Maximal kompakt undergrupp

En maximal kompakt undergrupp K i en topologisk grupp G är ett kompakt utrymme med den inducerade topologin , som är maximal bland alla undergrupper. Maximala kompakta undergrupper spelar en viktig roll i klassificeringen av Lie-grupper och speciellt i klassificeringen av halvenkla Lie-grupper. De maximala kompakta undergrupperna av Lie-grupper är inte unika i det allmänna fallet, men de är unika upp till konjugation - de är i huvudsak konjugerade .

Exempel

Som ett exempel använder vi undergruppen O(2), en ortogonal grupp inom den generella linjära gruppen GL(2, R ). Ett relaterat exempel är cirkelgruppen SO(2) inuti gruppen SL(2, R ). Det är uppenbart att SO(2) inom gruppen SL(2, R ) är kompakt och inte maximal. Det icke-unika med dessa exempel kan ses av det faktum att vilken skalär produkt som helst har en associerad ortogonal grupp och väsentlig unikhet motsvarar den väsentliga unikheten hos den skalära produkten.

Definition

En maximal kompakt undergrupp är den maximala undergruppen bland kompakta undergrupper - maximal (kompakt undergrupp) - och inte (alternativ möjlig läsning) maximal undergrupp , som visar sig vara kompakt, som borde kallas kompakt (maximal undergrupp) , men inte bara maximal grupp (och i själva verket är den maximala egentliga undergruppen som regel inte kompakt).

Existens och unikhet

Cartan-Iwasawa-Maltsev-satsen säger att varje sammankopplad Lie-grupp (och dessutom vilken lokalt kompakt grupp som helst) har maximala kompakta undergrupper och att de alla är konjugerade till varandra. För en semisenkel Lie-grupp är unikhet en konsekvens av Cartans fixpunktssats, som säger att om en kompakt grupp verkar genom isometri på ett komplett, enkelt anslutet , negativt krökt Riemann-grenrör , så har den en fixpunkt.

De maximala kompakta undergrupperna av anslutna Lie-grupper är vanligtvis inte unika, men de är unika upp till konjugation, vilket innebär att om två maximala kompakta undergrupper K och L ges , finns det ett element så att [1] , därav den maximala kompakta undergruppen är i grunden unik och forskare talar ofta om maximala kompakta undergrupper som den enda undergruppen. $g\in G$ $gKg^{-1}=L$

För exemplet med den fullständiga linjära gruppen GL( n , R ), motsvarar detta det faktum att vilken inre produkt som helst definierar en (kompakt) ortogonal grupp (dess isometrigrupp), och att den har en ortonormal bas - att ändra basen definierar ett angränsande element som definierar angränsningen av den klassiska isometrigruppens ortogonala grupp O( n , R ) . $\mathbb {R} ^{n}$

Bevis

För en verklig semisenkel grupp kan Cartans bevis på existensen och unikheten hos en maximal kompakt undergrupp hittas i Borels papper [2] och Helgasons bok [3] . Cartier [4] och Hoschild [5] diskuterade att utöka beviset till anslutna Lie-grupper och lokalt anslutna kompaktgrupper.

För semisimpla grupper är existensen en konsekvens av förekomsten av en kompakt reell form en icke-kompakt semisimple Lie-grupp och motsvarande Cartan-nedbrytning . Det unika beviset förlitar sig på Cartans fixpunktsats och det faktum att det motsvarande Riemannska symmetriska utrymmet har negativ krökning . Mostov [6] visade att derivatan av den exponentiella kartläggningen vid någon punkt uppfyller villkoret . Av detta följer att det är ett Hadamard-rum , det vill säga ett komplett metriskt rum som tillfredsställer en försvagad form av parallellogramidentiteten i det euklidiska rummet. Det unika kan sedan härledas från Bruhat-Tits fixpunktssats . Dessutom finns alla avgränsade slutna uppsättningar i Hadamard-utrymmet i den unika minsta slutna bollen. I synnerhet måste en kompakt grupp som verkar genom isometrier hålla mitten av de omskrivna cirklarna i var och en av sina banor fixerade. $G/K$ $G/K$ $|\mathrm {dexp} X|\geqslant |X|$ $G/K$

Bevis på unikhet för halvenkla grupper

Mostov [6] reducerade det allmänna problemet för halvenkla grupper till fallet GL( n , R ). Det motsvarande symmetriska utrymmet är utrymmet för positiva symmetriska matriser. Ett direkt bevis på unikhet baserat på detta utrymmes elementära egenskaper ges i boken av Hilgert och Neeb [7] .

