Chebyshev polynom

Chebyshev polynom av det första slaget
allmän information
Formel	$T_{n}(x)=\summa _{{k=0}}^{{\lfloor n/2\rfloor }}{\binom {n}{2k}}(x^{2}-1)^ {k}x^{{n-2k}}$
Skalär produkt	$(f,g)=\int _{{-1}}^{{1}}{{\frac {1}{{\sqrt {1-x^{2}}}}}f(x)g( x)dx}$
Domän	$[-1,1]$
ytterligare egenskaper
Döpt efter	Chebyshev, Pafnuty Lvovich

Chebyshev polynom av det andra slaget
allmän information
Formel	$U_{n}(x)=\summa _{{k=0}}^{{\lfloor n/2\rfloor }}{\binom {n+1}{2k+1}}(x^{2} -1)^{k}x^{{n-2k}}$
Skalär produkt	$(f,g)=\int _{{-1}}^{{1}}{{\sqrt {1-x^{2}}}f(x)g(x)dx}$
Domän	$[-1,1]$
ytterligare egenskaper
Döpt efter	Chebyshev, Pafnuty Lvovich

Chebyshev polynom - två sekvenser av ortogonala polynom och uppkallade efter Pafnuty Lvovich Chebyshev : $T_{n}(x)$ $U_{n}(x),n=\{0,1,\dots \},$

Chebyshevpolynomet av det första slaget karakteriseras som ett gradpolynom med den högsta koefficienten , som avviker minst av alla från noll på intervallet . Först övervägd av Chebyshev själv. $T_{n}(x)$ $n$ $2^{{n-1}}$ $[-1,1]$

Chebyshev-polynomet av det andra slaget karakteriseras som ett gradpolynom med den högsta koefficienten , vars integral av det absoluta värdet över segmentet tar det minsta möjliga värdet. För första gången betraktas i det gemensamma arbetet av två elever av Chebyshev -Korkin och Zolotarev . $U_{n}(x)$ $n$ $2^{n}$ $[-1,1]$

Chebyshev polynom spelar en viktig roll i approximationsteorin , eftersom rötterna av Chebyshev polynom av det första slaget används som noder i interpolation av algebraiska polynom .

Definitioner

Återkommande formler

Chebyshev polynom av det första slaget kan definieras med den rekursiva relationen : $T_{n}(x)$

T_{0}(x)=1

T_{1}(x)=x

T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x).

Chebyshev polynom av det andra slaget kan definieras med den rekursiva relationen: $U_{n}(x)$

U_{0}(x)=1

U_{1}(x)=2x

U_{n+1}(x)=2xU_{n}(x)-U_{n-1}(x).

Explicita formler

Chebyshev polynom är lösningar på Pells ekvation :

T_{n}(x)^{2}-(x^{2}-1)U_{n-1}(x)^{2}=1

i ringen av polynom med reella koefficienter och uppfyller identiteten:

T_{n}(x)+U_{{n-1}}(x){\sqrt {x^{2}-1}}=(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^ {n}.

Den sista identiteten innebär också explicita formler:

T_{n}(x)={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1)))^{n}+(x-{\sqrt {x^{2}-1))) ^{n}}{2}}=\summa _{{k=0}}^{{\lfloor n/2\rfloor }}{\binom {n}{2k}}(x^{2}-1 )^{k}x^{{n-2k}};

U_{n}(x)={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{{n+1}}-(x-{\sqrt {x^{2}- 1)))^{{n+1}}}{2{\sqrt {x^{2}-1}}}}=\summa _{{k=0}}^{{\lfloor n/2\ rfloor }}{\binom {n+1}{2k+1}}(x^{2}-1)^{k}x^{{n-2k}}.

Förhållanden

$U_{n+m}(x)=U_{n}(x)U_{m}(x)-U_{n-1}(x)U_{m-1}(x)$

$m=n+1,\quad U_{2n+1}(x)=2U_{n}(x)[xU_{n}(x)-U_{n-1}(x)]$

$m=n,\quad U_{2n}(x)=[U_{n}(x)+U_{n-1}(x)]\centerdot [U_{n}(x)-U_{n -1}(x)].$

$U_{n+1}(x)\cdot U_{n-1}(x)=[U_{n}(x)+1]\cdot [U_{n}(x)-1].$

$T_{n+1}(x)=xU_{n}(x)-U_{n-1}(x).$

$T_{n\cdot m}(x)=T_{n}(T_{m}(x))=T_{m}(T_{n}(x))$

de där. Chebyshev polynom av det första slaget, med multiplikationsregeln , bildar en semigrupp som är isomorf till den multiplikativa semigruppen av icke-negativa heltal. $T_{n\cdot m}(x)=T_{n}(x)\ gånger T_{m}(x){\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}} T_{n}(T_{m}(x))=T_{m}(T_{n}(x))$

