala fält , medan de senare kallas icke-arkimediska lokala fält .

Varje lokalt fält är isomorft (som ett topologiskt fält) till ett av följande fält:

Arkimedeiska lokala fält ( karakteristiken är noll): fältet för reella tal och fältet för komplexa tal . $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$
Icke-arkimediska lokala fält med karakteristisk noll: p -adiska tal och deras ändliga förlängningar . $\Q_p$
Icke-arkimediska lokala karaktäristiska fält : formell Laurent-serie över ett ändligt fält och deras ändliga förlängningar . $p\neq 0$ $\mathbb {F} _{p^{n}}$

Egenskaper

Allmänna egenskaper

Den additiva gruppen av ett lokalt fält, som alla lokalt kompakta topologiska grupper , har ett unikt (upp till multiplikation med ett positivt tal) Haar-mått μ.
På vilket lokalt fält som helst kan du ange ett absolut värde så att $K$ $|a|$ $|a|={\frac {\mu (aX)}{\mu (X)))$

för någon (och därmed vilken som helst) mätbar delmängd med ett ändligt Haar-mått som inte är noll.

X\subset K

Icke-arkimediska fält

I ett icke-arkimediskt lokalt fält med absolut värde kan följande definitioner ges: $K$ $|{*}|$
- Ring av heltal ${\mathcal {O}}=\{a\in K:|a|\leqslant 1\}.$
  - Den bildar en diskret normerad ring och en kompakt boll i . $(K,|{*}|)$
- Enheter i ringen av heltal definieras som . ${\mathcal {O}}^{\times }=\{a\in K:|a|=1\}$
  - De bildar en grupp och en enhetssfär i . $(K,|{*}|)$
- Det enda primideal som inte är noll i ringen av heltal är den öppna enhetsbollen $\mathfrak{m}$ $\{a\in K:|a|<1\},$

och dess bildande element kallas det enhetliga elementet .

\omega \in {\mathfrak {m))

K

Det återstående fältet är ändligt eftersom det är kompakt och diskret . $k={\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}$
I det här fallet , var är kraften i fältet av residualer . $|\omega |={\tfrac {1}{|k|}}$ $|k|$ $k$

Varje element som inte är noll kan skrivas som , där är ett identitetselement, är ett heltal som unikt bestäms av . $i K$ $a=\omega ^{n}\cdot u$ $u$ $n$ $a$
- Särskilt $|a|=|k|^{-n}=|\omega |^{n}.$

Se även

globala fältet