Låt vara en verklig semisenkel Lie algebra med Cartan involution . Då är undergruppen av fixpunkter involutionen en maximal kompakt undergrupp av K och det finns en spektral nedbrytning av matrisen $\mathfrak{g}$ $\sigma$ $\sigma$

\displaystyle {{\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}

där Lie-algebra för undergruppen K är ett +1-egenrum. Cartan-expansionen ger ${\mathfrak {k))$

\displaystyle {G=K\cdot \exp {\mathfrak {p}}=K\cdot P=P\cdot K}

Om B är den dödande formen av , givet av , då $\mathfrak{g}$ $B(X,Y)=\mathrm {Tr(ad~X)(ad~Y)}$

{\displaystyle \displaystyle {(X,Y)_{\sigma }=-B(X,\sigma (Y))))

är den verkliga skalära produkten på . Under den angränsande representationen av Lie-gruppen är K en undergrupp av gruppen G som bevarar den skalära produkten. $\mathfrak{g}$

Om B är en annan kompakt undergrupp av G , så är K en undergrupp av G som bevarar denna inre produkt.

Om H är en annan kompakt undergrupp av G , så ger medelvärdet av den inre produkten över H med avseende på Haar-måttet en invariant av den inre produkten över H. Operatörerna Ad p för p från P är positiva symmetriska operatorer. Denna nya prickprodukt kan skrivas som

{\displaystyle (S\cdot X,Y)_{\sigma ))

där S är en positiv symmetrisk operator på , så att för h från H (med transponeringen beräknad med hjälp av punktprodukten). Dessutom, för x från G $\mathfrak{g}$ $\mathrm {Ad} (h)^{t}S\mathrm {Ad} ~h=S$

\displaystyle {\mathrm {Ad} \,\sigma (x)=(\mathrm {Ad} \,(x)^{-1})^{t))

Så för h från H

{\displaystyle \displaystyle {S\circ \mathrm {Ad} (\sigma (h))=\mathrm {Ad} (h)\circ S))

För X från definierar vi $\mathfrak{p}$

{\displaystyle \displaystyle {f(e^{X})=\mathrm {Tr} \,\mathrm {Ad} (e^{X})S))

If är en ortonormal bas av egenvektorer för S med , då $e_{i}$ ${\displaystyle Se_{i}=\lambda _{i}e_{i))$

\displaystyle {f(e^{X})=\sum \lambda _{i}(\mathrm {Ad} (e^{X})e_{i},e_{i})_{\sigma }\geqslant (\min \lambda _{i})\cdot \mathrm {Tr} \,e^{\mathrm {ad} \,X}}

så f är strikt positivt och tenderar att som tenderar att . Faktum är att denna norm är ekvivalent med normoperatorn på symmetriska operatorer , och alla egenvärden som inte är noll visas tillsammans med ett negativt värde, eftersom det är en skev-adjointoperator på den kompakta reella formen . Så f har ett globalt minimum, säg vid Y . Detta minimum är unikt, för om Z är ett annat minimum, $\infty$ $|X|$ $\infty$ $\mathrm {ad} ~X$ $i~\mathrm {ad} ~X$ ${\mathfrak {k}}\oplus i{\mathfrak {p}}$

\displaystyle {e^{Z}=e^{Y/2}e^{X}e^{Y/2))

där X in bestäms av Cartan-expansionen $\mathfrak{p}$

\displaystyle {e^{Z/2}e^{-Y/2}=k\cdot e^{X/2))

If är en ortonormal bas av egenvektorer med motsvarande reella egenvärden , alltså $f_{i}$ $\mathrm {ad} ~X$ $\mu _{i}$

\displaystyle {g(t)=f(e^{Y/2}e^{tX}e^{Y/2})=\sum e^{\mu _{i}t}\|Annons (e^{Y/2})f_{i}\|_{\sigma }^{2))