Trigonometrisk definition

Chebyshev polynom av det första slaget kan också definieras med hjälp av likheten $T_{n}(x)$

T_{n}(\cos \theta )=\cos(n\theta )

eller, nästan lika,

T_{n}(z)=\cos {\big (}n\arccos(z){\big )}.

Chebyshev polynom av det andra slaget kan också definieras med hjälp av likheten $U_{n}(x)$

U_{n}(\cos \theta )={\frac {\sin {\big (}(n+1)\theta {\big ))){\sin \theta )).

Exempel

Flera första Chebyshev polynom av det första slaget

T_{0}(x)=1\;

T_{1}(x)=x\;

T_{2}(x)=2x^{2}-1\;

T_{3}(x)=4x^{3}-3x\;

T_{4}(x)=8x^{4}-8x^{2}+1\;

T_{5}(x)=16x^{5}-20x^{3}+5x\;

T_{6}(x)=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1\;

T_{7}(x)=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x\;

T_{8}(x)=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1\;

Flera första Chebyshev polynom av det andra slaget

U_{0}(x)=1\;

U_{1}(x)=2x\;

U_{2}(x)=4x^{2}-1\;

U_{3}(x)=8x^{3}-4x\;

U_{4}(x)=16x^{4}-12x^{2}+1\;

U_{5}(x)=32x^{5}-32x^{3}+6x\;

U_{6}(x)=64x^{6}-80x^{4}+24x^{2}-1\;

U_{7}(x)=128x^{7}-192x^{5}+80x^{3}-8x\;

Egenskaper

Chebyshev polynom har följande egenskaper:

Polynom med jämna grader är jämna funktioner , udda-udda funktioner.
Summan av koefficienterna för Chebyshev polynom av det första slaget är 1, och koefficienterna för polynom av det andra slaget är . $T_{k}(x)$ $U_{k}(x)$ $k+1$
Ortogonalitet med avseende på motsvarande inre produkt (med vikt för polynom av det första slaget och för polynom av det andra slaget). ${\displaystyle 1/{\sqrt {1-x^{2))))$ ${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2))))$
Bland alla polynom vars värden på intervallet inte överstiger 1 i absolut värde, har Chebyshev-polynomet: $[-1,1]$
- den största seniorkoefficienten,
- största värdet på någon punkt utanför , $[-1,1]$
- om , då , där är koefficienten för ett Chebyshev-polynom av det första slaget, är koefficienten för något av de betraktade polynomen. $n\equiv k{\pmod {2}}$ $|a_{k-1}|+|a_{k}|\leqslant |t_{k}|$ $t_k$ $a_{k}$
Nollor i Chebyshev-polynom är optimala noder i olika interpolationsscheman. Till exempel i metoden för diskreta egenskaper, som ofta används i studiet av integralekvationer inom elektrodynamik och aerodynamik.
I ändarna och i mitten av segmentet gäller följande relationer: ${\begin{aligned}T_{n}(1)&=1,&T_{n}(-1)&=(-1)^{n},&T_{2n}(0)&=(- 1)^{n},&T_{2n+1}(0)&=0,\\U_{n}(1)&=n+1,&U_{n}(-1)&=(-1)^ {n}\cdot (n+1),&U_{2n}(0)&=(-1)^{n},&U_{2n+1}(0)&=0.\end{aligned}}$
Chebyshev-polynomet av den första typen av grad N är ett specialfall av Lissajous-figurer med ett frekvensförhållande lika med N och en amplitud av båda signalerna lika med 1.
Chebyshev polynom av det första och andra slaget motsvarar ett par av Lucas-sekvenser och med parametrar : ${\tilde {V}}_{n}(P,Q)$ ${\tilde {U}}_{n}(P,Q)$ $(P,Q)=(2x,1)$ ${\tilde {V}}_{n}(2x,1)=2\cdot T_{n}(x),$ ${\tilde {U}}_{n}(2x,1)=U_{n-1}(x).$
Chebyshev-polynomet av den första typen av grad har den största båglängden på ett segment i klassen av alla gradpolynom så att maximivärdet för deras modul på detta segment inte överstiger och inte är identiskt lika med en konstant [1 ] $n$ $[-1,1]$ $n$ $ett$

Applikationer

Approximationsteori

Chebyshev-polynom av det första slaget används för approximation av en funktion (Chebyshev-serien), om andra metoder för att beräkna funktionen är tidskrävande eller dess analytiska form är okänd (till exempel om funktionen ges av en tabell sammanställd på grund av experimentella data). För att göra detta måste definitionsdomänen för den approximerade funktionen vara på ett ganska enkelt sätt, till exempel linjärt mappad till ortogonalitetsintervallet för de approximerande polynomen, i detta fall är det . Till exempel, för en tabelldefinierad funktion: $[-1,1]$

l\colon X_{i}\to [-1,1],

där är en linjär mappning, är domänen för definition av punkter. $l$ $X_{i}$

En approximation av kontinuerligt givna funktioner erhålls genom att kassera termerna i Chebyshev-serien, vars värde är mindre än det önskade felet i resultatet. Approximationsfunktionen kan också skrivas som ett polynom i . Till skillnad från approximationer som erhålls med andra potensserier, minimerar denna approximation antalet termer som krävs för att approximera en funktion med ett polynom med en given noggrannhet. Till detta hör också egenskapen att approximationen baserad på Chebyshev-serien visar sig ligga ganska nära den bästa enhetliga approximationen (bland polynom av samma grad), men den är lättare att hitta. $x$

Ett exempel på en mappning som mappar ett givet intervall till polynomens ortogonalitetsarea, $l$

l\colon [x_{\text{min)),x_{\text{max))]\till [-1,1],

kan vara en funktion

l(x)={\frac {2x-(x_{\text{max}}+x_{\text{min}})}{x_{\text{max}}-x_{\text{min }}}}.

Beräkning av antennuppsättningar

Chebyshev polynom används för att beräkna antennuppsättningen . Strålningseffekten för varje antenn beräknas med hjälp av Chebyshev-polynom. Detta gör att du kan styra formen på strålningsmönstret , eller snarare förhållandet mellan amplituden för huvud- och sidoloberna.

Tillämpningar i filtreringsteori

Chebyshev polynom används också i den teoretiska konstruktionen av filter . I den allmänna formeln för amplitud-frekvenskarakteristiken

$\left|H_{n}(j\omega )\right|={\frac {1}{\sqrt {1+f_{n}^{2}\left({\dfrac {\omega }{ \omega _{0}}}\right)}}}$

som uttrycket för formen eller ersätts , där är krusningsindexet, som erhåller frekvenssvaret för Chebyshev-filtren av I- eller II-typ av ordning . $f(x)$ $\varepsilon T_{n}(x)$ ${\displaystyle \left(\varepsilon T_{n}(x)\right)^{-1))$ $\varepsilon$ $n$

Variationer och generaliseringar

Frågan om polynom av miniminormen med fasta koefficienter vid två högre grader övervägdes senare av Zolotarev , polynomen han hittade kallas Zolotarevpolynom .
Faber polynom

Anteckningar

↑ Bakan A. Om en extremal egenskap hos Chebyshev polynom // Mathematics today. Vetenskaplig samling / Ed. prof. A. Ya. Dorogovtseva . - Kiev, Vishcha-skolan, 1982. - S. 167-172.

Litteratur

Vasil'ev, N. Chebyshev polynomials and recurrent relations / Vasil'ev, N., Zelevinsky, A. // Kvant . - 1982. - Nr 1. - S. 12-19.
Campe de Ferrier, J. Functions of Mathematical Physics / Campe de Ferrier, J. , Campbell, R., Petiot, G. … [ et al. ] . — M .: Fizmatlit, 1963.
Khovansky, A. G. Chebyshev-polynom och deras inversioner // Mathematical Education . - 2013. - Utgåva. 17. - S. 93-106.
Föreläsning 7 i Tabachnikov S. L., Fuchs D. B. Mathematical divertissement . - MTSNMO, 2011. - 512 sid. - 2000 exemplar. - ISBN 978-5-94057-731-7 .

Ortogonala polynom
Bessel polynom Gegenbauer polynom Kravchuk polynom Laguerre polynom Legendre polynom Polachek polynom Rogers polynom Zernike polynom Chebyshev polynom Charlier polynom Hermitpolynom Jacobi polynom