Eftersom den högra sidan är en positiv kombination av potenser, är en funktion g med reellt värde strikt konvex om X ≠ 0, så den har ett unikt minimum. Å andra sidan har funktionen ett lokalt minimum vid t = 0 och t = 1, eftersom X = 0 och p = exp Y är det enda globala minimumet. Genom konstruktion för h från H , så för h från H . Därför, . Detta innebär att i fallet är fast för och därför ligger i K . $f(x)=f(\sigma (h)xh^{-1})$ ${\displaystyle p=\sigma (h)ph^{-1))$ ${\displaystyle \sigma (h)=php^{-1))$ ${\displaystyle g=\mathrm {exp} Y/2,gHg^{-1))$ $\sigma$

Applikationer

Representationsteori

Maximala kompakta undergrupper spelar en stor roll i representationsteorin när G inte är kompakt. I det här fallet är den maximala kompakta undergruppen av K en kompakt Lie-grupp (eftersom en sluten undergrupp av en Lie-grupp är en Lie-grupp), för vilken teorin är enklare.

Operationerna förknippade med representationsteorin för G och K är begränsningen av representationerna från G till K och den inducerade representationen från K till G , och detta är ganska förståeligt. Dessa teorier inkluderar teorin om zonala sfäriska funktioner .

Topologi

Den algebraiska topologin för Lie-grupper överförs också till den maximala kompakta undergruppen K . För att vara exakt är en sammankopplad Lie-grupp den topologiska produkten (men inte gruppprodukten) av en maximal kompakt undergrupp K och ett euklidiskt utrymme . Då, i synnerhet, K är en deformationsretract av gruppen G och är homotopi ekvivalent med den, och därför har de samma homotopigrupper . Dessutom är inkluderingen och deformationsåterdragningen homotopiekvivalenser . ${\displaystyle G=K\times \mathbb {R} ^{d))$ $K\hookrightarrow G$ $G\twoheadrightarrow K$

För den allmänna linjära gruppen är denna nedbrytning en QR-nedbrytning och deformationsåtergången är en Gram-Schmidt-process . För generella halvenkla grupper är sönderdelningen Iwasawa-sönderdelningen G i formen G =KAN , där K förekommer tillsammans med en sammandragbar undergrupp AN .

Se även

Hyperspecial undergrupp
Complex Lie group

Anteckningar

↑ Observera att elementet g inte är unikt - vilket element som helst i samma coset-klass gK är lämpligt .
↑ Borel, 1950 .
↑ Helgason, 1978 .
↑ Cartier, 1955 .
↑ Hochschild, 1965 .
↑ 12 Mostow , 1955 .
↑ Hilgert, Neeb, 2012 .

Litteratur

Armand Borel. Sous-grupper kompakterar maximaux des groupes de Lie (Exposé nr 33) . - 1950. - T. 1. - (Séminaire Bourbaki). (inte tillgänglig länk)
Cartier P. Structure topologique des groupes de Lie généraux (Exposé nr 22) . - 1955. - Vol. 1. - (Séminaire "Sophus Lie"). (inte tillgänglig länk)
Dieudonné J. Kompakta Lie-grupper och halvenkla Lie-grupper, kapitel XXI. - Academic Press, 1977. - V. 5. - (Avhandling om analys). — ISBN 012215505X .
Sigurdur Helgason. Differentialgeometri, Lie-grupper och symmetriska rum. - Academic Press, 1978. - ISBN 978-0-12-338460-7 .
Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb. Struktur och geometri för lögngrupper. - Springer, 2012. - (Springers monografier i matematik). — ISBN 0387847944 .
Hochschild G. Lie-gruppernas struktur. — Holden-dagen, 1965.
Mostow GD Några nya nedbrytningssatser för halvenkla grupper . - 1955. - T. 14. - S. 31–54. — (Mem. Amer. Math. Soc.).
Onishchik AL, Vinberg EB Lie Groups and Lie Algebras III: Structure of Lie Groups and Lie Algebras. - Springer, 1994. - (Encyclopaedia of Mathematical Sciences). — ISBN 9783540546832 .
Maltsev A.I. Om teorin om Lie-grupper i de stora // Mat. Samling. - 1945. - T. 16 . — S. 163–189 .
Iwasawa K. Om vissa typer av topologiska grupper // Ann. i matte.. - 1949. - V. 50 . — S. 507–558 . - doi : 10.2307/1969548 .